上海市虹口区2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题(word版，有答案).doc

1、 - 1 - 上海市虹口区 2018 届高三数学上学期期末教学质量监控试题 （时间 120 分钟，满分 150 分） 一填空题（ 1 6 题每小题 4 分， 7 12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分） 1函数 ( ) lg(2 )f x x?的定义域是 2已知 ()fx是定义在 R 上的奇函数，则 ( 1) (0) (1)f f f? ? ? ? 3首项和公比均为 12 的等比数列 ?na ， nS 是它的前 n 项和，则 limnn S? ? 4在 ABC? 中， ,A B C? ? ? 所对的边分别是 ,abc ，若 : : 2:3:4a b c ? ，则 cos C? 5已知复数

2、 ( , )z a bi a b R? ? ?满足 1z? ，则 ab? 范围是 6某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六 门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 7 已知 M 、 N 是三棱锥 P ABC? 的棱 AB ， PC 的中点，记三棱锥 P ABC? 的体积为 1V ，三棱锥 N MBC? 的体积为 2V ，则 21VV 等于 _. 8 在平面直角坐标系中，双曲线 2 22 1x ya ?的一个顶点 与抛物线 2 12yx? 的焦点重合 ，则双曲线的两条渐近线的方程为 9 已知 si

3、nyx? 和 cosyx? 的图像的连续的三个交点 A 、 B 、 C 构成三角形 ABC? ，则ABC? 的面积等于 _ 10设椭圆 22143xy?的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过焦点 1F 的直线交椭圆于 M 、 N 两点，若 2MNF? 的内切圆的面积为 ? ，则2MNFS? ?_. 11 在 ABC? 中， D 是 BC 的中点，点列 nP ()nN? 在直线 AC 上，且满足1n n n n nP A a P B a P D? ? ? ?，若 1 1a? ，则数列 ?na 的通项公式 na? - 2 - MCBAP12设 2( ) 2 2xf x x a x b? ? ?

4、? ?，其中 ,ab N? ， xR? ，如果函数 ()y f x? 与函数( ( )y f f x? 都有零点且它们的零点完全相同，则 ( , )ab为 二选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13异面直线 a 和 b 所成的角为 ? ，则 ? 的范围是 （ ） .A (0, )2? .B (0, )? .C(0, 2? .D (0, ? 14 命题：“若 2 1x? ， 则 1x? ”的逆否命题为（ ） .A 若 1x? ，则 1x? 或 1x? .B 若 1x? ，则 1x? 或 1x? .C 若 1x? ，则 1x? 且 1x? .D 若 1x? ，则 1x? 且 1x? 15 已

5、知函数 20()( 2 ) 0x xfxf x x? ? ? ?，则 (1) (2 ) (3 ) (2017 )f f f f? ? ? ? ?（ ） .A 2017 .B 1513 .C 20172 .D 30252 16已知 Rt ABC? 中， 90A? ? ? ， 4AB? ， 6AC? 在三角形所在的平面内有两个动点 M和 N ，满足 2AM? ， MN NC? ，则 BN 的取值范围是（ ） .A 3 2, 34? .B ? ?4, 6 .C 2 5, 4 2? .D 226 3 1 2 2 , 6 3 1 2 233? 三解答题（本大题满分 76 分） 17 （本题满分 14 分

6、 .第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分 .） 如图，在三棱锥 P ABC? 中， P A A C P C A B a? ? ? ?， PA B? ， AC AB? ， M为 AC 的中点 （ 1）求证： PM? 平面 ABC ； （ 2）求直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小 CBA- 3 - QPD CBA18（本题满分 14 分 .第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分 .） 已知函数 ( ) 3 c o s ( ) c o s ( 2 )2f x x x? ? ? ? ? ? ?，其中 xR? ， 0? ，且此函数的最小正周期等于 ? （ 1）求 ? 的值，并写

7、出此函数的单调递增区间； （ 2）求此函数在 0, 2x ? 的最大值和最小值 19（本题满分 14 分 .第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分 .） 如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为 2km ，宽为 1km 的矩形，矩形两边 AB ， AD 紧靠两条互相垂直的路上 现要过点 C 修一条直线的路 l ，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点 P 和 Q （ 1）设 AQ x? （ km ），将 APQ? 的面积 S 表示为 x 的函数； （ 2）求 APQ? 的面积 S （ 2km ）的最小值 20（本题满分 16 分 .第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 6

8、 分，第（ 3）小题 6 分 .） 已知平面内的定点 F 到定直线 l 的距离等于 ( 0)pp? ，动圆 M 过点 F 且与直线 l 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C 在曲线 C 上任取一点 A ，过 A 作 l 的垂线，垂足为 E . （ 1）求曲线 C 的轨迹方程； （ 2）记点 A 到直线 l 的距离为 d ，且 3443ppd? ，求 EAF? 的取值范围； （ 3）判断 EAF? 的平分线 所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由 - 4 - 21（本题满分 18 分 .第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 7 分，第（ 3）小题 7 分 .） 已知无穷数列 ?na 的各项均为正

9、数，其前 n 项和为 nS ， 1 4a? . （ 1）如果 2 2a? ，且对于一切正整数 n ，均有 221n n na a a?，求 nS ； （ 2）如果对于一切正整数 n ，均有 1n n na a S?，求 nS ； （ 3）如果对于一切正整数 n ，均有 1 3n n na a S?，证明： 31na? 能被 8 整除 lFE A- 5 - MCBAP答案 一、填空题（ 1 6 题每小题 4 分， 7 12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分） 1、 ( ,2)? ； 2、 0； 3、 1； 4、 14?； 5、 11,22?； 6、 18； 7、14 ； 8、 13yx?

10、； 9、 2? ； 10、 4； 11、 11()2 nna ?； 12、 (0, 0) ， (1, 0) ； 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13、 C ； 14、 C ； 15、 D ； 16、 B ； 三、解答题（本大题满分 76 分） 17、（ 14 分） 解 :（ 1） PAC? 为等边三角形， M 为 AC 的中点，?PM AC? ? 2 分 又 PA AB? ， AC AB? ，且 PA AC A?， ? BA? 平面PAC ? 4 分 又 PM 在平面 PAC 内，所以 BA PM? ? 6 分 AB AC A?，且 BA PM? ， PM AC? ， ? PM?

11、 平面ABC ? 7 分 （ 2）连结 BM 由（ 1）知 PM? 平面 ABC ， ? PBM? 是直线 PB 和平面 ABC 所成的角? 9 分 PAC? 为等边三角形， ? 32PM a? . PAB? 为等腰直角三角形，且 2PAB ?， ? 2PB a? PM BM? ， ?3 62sin 42 aPBM a? ? ?， 6ar cs in 4PBM? ? 13 分 ?直线 PB 和平面 ABC 所成的角的大小等于 6arcsin 4 ? 14 分 18 、（ 14 分） 解 ： （ 1 ）( ) 3 c o s ( ) c o s ( 2 ) 3 s i n c o s 2 s i

12、 n ( )26f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 分 - 6 - QPD CBA由 2?，且 0? ， ? 2? ? 4 分 ? ( ) 2 sin(2 )6f x x ? 由 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?，解得 36k x k? ? ? ?， ? 单调递增区间为 , ,36k k k Z? ? ? 7 分 （ 2）由 0 2x ? ，得 726 6 6x? ? ? ? ? . ?2 62x ?，即 6x ? 时，取得最大值 2? 11 分 ? 72 66x ? ，即 2x ? 时，取得最小值 1? ? 14 分

13、19、（ 16 分）解：（ 1） QDC? CBP? ， ? QD DCCB BP? 又 1QD x?， 1CB? ，2DC? ， ? 121x BP? ? ， 21BP x? ?5 分 212( 2 ) ( 1 )2 1 1APQ xS x xxx? ? ? ? ? ? 7 分 （ 2）设 1 0,tx? ? ? 2 2 2( 1 ) 2 1 1 2 ( 0 )1APQ x t t tS t tx t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 112 , 2 4APQt S ttt? ? ? ? ? ? ? 当且仅当 1,t? 即 2x? 时， APQS? 取得最小值 4 2k

14、m ? 14 分 20、（ 16 分） 解： （ 1）过点 F 与 l 垂直的直线为 x 轴， x 轴与直线 l 的交点为 G 点，以,GF的中点为原点建立直角坐标系 设 M (, )xy ， M 到定点 F 与到定直线 l 的距离相等， : , ( ,0)22ppl x F? 22| | ( )22ppx x y? ? ? ? ? 化简得： 2 2 ( 0)y px p? 4 分 （ 2）设 00( , ),Ax y0( ,0), ( , )22ppF E y?- 7 - 0 0 0( , 0 ) , ( , ) ,22ppA E x A F x y? ? ? ? ? ? ? 6 分 220

15、 0 0 0220 0 0 0( )( )2 2 4 2co s 1| | | | ( )2 2 2 2p p p px x x xA E A F pEAFp p p pA E A F x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8 分 0 2pdx?， cos 1 pEAF d? ? ? ?, 3 4 1 1, c o s 1 , 4 3 3 4p p pd E A F d? ? ? ? ? ? ? ? ? 11a rc c o s a rc c o s ( )43EAF? ? ? ? 10 分 （ 3）设 00( , ),Ax y0( ,0), ( , )22p

16、pF E y?， 0( , )EF p y?. 由 AE AF? ，得 EAF? 的平分线所 在的直线方程就是 EAF? 边 EF 上的高所在的直线方程? 12 分 ? EAF? 的平分线所在的直线方程为 0 0 0( ) ( ) 0p x x y y y? ? ? ? 由 0 0 02( ) ( ) 02p x x y y yy px? ? ? ? ?，消 x 得 220 0 02 2 2 0y y y px y? ? ? ? 2002y px? ， ? 220 0 04 4 ( 2 2 ) 0y p x y? ? ? ? ? ? ? EAF? 的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点? 1

17、6 分 21、（ 18 分）解： (1) 数列 ?na 的各项均为正数，由 221n n na a a?，得 211nnaa? ?， ?数列 ?na 是等比数列，公比 2112aq a?，从而 3141 ( ) 12 8 ( )1 212nnnS? ? ? 4 分 (2) 由 1n n na a S?得 1 2 1n n na a S? ? ?，两式相减得 1 2 1()n n n na a a a? ? ?， 此数列各均为正数， ? 2 1nnaa? ?， ?数列 ? ?21na? 和数列 ? ?2na 均是公差为 1 的等差数列由 1 2 1 1a a S a? ? ? ，得 2 1a?

18、? 6 分 当 n 为偶数时， 1 3 1 2 4( ) ( )n n nS a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? - 8 - 21 1 14 ( 1 ) ( 1 ) 22 2 2 2 2 2 2 2 4n n n n n n nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 n 为奇数时， 2211 1 1 1 7( 1 ) 2 ( 1 ) 24 2 4 4n n n nS S a n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22172441 24nn n nSn n n? ? ? ?， 为 奇 数， 为 偶 数? ? 11 分 (3) 由 1 3n n na a S?得 1 2 13n n na a S? ? ?，两式相减得 213n n na a a?. 1 4a? ，得 1 2 1 133a a S a? ? ? ， 2 8a? 3 2 13 28a a a? ? ? 以下证明：对于 nN? ， 32na? 被 8 除余数为 4， 31na? 被 8 整除， 3na 被 8 除余数为4.