《新编高等数学》课件2高等数学-第二章 极限与连续.pptx

1、1数列的极限2函数的极限3无穷小与无穷大4极限的运算法则5两个重要极限6函数的连续性第一节 数列的极限第一节 数列的极限3 极限的概念是由于求某些问题的精确解而产生的，我们先介绍古代数学家刘徽（魏晋期间伟大的数学家），利用圆的内接正多边形来推算圆的面积的方法割圆术。设有一圆，先做内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，再作内接正二十四边形，其面积记为A3，依次逐渐将边数加倍。这样就得到一系列内接正多边形的面积：这就是一个数列。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。一、数列的概念RA1，A2，A3，An，第一节 数列的极限4 一般地说，

2、按自然数1，2，3，编号依次排列的一列数称为一个无穷数列，简称数列。其中的每一个数称为数列的一个项，xn，称为数列的通项或一般项。通项为xn 的数列可以简记为数列 xn。数列 xn 可以看成自变量为正整数的函数：一、数列的概念x1，x2，x3，xn，()nxf n 在几何上，数列 xn 可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3，xn，1x2x3x4xnx第一节 数列的极限5 例如，以下都是数列：一、数列的概念11111,242n123,2341nn11,1,1,1,(1),n112nnx1nnxn1(1)nnx 一般项是一般项是一般项是第一节 数列的极限6 对于数列，当

3、n 无限增大时，它能否无限趋向于一个常数，如果能的话，这个常数又是什么，如何求出？二、数列极限的定义 割圆术中的数列A1，A2，A3，An，从其几何意义上可知，随着 n 无限增大，An 的值也逐渐增大，并且无限的接近圆的面积 A。定义 设有数列 xn，如果存在常数 a，当 n 无限增大时，xn 无限趋近于 a，则称数列 xn 以 a 为极限，或称数列 xn 收敛于 a，记作如果这样的常数 a 不存在，则称数列 xn 发散。limnnxanxan 或 （）第一节 数列的极限7二、数列极限的定义 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；例2-1 观察下列数列 xn 的极限：112nnx1n

4、nxn1(1)nnx(1)nnnxn nxn1(1)nnxn 解：（1）；（2）；（3）发散；11lim02nnlim11nnn(1)lim1nnnn（4）；（5）当 n 时，数列发散（无限增大）；1lim(1)0nnn（6）第一节 数列的极限8 为了方便起见，有时也将当 n 时|xn|无限增大的情况说成是数列 xn 趋向于，或称其极限为（但这不表示数列是收敛的），记作二、数列极限的定义或 （）limnnx nx n 如果当 n 足够大时能够限定 xn 的正负，且当 n 时|xn|无限增大，则可记作limnn limnnx limnnx 或（）例如2lim()nn 第一节 数列的极限9 下面给

5、出数列极限的严格定义（N 定义）：二、数列极限的定义恒成立，则称数列 xn 以 a 为极限，或称数列 xn 收敛于 a；如果这样的常数 a 不存在，则称数列 xn 发散。数列 xn 收敛于 a 的几何意义为：对于任意给定的 0，当 n N 时，所有的点 xn 落在（a ，a+）内，数列中只有有限个点（至多只有 N 个）落在其外。定义 设有数列 xn，如果存在常数 a，使得对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n N 时，不等式|nxaxx2xN+2xN+1aa+a-第一节 数列的极限10性质1（极限的唯一性）收敛数列的极限是唯一的。三、收敛数列的基本性质性质2（收敛数

6、列的有界性）如果数列xn收敛，则数列xn一定有界。推论 无界数列一定是发散的。注意：数列有界数列收敛的必要而非充分条件。如数列 (-1)n+1 有界，但却是散数列。第二节 函数的极限第二节 函数的极限12 数列是定义在正整数集合上的函数，它的极限只是一种特殊的整标函数的极限。现在我们讨论定义在实数集合上的一般的函数的极限。关于函数的极限，我们主要讨论两种情形：（1）自变量 x 的绝对值|x|无限增大或者说趋于无穷大（记作 x）时，对应函数值 f(x)的总的变化趋势；（2）自变量 x 无限接近于有限值 x0 或者说趋于有限值 x0（记作 x x0 ）时，对应函数值 f(x)的总的变化趋势；第二节

7、 函数的极限13 定义 设函数 f(x)的在|x|M（M 为某一正数）时有定义，如果存在常数 A，当|x|无限增大时，对应的函数值 f(x)无限的接近于 A，则称 A 为函数 f(x)当 x 时的极限，或简称为 f(x)在无穷大处的极限，记作一、自变量趋于无穷大时函数的极限 考虑函数 ，当|x|无限增大时，它所对应的函数值 y 就无限的趋近于 0，我们称当 x 趋于无穷大时，函数 以 0 为极限。xy1xy1或 （）lim()xf xA()f xAx 如果这样的常数 A 不存在，则称当 x 时函数 f(x)没有极限（或称极限 不存在）。lim()xf x第二节 函数的极限14 定义 设函数 f

8、(x)的在|x|M（M 为某一正数）时有定义，如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正整数 X，使得当|x|X 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式 类似于数列的极限，也可以给出严格的 X 定义：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 如果定义中限制 x 只取正值或者只取负值，我们就分别记为或lim()xf xAlim()xf xA称为 f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。则称 A 为函数 f(x)当 x 时的极限。|()|f xA第二节 函数的极限15 对于一些简单函数，通过观察函数值或图形就可以得到函数当 x 时的极限，如：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义

9、中的|x|X 如果改为 x X（x X），就可得到 f(x)在正无穷大处或负无穷大处的极限。于是容易得到：lim()lim()lim()xxxf xAf xAf x1lim0 xxlim 20 xx1lim02xxlim arctan2xx lim arctan2xx 一般来讲，如果 （或 ），则直线 y=A 就是函数 y=f(x)的图像的水平渐近线。lim()xf xAlim()xf xAlim()xf xA第二节 函数的极限16 注意：定义不要求 f(x)的在点 x0 有定义，因为当 x x0 时 x x0。二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义 设函数 f(x)在点 x0 的附近有定义，

10、若存在常数 A，当 x 无限趋向于 x0 时，对应的函数值 f(x)无限的接近于 A，则称 A 为函数 f(x)当 x x0 时的极限，记作或 （）0lim()xxf xA()f xA0 xx 如果这样的常数 A 不存在，则称当 x x0 时函数 f(x)没有极限（或称极限 不存在）。0lim()xxf x 上述定义也可以解释为：只要 x 与x0 足够接近（即|x x0|足够小），就可以使 f(x)与 A 任意接近（即|f(x)A|任意小）。第二节 函数的极限17 点 a 称为这个邻域的中心，称为这个邻域的半径。并且可以看出，U(a，)也就是以点 a 为中心，长度为 2 的开区间(a ，a+)

11、。二、自变量趋于有限值时函数的极限 定义 设 a 与 是两个实数，数集 x|x a|称为点 a 的 邻域，记作 U(a，)，即 为了阐述函数的局部性态，还经常用到邻域的概念，它表示某点附近的所有点的集合。(,)|U axxax axaaaa+xaaa+x第二节 函数的极限18二、自变量趋于有限值时函数的极限 U(a，)表示与点 a 的距离小于 的点的全体。有时用到的邻域需要把中心去掉，将 U(a，)的中心 a 去掉后，称为点 a 的去心 邻域，记作 由此，也可以给出函数在一点处极限的严格的 定义：|0|),(axxaU 定义 设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义，如果存在常数 A，

12、使得对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正整数，使得当 0|x x0|时，对应的函数值 f(x)都满足不等式则称 A 为函数 f(x)当 x x0 时的极限。|()|f xA第二节 函数的极限19二、自变量趋于有限值时函数的极限 其几何意义为：对于任意给定的正数，总存在正数 ，当 x 落在 x0 的去心 邻域内时，函数 y=f(x)的图形完全落在以为 y=A 中心线，宽为 2 的带状区域内。例2-2 对于一些简单的函数，可以根据观察判断出它的极限：y=f(x)A+AA yx x0 x0 x0+O （1）（C 为常数）；（2）；（3）0limxxCC00limxxxx3lim(21)5x

13、x （4）21111(1)(1)limlimlim(1)211xxxxxxxxx第二节 函数的极限20 前面给出的 x x0 时函数 f(x)的极限，自变量 x 是从左右两侧趋近于的，但有时我们只能或只需考虑 x 是仅从左侧趋近于 x0（即 x x0）的情形，为此，通常将类似可以定义右极限为三、单侧极限 x x0 时，x x0 时的情况记作0 xx0 xx 定义 设函数 f(x)在点 x0 的左侧附近有定义，若存在常数 A，使得当 x 从左侧无限趋向于 x0 时，对应的函数值 f(x)无限的接近于 A，则称 A 为函数 f(x)当 x 趋于 x0 时的左极限，记作0lim()xxf xA0li

14、m()xxf xA第二节 函数的极限21 左极限与右极限统称为单侧极限。右极限为三、单侧极限 定理 当 x x0 时函数 f(x)以 A 为极限的充分必要条件是 f(x)在点 x0 处的左、右极限存在且都等于 A，即0lim()xf x000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xAf x 例2-3 设 ，求 0101)(2xxxxxf1Oxyxy112xy 解 左极限为00lim()lim(1)1xxf xx200lim()lim(1)1xxf xx0lim()1xf x所以第二节 函数的极限22因此 ；又由于 三、单侧极限 例2-4 设 ，讨论 x 0 时及x 1 时 f(

15、x)的极限。解 由于 ，22,02(),0111,1xxf xxxxx00lim()lim(2)2xxf xx002lim()lim21xxf xx112lim()lim11xxf xx211lim()lim(1)0 xxf xx0lim()2xf x1lim()xf x所以 x 1 时 f(x)的极限不存在，或称 不存在。第二节 函数的极限23 性质1（函数极限的唯一性）如果 存在，则极限唯一。性质2（有极限函数的局部有界性）如果 存在，则函数 f(x)在点 x0 的某个邻域内有界，即存在常数 M，使得在点 x0 的某个邻域内有0lim()xxf x0lim()xxf x|()|f xM第三

16、节 无穷小与无穷大第三节 无穷小与无穷大25一、无穷小 无穷小的概念在极限的研究中有及其重要的作用。定义 在自变量 x 的某个变化过程中，若函数 f(x)的极限为零，则称 f(x)在该变化过程中为无穷小量，简称无穷小。例2-5 因为 ，所以函数 是当 x 时的无穷小。1lim0 xxx1 例2-6 因为 ，所以函数(x 1)是当 x 1 时的无穷小。1lim(1)0 xx 例2-7 因为 ，所以函数 sinx 是当 x 0 时的无穷小。0limsin0 xx 注意：不要把无穷小与绝对值很小的数混为一谈，无穷小是一个以0 为极限的函数，能作为无穷小的常数只有0，其它任何常数，无论其绝对值多么小，

17、也不是无穷小。第三节 无穷小与无穷大26一、无穷小 下面定理说明了无穷小与函数极限的密切关系：由无穷小的定义，不难理解无穷小的下列性质：性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。性质3 有限个无穷小的乘积是无穷小。推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。定理 在自变量 x 的某个变化过程中，函数 f(x)有极限 A 的充分必要条件为：f(x)可以表示为 A 与一个同一变化过程中的无穷小 的和，即lim()()(lim0)f xAf xA第三节 无穷小与无穷大27一、无穷小 注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小；两个无穷小的商不一定是无穷小。例2-8 求极限

18、01lim sinxxx 解：由于 ，所以1sin1x0lim0 xx01lim sin0 xxx 例2-9 求极限arctanlimxxx 解：由于 ，所以|arctan|2x1lim0 xxarctanlim0 xxx第三节 无穷小与无穷大28二、无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但无穷小的商就不易确定了。可见两个无穷小的商，可以是无穷小，可以是无穷大，也可以是常数或极限为常数的变量，这是因为无穷小在趋于零的过程中快慢不同。例如，当 x 0 时，x，2x，x2，x3，x+x2 都是无穷小，而此时02 xxxxxx132222xx211xxxx 为了比较无穷小，我们引入无穷小的

19、阶的概念。第三节 无穷小与无穷大29二、无穷小的比较 定义 设 及 是自变量同一变化过程中的无穷小，且 ，则0 （1）如果 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作 ；lim0()（2）如果 ，则称 是比 低阶的无穷小；lim （3）如果 ，则称 与 是同阶的无穷小；lim0clim1 （4）如果 ，则称 与 是等价无穷小，记作 。显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。第三节 无穷小与无穷大30二、无穷小的比较 由定义可见，当 x 0 时，x2 是 x 的高阶无穷小，即 x2=o(x)，而 x2 是 x3 的低阶无穷小，x 与 2x 是同阶无穷小。关于等价无穷小，有下面定理：定理 在自变量同一变化过

20、程中，如果 ，且 存在，则limlimlimlimlim=limlimlimlim证第三节 无穷小与无穷大31二、无穷小的比较 求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替；在求分式的极限时，分子及分母中的无穷小因子也可以用等价无穷小来代替。如果用来代替的无穷小选取适当的话，可以使计算简化。在后面的极限计算中我们会遇到利用等价无穷小代换来求极限的例子。需要注意的是，当分子或分母是若干项的和或差时，一般不能对其中某一项作等价无穷小的代换。第三节 无穷小与无穷大32三、无穷大 （1）lim f(x)=并不表示 f(x)有极限，无穷大“”不是数，只是一个符号；（2）无穷大是无界函数，

21、但是无界函数不一定是无穷大；（3）无穷大是一个绝对值无限大的变量，任何绝对值很大的常数都不是无穷大。定义 在自变量 x 的某个变化过程中，若函数 f(x)的绝对值无限增大，则称 f(x)在该变化过程中为无穷大量，简称无穷大，可以记作 lim f(x)=。例如，当 x 0 时，cotx 都是无穷大；当 x 0+时，lnx 都是无穷大；当 x+时，x3，ex，lnx 都是无穷大。1x1x注意第三节 无穷小与无穷大33三、无穷大 定义 如果 （或 ），则直线 x=x0是函数 y=f(x)的图像的铅直渐近线。0lim()xxf x 0lim()xxf x 0lim()xxf x 例2-10 因为 ，所

22、以直线 x=1是曲线 的铅直渐近线。11lim1xx 11yx 无穷大与无穷小有如下关系：定理 在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)为无穷大，则 为无穷小；反之，如果 f(x)为无穷小且 f(x)0，则 为无穷大。1()f x1()f x 例2-11 当 x 0 时，x3 是无穷小，而 是无穷大。31x 例2-12 当 x 时，x+1 是无穷大，而 是无穷小。11x第四节 极限的运算法则第四节 极限的运算法则35一、极限的四则运算 在下面的讨论中，极限过程的自变量的趋向没有标出，表示对任何一个自变量的变化过程都成立，只要在同一问题中自变量的趋向相同即可。并且这些运算法则对于数列的极限也是同

23、样适用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推广到有限个函数的情形，但不可应用到无穷多个数列的情形。定理 如果 ，则lim()f xAlim()g xB （1）lim()()lim()lim()f xg xf xg xAB （2）lim()()lim()lim()f xg xf xg xA B （3）当 B 0时，()lim()lim()lim()f xf xAg xg xB第四节 极限的运算法则36一、极限的四则运算 由（2）可得下面推论：下面计算一些函数的极限。推论 如果 lim f(x)存在，c 为常数，n 为正整数，则 （1）（2）lim()lim()c f xcf xlim()lim(

24、)nnf xf x23lim(25)xxx23lim(25)xxx2333limlim2lim5xxxxx2233lim2lim532 358xxxx 例2-13 求 解第四节 极限的运算法则37一、极限的四则运算 由上例可以看出，求多项式函数当 x x0 时的极限，只要用 x0 代替函数中的 x 即可（代入法），即 例2-14 求 解1011()nnnnP xa xa xaxa00lim()()xxP xP x22lim(357)xxx22lim(357)xxx23(2)5(2)712 10715 第四节 极限的运算法则38一、极限的四则运算 例2-15 求 解 这里分母的极限不为零，于是3

25、221lim34xxxx3221lim34xxxx332222lim(1)217lim(34)23 242xxxxx 00000lim()()()lim()lim()()xxxxxxP xP xP xQ xQ xQ x()()P xQ x 可见，求有理分式函数 （其中 P(x)，Q(x)都是多项式函数）当 x x0 时的极限，如果 Q(x0)0，也只需用 x0 代替函数中的 x 即可（代入法），即第四节 极限的运算法则39一、极限的四则运算 例2-16 求 解 这里分母的极限不为零，于是221436lim58xxxxx221436lim58xxxxx224 13 1 6115 1 84 223

26、56lim9xxxx22356lim9xxxx3(3)(2)lim(3)(3)xxxxx32321lim3336xxx 例2-17 求 解 x 3 时，分子分母的极限都为零，不能分别取极限再求商，注意到分子分母都具有公因子 x 3，而 x 3 时 x 3，可以消去公因子后再求极限，于是第四节 极限的运算法则 注意：对于这种 Q(x0)=0 且 P(x0)=0 的有理分式函数 ，在求当x x0 时的极限时，分子分母一定都具有公因子 x x0，由于当 x x0 时 x x0，所以分子分母可以消去不为零的公因子后再求极限。40()()P xQ x 例2-18 求 解22256lim28xxxxx22

27、256lim28xxxxx2(2)(3)lim(2)(4)xxxxx23lim4xxx231246 一、极限的四则运算第四节 极限的运算法则41一、极限的四则运算 例2-19 求 解 当 x 1 时，分母的极限为零，分子的极限为3，不能用商的极限运算法则，但由于2141lim23xxxx21230lim0413xxxx2141lim23xxxx 于是由无穷小与无穷大的关系可得第四节 极限的运算法则42一、极限的四则运算 例2-20 求 解 注意：对于 Q(x0)=0 且 P(x0)0 的有理分式函数 ，求当 x x0 时的极限时，可以先求其倒数的极限，再利用无穷小与无穷大的关系得到结果。()(

28、)P xQ x2221lim4xxxx2221lim4xxxx221lim(2)(2)xxxxx 再来看一些当 x 时有理分式函数的极限。第四节 极限的运算法则43一、极限的四则运算 例2-21 求 解 由于分子分母的极限都是，所以不能用商的极限运算法则。做适当变形，即分子分母同时除以它们的最高次幂 x3，然后取极限，得3232235lim741xxxxxx3232235lim741xxxxxx3233522lim41177xxxxxx第四节 极限的运算法则44一、极限的四则运算 例2-22 求 解 分子、分母同时除以 x3，然后取极限，得2334lim423xxxxx2334lim423xx

29、xxx23231340lim02344xxxxxx第四节 极限的运算法则45一、极限的四则运算 例2-23 求 解 由上例，以及无穷小与无穷大的关系可得 一般地，对于当 x 时有理分式函数的极限，当 a0 0，b0 0，m，n 为非负整数时有以下结论：32423lim34xxxxx32423lim34xxxxx 101010100,lim,mmmnnxnnma xa xaanmb xb xbbnm当当当第四节 极限的运算法则46二、复合函数求极限 对于多项式函数和有理分式函数 f(x)，只要 f(x)在点 x0 处有定义，则当 x x0 时 f(x)的极限值就是 f(x)在点 x0 处的函数值

30、。这里我们指出，一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都具有这样的性质，即如果 f(x)是基本初等函数，定义域为D，而 xD，则00lim()()xxf xf x 例如，f(x)=sinx 是基本初等函数，而点 在它的定义域内，所以2x2limsinsin12xx 下面给出一个复合函数求极限的定理。第四节 极限的运算法则47二、复合函数求极限 定理 设函数 u=(x)当 x x0 时的极限等于a，即 ，而函数 y=f(u)在点 u=a 处有定义且 ，则复合函数 y=f(x)当 x x0 时的极限存在且等于 f(a)，即定理表明，满足定理条件的情况下，函数符号可以和极限符号交换次序。0lim()

31、xxxalim()()xaf uf a00lim()()lim()xxxxfxf afx233lim9xxx233lim9xxx233lim9xxx31lim3xx1666 例2-24 求 解第四节 极限的运算法则48二、复合函数求极限 例2-25 求 解 例2-26 求 解257limcos24xxxx257limcos24xxxx257cos lim24xxxxcos01011limxxx011limxxx0(11)(11)lim(11)xxxxx011lim(11)xxxx011lim211xx第四节 极限的运算法则49二、复合函数求极限 注意：在求一些无理分式函数的极限时，如果分子分母

32、都是趋于零的，可以通过先进行有理化，再约去公因子的方法求极限。例2-27 求 解11lim54xxxx11lim54xxxx1(1)(54)lim(54)(54)xxxxxxxx1(1)(54)lim4(1)xxxxx154lim4xxx2142第四节 极限的运算法则50二、复合函数求极限 例2-28 求 解 虽然此题不是无理分式，但由于相减的两项都是趋于无穷的，因此也需要用有理化的方法来做。lim(1)nnn lim(1)nnn(1)(1)lim1nnnnnnn 1lim1nnnnn 1lim01nnn 第四节 极限的运算法则51二、复合函数求极限 例2-29 求 解 此题相减的两项都是趋于

33、无穷大的，因此需要通分后再计算。2121lim11xxx2121lim11xxx12(1)lim(1)(1)xxxx11lim(1)(1)xxxx111lim12xx第五节 两个重要极限第五节 两个重要极限53一、准则和第一个重要极限 准则I 设在变量的某一变化过程中，对于函数 f(x)，g(x)，h(x)，有g(x)f(x)h(x)且 lim g(x)=lim h(x)=A，则lim f(x)=A。这个准则对于数列的极限也是同样适用的。利用这个准则，可以证下列重要极限：0sinlim1xxx第五节 两个重要极限54一、准则和第一个重要极限 证明：如图2-6，设单位圆O，圆心角AOB=x，过A

34、点作圆的切线，与OB的延长线交于D点，再作 BCOA，于是可得：ACxoBD ，这里（）sin xBCtan xAD02x显然：AOB的面积 扇形AOB的面积 0）的函数叫做幂指函数。第二个重要极限就是幂指函数的极限。幂指函数的极限的一般计算方法为：在自变量同一变化过程中，如果 lim f(x)=A 0，lim g(x)=B，则()lim()lim()lim()g xBg xf xAf x第五节 两个重要极限69三、幂指函数的极限23lim2xxxx23lim2xxxx2(2)21lim 12xxxxx2(2)21lim12xxxxx2lim2221lim 12xxxxxex 例2-43 求

35、解第五节 两个重要极限70三、幂指函数的极限 例2-44 求 解521lim23xxxx521lim23xxxx23204234lim 123xxxxx20232344lim123xxxxx20lim23234104lim 123xxxxxex第五节 两个重要极限71三、幂指函数的极限 例2-45 求 解2sin0lim(1)xxx2sin0lim(1)xxx1 2sin0lim(1)xxxxx21sin0lim(1)xxxxx02lim1sin20lim(1)xxxxxxe第六节 函数的连续性第六节 函数的连续性73一、函数连续性的概念 自然界中有许多现象都是连续变化的，如气温的变化，行星的

36、运动，植物的生长等，都是连续变化的。这种现象反映在数学上就是函数的连续性，高等数学中所讨论的主要是连续变化的量。我们先引入改变量的概念，设变量 u 从初值 u1 改变到终值 u2，终值与初值的差 u2 u1 就叫做变量 u 的改变量（也叫增量），记作 注意：u 是一个整体记号，是变量 u 的改变量，它可以是正的，也可以是负的。但自变量的改变量不能为零。下面讨论函数的连续性。21uuu 第六节 函数的连续性74一、函数连续性的概念 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若当自变量的增量 x=x x0 趋于零时，对应函数的增量 y=f(x0+x)f(x0)也趋于零，即则称函数 y

37、=f(x)在点 x0 处连续。如果记 x=x0+x，则 f(x0+x)=f(x)，而x0 等价于 xx0，y0（即 f(x)f(x0)0）等价于 f(x)f(x0)，因此函数 y=f(x)在点 x0 处连续的定义也可叙述如下：0lim0 xy 000lim()()0 xf xxf x 或xy00 xxx 0)(xfy x y 第六节 函数的连续性75一、函数连续性的概念则称函数 y=f(x)在点 x0 处连续。00lim()()xxf xf x 定义 设函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若函数 f(x)当 xx0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值，即 由定义可知，函数

38、 f(x)在点 x0 处连续则 f(x)在点 x0 处必有极限，但 f(x)在点 x0 处有极限时不一定在点 x0 处连续，甚至 f(x)在点 x0 处可能没有定义。相应于函数左、右极限的概念，给出函数左、右连续的概念。第六节 函数的连续性76一、函数连续性的概念则称函数 y=f(x)在点 x0 处左（右）连续。如果函数 f(x)在点 x0 处及其左（右）侧附近有定义，且满足 显然可见，函数在一点处连续的充要条件为函数在该点既是左连续的，又是右连续的。在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，则函数在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左

39、连续。连续函数的图像是一条连续不断的曲线。00lim()()xxf xf x00(lim()()xxf xf x第六节 函数的连续性77一、函数连续性的概念 现在此结论可以表述为：在前面我们曾指出，基本初等函数 f(x)在其定义域内的任何一点 x0 处都满足 基本初等函数在其定义域内的每点处都是连续的。也就是说，基本初等函数在其定义域内是连续的。如果函数在一点不连续，那么该点也叫做间断点。定义 如果函数 f(x)在点 x0 不连续，则称函数 f(x)在点 x0 间断。相应的点 x0 称为函数 f(x)的间断点。00lim()()xxf xf x第六节 函数的连续性78一、函数连续性的概念 由函

40、数在某点连续的概念可知，设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内（至多除了点 x0 本身）有定义，如果 f(x)在点 x0 处有下列情形之一，则点 x0是 f(x)的一个间断点。（1）在点 x0 处没有定义，即 f(x0)不存在；通常把 f(x)在点 x0 的左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点，除第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。（2）不存在；0lim()xxf x （3）在点 x0 处有定义，且 存在，但是 。0lim()xxf x00lim()()xxf xf x第六节 函数的连续性79二、初等函数的连续性 根据连续函数的定义及极限的四则运算，容易知道：定理 设函数 f(x)与

41、 g(x)在点 x0 处连续，则，在点 x0 处有 （1）f(x)g(x)在点 x0 处连续；（2）f(x)g(x)在点 x0 处连续；（3）当 g(x0)0 时，在点 x0 处连续；()()f xg x 另外，根据连续函数的定义及复合函数求极限的法则，也可以得到：定理 设函数 u=(x)在点 x=x0 处连续，且(x0)=u0，而函数 y=f(u)在点 u=u0 处连续，则复合函数 y=f(x)在点 x=x0 处也是连续的。第六节 函数的连续性80二、初等函数的连续性 最后，我们也指出：单调增加（减少）的连续函数的反函数也是单调增加（减少）且连续的。前面已经指出，基本初等函数在其定义域内都是

42、连续的，现在又给出了连续函数的四则运算及复合函数的连续性，因此可以得到重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。有了初等函数的连续性，当我们求初等函数在其定义域内某点的极限时，只需求函数在该点的函数值即可。第六节 函数的连续性81二、初等函数的连续性 例2-46 设 ，是连续函数，求实数 a 的值。解 由于函数 3cosx 在(，0)上连续，ae2x 在(0，+)上连续，所以只需考察函数 f(x)在分段点 x=0 处的连续性。由于23cos,0(),0 xxxf xaex00lim()lim(3cos)2xxf xx200lim()limxxxf xaea 而 且 f(0)=a 00li

43、m()lim()xxf xf x 因此，如果 f(x)在点 x=0 处连续，只需 ，即a=2第六节 函数的连续性82三、闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有一些重要性质，包括有界性定理、最值定理、介值定理等。定理（有界性定理）若函数 f(x)在闭区间 a，b 上连续，则它在闭区间 a，b 上一定有界。定理（最大值最小值定理）若函数 f(x)在闭区间 a，b 上连续，则它在闭区间 a，b 上一定有最大值和最小值。如果 x0 使 f(x0)=0，我们就称 x0 是函数 f(x)的零点。定理（零点定理）若函数 f(x)在闭区间 a，b 上连续，且 f(a)与 f(b)异号，则在开区间(a，b

44、)内至少有函数 f(x)的一个零点。第六节 函数的连续性83三、闭区间上连续函数的性质 零点定理也可表述为：如果函数 f(x)在闭区间 a，b 上连续，且 f(a)f(b)0，则至少存在一点（a b），使得 从几何上看，定理表示：如果连续的曲线 y=f(x)的两个端点位于 x 轴的不同侧，则曲线与 x 轴至少有一个交点。f()=0（a 0，f(1)=2 0 由零点定理知，在开区间(0，1)内至少有一点，使得 f()=0，即 5 4 2+1=0 所以方程 x5 4x2+1=0 在开区间(0，1)内至少有一个根。第六节 函数的连续性85三、闭区间上连续函数的性质 定理（介值定理）若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(a)f(b)，则对介于 f(a)与 f(b)之间的任意实数 C，在开区间(a，b)内至少存在一点，使得 其几何意义是：在闭区间a，b上的连续曲线 y=f(x)与水平直线 y=C（C 介于 f(a)与 f(b)之间）至少有一个交点。推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。f()=C （a b）ay=f(x)m y Mf(b)C b x O f(a)Thank!