2013年北京市春季普通高中会考（（数学试卷）北京会考2010-2019）.doc

1、 20132013 年北京市春季普通高中会考年北京市春季普通高中会考 数学试卷数学试卷 第一部分 选择题（每小题 3 分，共 60 分） 一、一、在每个小题给出的四个备选答案中在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1如果集合1,2A ，0Bx x，那么集合AB等于（ ） A B 1 C 2 D 1, 2 2不等式 2 20 xx的解集为（ ） A |2x x B |0 x x C |02xx D |0 x x 或2x 3已知向量( 2,3)a ，(1,5)b ，那么a b等于（ ） A13 B7 C7 D13 4如果直线3yx与直线1ymx 平行，那

2、么m的值为（ ） A3 B 1 3 C 1 3 D3 5如果0a ，那么 1 1a a 的最小值是（ ） A2 B3 C4 D5 6要得到函数2sin() 6 yx 的图象，只要将函数2sinyx的图象（ ） A向左平移 6 个单位 B向右平移 6 个单位 C向左平移 3 个单位 D向右平移 3 个单位 7在等差数列 n a中，已知 1 1a ， 5 25S ，那么 5 a等于（ ） A9 B8 C7 D 6 8在函数cosyx， 3 yx，exy ，lnyx中，奇函数是（ ） Acosyx B 3 yx Cexy Dlnyx 9 11 cos 6 的值为（ ） A 3 2 B 2 2 C 2

3、 2 D 3 2 10函数sin2cos2 ()yxx xR的最小正周期是（ ） A 2 B C D 11已知函数( )(0,1) x f xaaa在区间0,1上最大值是2，那么a等于（ ） A 1 4 B 1 2 C2 D4 12在ABC中，60A，2 3AC ，3 2BC ，则角B等于（ ） A45 B30或60 C135 D45或135 13口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个 小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（ ） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 14为了解决某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机

4、抽取200辆进行统计分析，绘制出关于它们车速 的频率分布直方图（如图所示） ，那么车速在60,70)区间的汽车大约有（ ） A20 B40 C60 D80 15已知平面、，直线a、b，下面的四个命题 /a b a b； a b /a b； a bab ；/ / a ba b 中， 所有正确命题的序号是（ ） A B C D 16当x，y满足条件0 230 xy y xy 时，目标函数3zxy的最大值是（ ） A1 B1.5 C4 D9 17针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告中首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比 2010年翻一番”的新指标按照这一指标，城乡居民人均收

5、入在这十年间平均增长率x应满足的关系式是 （ ） A1 102x B10(1)2x C 10 (1)2x D 10 (1)2x 18一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（ ） A12 B18 C24 D36 19将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（ ） A1 B0.8 C0.6 D0.5 20记时钟的时针、分针分别为OA、OB（O为两针的旋转中心） 从12点整开始计时， 经过m分钟，OA OB的值第一次达到最小时，那么m的值是（ ） A30 B 360 11 C31 D 2 11 第二部分 非选择题（共 40 分） 二二、填空题填空题（共 4 个小题

6、，每小题 3 分，共 12 分） 21计算 1 3 1 ( )log 1 2 的结果为 22已知圆:C 22 (1)(1)1xy，那么圆心C到坐标原点O的距离是 俯视图 侧(左)视图正(主)视图 4 3 3 3 23某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值为 24已知数列 n a是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果 1 1a ，16 n a ，那么nd的最小值为 三三、解答题解答题（共 4 个小题，共 28 分） 25 （本小题满分 7 分） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E是棱 1 CC的中点 （）证明： 1/ AC平面BDE； （）证明： 1 ACBD 否

7、是 结束 输出S i = i+1 S=S+2i i 4 S=1，i=1 开始 D1 B1 C1 A1 D B E C A 26 （本小题满分 7 分） 在平面直角坐标系xOy中，角，0 2 ， 2 的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，终 边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为 5 13 ， 3 5 （）求tan的值； （）求AOB的面积 27 （本小题满分 7 分） 已知圆 222 :5(0)C xymm，直线l过点,0Mm且与圆C相交于A，B两点 （）如果直线l的斜率为1，且| 6AB ，求m的值； （）设直线l与y轴交于点P，如果| 2|PAPM，求直线l的斜率 2

8、8 （本小题满分 7 分） 已知函数 2 ( )f xaxbxc满足：( )f x的一个零点为2；( )f x的最大值为1； 对任意实数x都有(1)(1)f xfx （）求a，b，c的值； （）设函数 , ( ), x xA g x f x xB 是定义域为(0,1)的单调增函数，且 0 01x x 当 0 xB时，证明：xB 数学试卷数学试卷参考答案 一、在每个小题给出的四个备选答案中一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】由于集合 1, 2A ， |0Bx x，因此 2AB ，故选 C 2 【答案】C 【解析】令 2 2

9、0 xx，解得0 x 或2x ，因此不等式 2 20 xx的解集为 |02xx，故选 C 3 【答案】D 【解析】根据向量的坐标运算 1212 213 513a bx xy y ，故选 D 4 【答案】A 【解析】根据两条直线平行的条件可知，3m ，得3m ，故选 A 5 【答案】B 【解析】 根据题意， 求 1 1a a 的最小值可应用均值不等式， 则 11 1132aa aa ， 当且仅当 1 a a ， 即1a 时等号成立，故选 B 6 【答案】A 【解析】根据图象平移左加右减的原理，要得到函数2sin() 6 yx 的图象， 只要将函数2sinyx的图象向左平移 6 个单位，故选 A

10、7 【答案】A 【解析】由等差数列前n和 n S的计算公式 1 2 n n n aa S ， 知 15 5 5 2 aa S ，解得 5 9a ，故选 A 8 【答案】B 【解析】对于 A，定义域为R， coscosfxxxf x，是偶函数； 对于 B，定义域为R， 3 3 fxxxf x ，是奇函数； 对于 C，定义域R， x fxef x ，因此是非奇非偶函数； 对于 D，定义域0,，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数，故选 B 9 【答案】D 【解析】根据诱导公式， 113 coscos 2cos 6662 ，故选 D 10 【答案】B 【解析】根据辅助角公式， 22 sin2cos22

11、sin2cos22sin 2 224 yxxxxx ， 最小正周期 2 2 T ，故选 B 11 【答案】C 【解析】当01a时，函数( ) x f xa是减函数， 那么当0 x 时，取得最大值 0 12a ，不符合题意； 当1a 时，函数( ) x f xa是增函数， 那么当1x 时，取得最大值 1 2a ，即2a ，故选 C 12 【答案】A 【解析】根据正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，可得 3 22 3 sin60sinB ，即 2 sin 2 B ， 那么 4 B 或 3 4 B ，因为ACBC，所以AB，所以 4 B ，故选 A 13 【答案】A 【解析】根据

12、题意符合古典概型的条件，基本事件空间（红色，黄色） ， （红色，蓝色） ， （红色，白色） ， （黄色， 蓝色） ， （黄色，白色） ， （蓝色，白色）基本事件总数为6，摸到红色小球和白色小球的事件为（红色， 白色），事件数为1，摸到红色小球和白色小球的概率是 1 6 ，故选 A 14 【答案】D 【解析】根据频率分布直方图可知，车速在60,70)区间的概率为0.04 100.4， 车辆数为：2000.480，故选 D 15 【答案】A 【解析】若两条直线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面正确； 若两条都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，正确； 若两个面垂直，两个面内

13、的直线不一定互相垂直，错误； 若两个平面平行，两个面内的直线平行或异面，错误，故选 A 16 【答案】C 【解析】根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示， 由图可知，当过点1,1时，z取得最大值4，故选 C y=- 1 3 x+ 1 3 z 2x+y-3=0 x-y=0 o y x 17 【答案】C 【解析】根据题意可知，设原收入为0a a ，则十年后为2a，因此 10 (1)2axa， 即 10 (1)2x，故选 C 18 【答案】B 【解析】由三视图可知该空间几何体的直观图为横着放的直三棱柱， 1 43 318 2 VS h ，故选 B 19 【答案】B 【解析】根据题意，符合几何概型的

14、条件，因此将概率转化为长度的比，那么长度小于0.4 米的概率是 20.4 0.8 1 ，故选 B 20 【答案】B 【解析】因为cos,OA OBOA OBOA OB， 所以要使OA OB的值第一次达到最小时， 对应的夹角cos,180OA OB ， 因为时针一分钟转的角度为： 1 3600.5 1260 ， 分针一分钟旋转的角度为： 1 3606 60 ， 经过m分钟后，有60.5180mm， 即5.5180m ，解得 360 11 m ，故选 B 第二部分第二部分 非选择题非选择题（共 40 分） 二二、填空题填空题（共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 21 【答案】2 【解析

15、】根据指数与对数的运算法则， 1 3 1 ( )log 1202 2 ，故答案为：2 22 【答案】2 【解析】由题知，圆心1, 1C，因此圆心C到坐标原点O的距离2d ，故答案为：2 23 【答案】31 【解析】第一次循环，当1i 时， 1 123S ； 第二次循环，当2i 时， 2 327S ； 第三次循环，当3i 时， 3 7215S ； 第四次循环，当4i 时， 4 15231S ； 当5i 时，循环结束，输出S的值为31，故答案为31 24 【答案】9 【解析】根据等差数列的通项公式 1 1 n aand，且各项均为正整数， 即1151 153 5nd ，只有当13n ，5d 或15

16、n ，3d 解得4n ，5d 或6n ，3d ，nd有最小值9，故答案为：9 三三、解答题解答题（共 4 个小题，共 28 分） 25证明： （）连接AC交BD于O，连接OE， 因为ABCD是正方形，所以O为AC的中点， 因为E是棱 1 CC的中点，所以 1/ ACOE 又因为 1 AC 平面BDE，OE 平面BDE， 所以 1/ AC平面BDE （）因为ABCD是正方形，所以ACBD 因为 1 CC 平面ABCD，且BD平面ABCD， 所以 1 CCBD 又因为 1 CCACC， 所以BD 平面 1 ACC 又因为 1 AC 平面 1 ACC， 所以 1 ACBD 26解： （）因为在单位圆

17、中，B点的纵坐标为 3 5 ， 所以 3 sin 5 ，因为 2 ， 所以 4 cos 5 ，所以 sin3 tan cos4 （）因为在单位圆中，A点的纵坐标为 5 13 ，所以 5 sin 13 因为0 2 ，所以 12 cos 13 由（）得 3 sin 5 ， 4 cos 5 ， 所以 56 sinsin()sincoscossin 65 AOB 又因为1OA ，1OB ， 所以AOB的面积 128 | |sin 265 SOAOBAOB 27解： （）由已知，直线l的方程为yxm，圆心0,0到l直线的为 | 2 m 因为6AB ，所以 22 | 5()9 2 m m ，解得 2 2m

18、 由0m ，得2m （）设 11 ,A x y，直线l：()yk xm，则点0,Pkm 因为| 2|PAPM，所以2PAPM或2PAPM ， 当2PAPM时， 11 ( ,)2(,)x ykmmkm， 所以 1 2xm ， 1 ykm 由方程组 222 11 1 1 5 2 xym xm ykm ，得1k 当2PAPM 时， 11 ( ,)2(,)x ykmmkm ， 所以 1 2xm， 1 3ykm 由方程组 222 11 1 1 5 2 3 xym xm ykm 得 1 3 k 综上，直线l的斜率为1， 1 3 28 解： （）因为( )f x的一个零点为2，所以(2)0f，即420abc

19、 又因为对任意x都有(1)(1)f xfx，所以(0)(2)0ff，即0c 因为( )f x的最大值为1，所以 2 4 1 4 acb a ，所以1,2ab （）由（）可知， 2 ( )2f xxx因为 0 xB，所以 2 000 ()2g xxx 因为 0 01x，所以 00 ()1xg x 因为( )g x是单调递增函数，所以 2 000 ,2xxxB 记 2 100 2(0,1)xxx， 2 211 2xxx， 2 11 2 nnn xxx ， 所以 01 ,xxB 同理 12 ,x xB， 1 , nn xxB ， 由 2 11 2 nnn xxx ，得 22 111 112(1) nnnn xxxx 所以 2 222 120 1(1)(1)(1) n nnn xxxx 由于 0 1x x ，可取自然数 0 2(1) log log1 xx nx （）， 于是 x n xx ，即 0 , x n xx x 而且 0 , x n xx xB ，所以xB