人教新课标A版高中数学选修2-3全册完整课件.ppt

1、1.1.1分类计数原理分类计数原理 与 分步计数原理分步计数原理 2004年夏季在德国举行的第十年夏季在德国举行的第十 八届世界杯足球赛共有八届世界杯足球赛共有32支队伍参支队伍参 加。他们先分成加。他们先分成八个小组八个小组进行进行循环循环赛，赛， 决出决出16强强，这，这16强按确定的程序进强按确定的程序进 行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外 还决出了三、四名。还决出了三、四名。 问：问：一共安排了多少场比赛？一共安排了多少场比赛？ 思考思考？ 用一个大写的的英文字母用一个大写的的英文字母或或一个阿拉伯一个阿拉伯 数字给教室里的座位编号，总共能够编出多数字给教

2、室里的座位编号，总共能够编出多 少种不同的号码？少种不同的号码？ 26+10=36 问题问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也从甲地到乙地，可以乘火车，也 可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有车有4 班班, 汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法多少种不同的走法? 分析分析: 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法, 第一类方法第一类方法, 乘火车，有乘火车，有4种方法种方法; 第二类方法第二类方法, 乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法;

3、 第三类方法第三类方法, 乘轮船乘轮船, 有有3种方法种方法; 所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。种方法。 一、分类计数原理一、分类计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法. 在第在第1类办法中有类办法中有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有m2种不同的种不同的 方法，方法，在第，在第n类方法中有类方法中有mn种不同的方法，种不同的方法， 则完成这件事共有则完成这件事共有 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数类标准下进

4、行分类，然后对每类方法计数. 1）各类办法之间相互独立）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要都能独立的完成这件事，要 计算方法种数计算方法种数,只需将各类方法数相加只需将各类方法数相加,因此分类计数原因此分类计数原 理又称理又称加法原理加法原理 说明说明 N= m1+m2+ + mn 种不同的方法种不同的方法 例例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学大学 B大学大学 生物学生物学 化学化学 医学医学 物理学物理学 工程

5、学工程学 数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：这名同学在解：这名同学在A大学中有大学中有5种专业选择，在种专业选择，在B大学中有大学中有4种专业选择。种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+49种。种。 用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿九个阿 拉伯数字，以拉伯数字，以A A1 1，A A2 2， ，B B1 1，B B2 2， ， 的 的 方式给教室里的座位编号，总共能

6、编出方式给教室里的座位编号，总共能编出 多少个不同的号码？多少个不同的号码？ 思考思考？ 分析分析:由于前由于前6 6个英文字母中的任意一个都能个英文字母中的任意一个都能 与与9 9个数字中的任何一个组成一个号码，而且个数字中的任何一个组成一个号码，而且 它们各个不同，因此共有它们各个不同，因此共有6 69 95454个不同的个不同的 号码。号码。 字母字母 数字数字 得到的号码得到的号码 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 树形图树形图 问题问题 2. 如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，条， 由由B村去村去C村的

7、道路有村的道路有2条。从条。从A村经村经B村去村去 C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法? A村村 B村村 C村村 北北 南南 中中 北北 南南 分析分析: 从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步, 第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3种方法种方法, 第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有3种方法种方法, 所以所以 从从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 种种 不同的方法。不同的方法。 二、分步计数原理二、分步计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2

8、种不同的方法，种不同的方法， ， 做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数然后对每步方法计数. 1）各个步骤相互依存）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事这件事 才算完成才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数方法总数,又称又称乘法原理乘法原理 说明说明 N= m1m2 mn种不同的方法种不同的方法 例例2、设某班有男生设某班有男生30名，女生名，女生2

9、4名。现要从中选出名。现要从中选出 男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不 同的选法？同的选法？ 例例3、浦江县的部分电话号码是浦江县的部分电话号码是05798415,后后 面每个数字来自面每个数字来自09这这10个数个数,问可以产生多少个不同问可以产生多少个不同 的电话号码的电话号码? 变式变式: 若要求最后若要求最后4个数字不重复个数字不重复,则又有多少种不同则又有多少种不同 的电话号码的电话号码? 05798415 10 10 10 10 =104 分析分析: 分析分析: =5040 10 9 8 7 例例4、 书架上第书架上第1层放有层

10、放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2本不同的本不同的 体育杂志体育杂志. (2)从书架的第从书架的第1、 2、 3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法? N43+29 N4 3224 (1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多少种不同的取法有多少种不同的取法? 例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出幅不同的画中选出2幅，幅， 分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多 少种不同的挂法？少种不同的挂法？ 课堂练习课堂练习 1、在所有的两位数中

11、，个位数字比十位数、在所有的两位数中，个位数字比十位数 字大的两位数有多少个？字大的两位数有多少个？ 2、8本不同的书，任选本不同的书，任选3本分给本分给3个同学，每个同学，每 人人1本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？ 3、将、将4封信投入封信投入3个不同的邮筒，有多少种不个不同的邮筒，有多少种不 同的投法？同的投法？ 4、已知、已知 则方程则方程 可表示不同的圆的可表示不同的圆的 个数有多少？个数有多少？ 3,4,6,1,2,7,8,8,9abr 222 ()()xaybr 课堂练习课堂练习 5、已知二次函数、已知二次函数 若若 则可以得到多少个则可以得到多少个 不同的二次函数

12、？其中图象过原点的二次函不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？的二次函数又有多少个？ 2 .yaxbxc , , 3, 2,0,1,2,3.a b c 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理 联系联系 区别一区别一 完成一件事情共有完成一件事情共有n类类 办法，关键词是“分类”办法，关键词是“分类” 完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个 步骤，关键词是“分步”步骤，关键词是“分步” 区别二区别二 每类办法都能每类办法都能独立完成独立完成 这件事情。这件事情。 每一步得到的只是中间结果，每一步得

13、到的只是中间结果， 任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成 这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这 件事情。件事情。 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。 区别三区别三 各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、 并列的、独立的并列的、独立的 各步之间是相关联的各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系：分类计数与分步计数原理的区别和联系： 如图，从

14、甲地到乙地有如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地条路，从乙地到丁地 有有3条路；从甲地到丙地有条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙条路可以走，从丙 地到丁地有地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？不同地走法？ 课堂练习课堂练习 甲地甲地 丙地丙地 丁地丁地 乙地乙地 N1=23=6 N2=42=8 N= N1+N2 =14 2.如图如图,该电该电 路路,从从A到到B共共 有多少条不有多少条不 同的线路可同的线路可 通电？通电？ A B 解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3

15、条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。 1.1.2分类计数原理分类计数原理 与与 分步计数原理分步计数原理(二二) 1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在 第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2 种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中

16、有有m mn n种不同的方法种不同的方法. . 那么那么 完成这件事共有完成这件事共有 种不同的方种不同的方 法法. . 12n Nmmm 2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步 骤，做第骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的 方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法. .那么完成这件那么完成这件 事共有事共有 种不同的方法种不同的方法. . 12n Nmmm 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理

17、的 共同点：共同点： 不同点：不同点： 分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关， 分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计数原理 完成一件事，共完成一件事，共 有有n类办法，关键类办法，关键 词“词“分类分类” 区别区别 1 完成一件事，共完成一件事，共 分分n个步骤，关键个步骤，关键 词“词“分步分步” 区别区别 2 区别区别 3 每类办法都能独立每类办法都能独立 地完成这件事情，地完成这件事情， 它是独立的、一次它是独立的、一次

18、 的、且每次得到的的、且每次得到的 是最后结果，是最后结果，只须只须 一种方法就可完成一种方法就可完成 这件事这件事。 每一步得到的只是中间每一步得到的只是中间 结果，任何一步都不能结果，任何一步都不能 独立完成这件事，缺少独立完成这件事，缺少 任何一步也不能完成这任何一步也不能完成这 件事，件事，只有各个步骤都只有各个步骤都 完成了，才能完成这件完成了，才能完成这件 事事。 各类办法是各类办法是互相独互相独 立立的。的。 各步之间是各步之间是互相互相关关 联的。联的。 即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。 例例1. 1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人五名学生报名参加四项体育比

19、赛，每人 限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争 夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多 少种？少种？ 解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的名学生中任一名均可报其中的 任一项，因此每个学生都有任一项，因此每个学生都有4种报名方法，种报名方法， 5名学生都报了项目才能算完成这一事件故名学生都报了项目才能算完成这一事件故 报名方法种数为报名方法种数为44444= 种种 . 5 4 （2）每个项目只有一个冠军，每一名学）每个项目只有一个冠军，每一名学 生都可能获得其中的一项获军，因此每个生都可能获得其中的一项

20、获军，因此每个 项目获冠军的可能性有项目获冠军的可能性有5种故有种故有n=5 = 种种 . 4 5 例例2.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字个字符，其中首个字 符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19， 问最多可以给多少个程序命名？问最多可以给多少个程序命名？ 分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个要给一个程序模块命名，可以分三个 步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间 字符；第三步，选末位字符。字符；第三步，选末位字符。 解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的

21、选法， 答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。 中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法 例例3.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的

22、碱基，分别用A，C，G，U表表 示，在一个示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由分子由100个碱基组个碱基组 成，那么能有多少种不同的成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？ 分析分析:用用100个位置表示由个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、 C、G、U中任选一个来占据。中任选一个来占据。 第第1位位 第第2位位 第第3位位 第第100位位 4种种 4种种

23、 4种种 4种种 解：解：100个碱基组成的长链共有个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从个位置，在每个位置中，从A、C、G、U 中任选一个来填入，每个位置有中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种填充方法。根据分步计数原理，共有 100 4100 44444 个 种不同的种不同的RNA分子分子. 例例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位电子元件很容易实现电路的通与断、电位 的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的 两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只 有有0或或1两种

24、数字的计数法，即二进制，为了使两种数字的计数法，即二进制，为了使 计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，计算机能够识别字符，需要对字符进行编码， 每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中 字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每 个字节由个二进制位构成，问个字节由个二进制位构成，问 （1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不位）最多可以表示多少个不 同的字符？同的字符？ （2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字个汉字，一个汉

25、字为一个字符，要对这些汉字 进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 第第1位位 第第2位位 第第3位位 第第8位位 2种种 2种种 2种种 2种种 如如00000000， 10000000， 11111111. 开始开始 子模块子模块1 18条执行路径条执行路径 子模块子模块3 28条执行路径条执行路径 子模块子模块2 45条执行路径条执行路径 子模块子模块5 43条执行路径条执行路径 子模块子模块4 38条执行路径条执行路径 结束结束 A 例例5.计算机编程人计算机编程人 员在编写好程序以员在编写好程序以 后要对程序进行测后要对程序进行测 试。程

26、序员需要知试。程序员需要知 道到底有多少条执道到底有多少条执 行路（即程序从开行路（即程序从开 始到结束的线），始到结束的线）， 以便知道需要提供以便知道需要提供 多少个测试数据。多少个测试数据。 一般的，一个程序一般的，一个程序 模块又许多子模块模块又许多子模块 组组 成，它的一个具有成，它的一个具有 许多执行路径的程许多执行路径的程 序模块。问：这个序模块。问：这个 程序模块有多少条程序模块有多少条 执行路径？另外为执行路径？另外为 了减少测试时间，了减少测试时间， 程序员需要设法减程序员需要设法减 少测试次数，你能少测试次数，你能 帮助程序员设计一帮助程序员设计一 个测试方式，个测试方式

27、， 以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？ 开始开始 子模块子模块1 18条执行路径条执行路径 子模块子模块3 28条执行路径条执行路径 子模块子模块2 45条执行路径条执行路径 子模块子模块5 43条执行路径条执行路径 子模块子模块4 38条执行路径条执行路径 结束结束 A 分析：分析：整个模块的任整个模块的任 意一条路径都分两步意一条路径都分两步 完成完成：第：第1步是从开步是从开 始执行到始执行到A点；第点；第2步步 是从是从A点执行到结束。点执行到结束。 而第步可由子模块而第步可由子模块1 或子模块或子模块2或子模块或子模块3 来完成；第二步可由来完成；第二步可由 子模块子模块4或子模块

28、或子模块5来来 完成。因此，分析一完成。因此，分析一 条指令在整个模块的条指令在整个模块的 执行路径需要用到两执行路径需要用到两 个计数原理。个计数原理。 开始开始 子模块子模块1 18条执行路径条执行路径 子模块子模块3 28条执行路径条执行路径 子模块子模块2 45条执行路径条执行路径 子模块子模块5 43条执行路径条执行路径 子模块子模块4 38条执行路径条执行路径 结束结束 A 再测试各个模块之再测试各个模块之 间的信息交流是否间的信息交流是否 正常，需要测试的正常，需要测试的 次数为：次数为：3*2=6。 如果每个子模块都如果每个子模块都 正常工作，并且各正常工作，并且各 个子模块之

29、间的信个子模块之间的信 息交流也正常，那息交流也正常，那 么整个程序模块就么整个程序模块就 正常。正常。 这样，测试整个这样，测试整个模块的次模块的次 数就变为数就变为 172+6=178（次）（次） 2）在实际测试中，）在实际测试中， 程序员总是把每一程序员总是把每一 个子模块看成一个个子模块看成一个 黑箱，即通过只考黑箱，即通过只考 察是否执行了正确察是否执行了正确 的子模块的方式来的子模块的方式来 测试整个模块。这测试整个模块。这 样，他可以先分别样，他可以先分别 单独测试单独测试5个模块，个模块， 以考察每个子模块以考察每个子模块 的工作是否正常。的工作是否正常。 总共需要的测试次总共

30、需要的测试次 数为：数为： 18+45+28+38+43=172。 例例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽 车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字 母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母 必须合成一组出现，个数字也必须合成一组必须合成一组出现，个数字也必须合成一组 出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照出现，那么这种办

31、法共能给多少辆汽车上牌照? 课堂练习课堂练习 1、乘积、乘积 展开后共有几项？展开后共有几项？ )()( 54321321321 cccccbbbaaa 2、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个个门，如果某人从其中的任意一个 门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？少种不同的进出商场的方式？ 3.如图如图,该电该电 路路,从从A到到B共共 有多少条不有多少条不 同的线路可同的线路可 通电？通电？ A B 课堂练习课堂练习 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4

32、 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。 解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 1.1.3分类计数原理分类计数原理 与 分步计数原理（三）分步计数原理（三） 一、复习回顾一、复习回顾: 两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么? 解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题? 有哪些技巧有哪些技巧? 练习：练习： 三个比赛项目，六人

33、报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。 ）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？ ）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多 少种不同的方法？少种不同的方法？ ）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多 少种不同的方法？少种不同的方法？ 72936 6 5 4120 3 6216 例例1 用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于100

34、0 的自然数的自然数? (3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数且各位数 字不允许重复的四位数字不允许重复的四位数? 一、排数字问题一、排数字问题 1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个 方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标 号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种 引申引申: 号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填 法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相 同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的

35、号的方格，又有种填法，其余两个方格只 有种填法。有种填法。 所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。 二、映射个数问题二、映射个数问题: 例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多 少种不同的映射少种不同的映射? 三、染色问题三、染色问题: 例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求要求 在在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有公共边界)区域中区域中 不用同一种颜色不用同一种颜色. (1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法? (2)若为若为(2)着色时共有着色时共有1

36、20种不同方法种不同方法,求求n (1) (2) 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分 别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜 色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不 同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？ 解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分 四步完成四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种, 所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得

37、到不同的涂色方案得到不同的涂色方案 种数共有种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。 、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分 别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜 色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不 同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？ 若用若用2色、色、4色、色、5色色 等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？ 答答:它们的涂色方案种数它们的涂色方案种数 分别是分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。种等。 思考：思考： . .如图如图, ,用用

38、5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色, , 规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色, , 相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 种。种。 A B C D 分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻， A A 与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两 不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，两个区域可以同色，也可以不同色， 但但D D与与B B、C C不同色。由此可见我们

39、需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D 同色与不同色分成两大类。同色与不同色分成两大类。 解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。 第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C 有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理， 共有共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。 根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有120+60120+60180180种方法。种方

40、法。 第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，第一步涂同色，分三步完成，第一步涂A A和和D D有有5 5种种 方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分 步计数原理，共有步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。 、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃， 花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽 种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有不

41、同的栽种方法有_种种.（以（以 数字作答）数字作答） 6 5 432 1 （1 1）与同色，则也同色或也同色，所以共有）与同色，则也同色或也同色，所以共有 N N1 1=4=43 32 22 21=481=48种；种； 所以，共有所以，共有 N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与同色，则或同色，所以共有与同色，则或同色，所以共有 N N2 2=4=43 32 22 21=481=48种；种； （3）与且与同色，则共与且与同色，则共N N3 3=4=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的

42、花，又从图形看 知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 6、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验 田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物，不同的种植方法共有能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）种（以数字作答） 42 5、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、 黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜 色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反色，且

43、相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用，那么共有多少种涂色方法？复使用，那么共有多少种涂色方法？ 四、子集问题四、子集问题 规律：规律：n元集合元集合 的不同子的不同子 集有个集有个 。 12 ,., n Aa aa 2 n 例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数 为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子集个，非空子集个 数为数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。 五、综合问题五、综合问题: 例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以可以 从从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的这五个数字中任取两个不同的 数字数字,则方程

44、所表示的不同的直线共有多则方程所表示的不同的直线共有多 少条少条? 、7560075600有多少个正约数有多少个正约数? ?有多少个奇约数有多少个奇约数? ? 解解: :由于由于 7560075600= =2 24 43 33 35 52 27 7 (1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成 的形式的形式, ,其中其中 , , , , , , lkjl 7532 40i 30 j20 k10l 于是于是, ,要确定要确定7560075600的一个约数的一个约数, ,可分四步完成可分四步完成, ,即即 i,j,k,li,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值分别在各

45、自的范围内任取一个值, ,这样这样i i有有5 5 种取法种取法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k有有3 3种取法种取法,l,l有有2 2种取法种取法, ,根据根据 分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32 2= =120120个个. . 解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1 有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成, 所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所以所以, 根据加

46、法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最最 近路线共有近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。 3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬从的一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？条？ 4、如果把两条异面直线看成“一对”，、如果把两条异面直线看成“一对”， 那么六棱锥的棱所在的那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面条直线中，异面 直线共有（直线共有（ ）对）对 A.12 B.24 C.36 D.48 B 5.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙从乙地到丙 地有地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从从 丁地到丙地有丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有条路可通。从甲地到丙地共有 多少种不同的走法？多少种不同的走法？ 甲地 乙地 丙地 丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有由甲到丙有 两类不同的走法两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经