《新编高等数学》课件6高等数学-第六章 定积分及其应用.pptx

1、1定积分的概念及性质2微积分基本公式3定积分的计算4广义积分5定积分的应用第一节 定积分的概念及性质第一节 定积分的概念及性质3一、定积分问题举例 曲边梯形的面积：设函数 y=f(x)在区间 a,b 上连续，且 f(x)0，则称由直线 x=a，x=b，y=0 及曲线 y=f(x)所围成的平面图形为曲边梯形。其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应区间a,b 的线段称为底边。y=f(x)Oyab x 在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，而曲边梯形在底边上各点处的高 f(x)在区间 a,b 上是变动的，因此它的面积不能直接计算。但是，由于曲边梯形的高 f(x)在区间 a,b 上是连续变化的，所以在一个很小

2、的区间上它的变化很小，近似于不变。第一节 定积分的概念及性质4一、定积分问题举例 所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯形）。O y a b x y=f(x)把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值，所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。第一节 定积分的概念及性质5一、定积分问题举例a b x y=f(x)yO 分割越细，误差越小。当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。确定曲边梯形面积的具体步骤如下：（1）分割 用分点 把区间 a,b 任意分成 n 个小区间 ，每个小区间的长度记为 。设 S 为

3、曲边梯形的面积，为第 i 个小曲边梯形的面积，则0121nnaxxxxxb1,iixx1(1,2,)iiixxxiniSniinSSSSS121第一节 定积分的概念及性质6一、定积分问题举例 （2）取近似 （3）求和 把 n 个小矩形面积相加（即阶梯形面积）就得到曲边梯形面积 S 的近似值 在每个小区间 上任取一点 ，以 为底，为高作矩形，其面积为 ，则得小曲边梯形的面积 的近似值为1,(1,2,)iixxiniix)(ifiixf)(iSiiixfS)(1 2(,)ininiinnxfxfxfxfS)()()()(12211第一节 定积分的概念及性质7一、定积分问题举例 （4）取极限inii

4、xfS)(lim10 取小区间长度的最大值 ，当分点数 n 无限增大，即 趋于零时，近似的误差趋向于零，则和式 的极限就是曲边梯形面积 S 的精确值，即inix1maxiniixf)(1第一节 定积分的概念及性质8二、定积分的定义 从上述具体问题可以看出，通过“分割、取近似、求和、取极限”的方法可以把曲边梯形的面积转化为和式的极限。这就是定积分概念的实际背景，单从数学结构上来考虑问题，就可以抽象出定积分的定义。定义 设函数 f(x)在区间a,b 上有定义，在区间a,b 上任意插入 n1 个分点 ，将区间a,b 分成 n 个小区间bxxxxxann1321，01,xx12,x x1,nnxx记每

5、个小区间的长度为 （）。在每个小区间 上任取一点 （），作乘积 的和式：1iiixxx1,2,in1,iixxi1iiixxiixf)(iniixfS)(1第一节 定积分的概念及性质9二、定积分的定义记 ，如果 时，和 S 总是趋向于确定的极限，且这个极限值与 a,b 的分割及点 的取法均无关，则称函数 f(x)在区间a,b 上可积，此极限值称为函数 f(x)在区间a,b 上的定积分，记作 ，即inix1max0idxxfba)(iniibaxfdxxf)(lim)(10其中 f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a,b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为

6、积分上限。第一节 定积分的概念及性质10二、定积分的定义01()lim()nbiiaif x dxfx 定积分的定义：积分号被积函数被积表达式积分变量积分和式积分下限积分上限（黎曼和）第一节 定积分的概念及性质11二、定积分的定义 （1）定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间 a,b 有关，而与积分变量采用什么字母无关，即 定积分定义的说明：()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du （2）定义中要求积分限 a b 时，。badxxf0)(baabdxxfdxxf)()(（3）定积分的存在性（两个充分条件）定理 设 f(x)在区间 a,b 上连续，则 f(x)在 a,b

7、上可积。定义 设 f(x)在区间 a,b 上有界且只有有限个间断点，则 f(x)在 a,b 上可积。第一节 定积分的概念及性质12三、定积分的几何意义()baf x dxA O y a b x y=f(x)由定积分的定义可以知道，图中曲边梯形的面积为：()baAf x dx 可见，当 f(x)0 时，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A 等于函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分。即第一节 定积分的概念及性质13三、定积分的几何意义 如果 f(x)0，则由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，此时曲

8、边梯形面积 A 的负值等于函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分，O y a b x y=f(x)即()baf x dxA第一节 定积分的概念及性质14三、定积分的几何意义123()baf x dxAAA 如果 f(x)在区间 a,b 上的值有正有负，则 f(x)在区间 a,b 上定积分表示由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x 轴所围成的平面图形的面积的代数和，即位于 x 轴上方的面积减去位于 x 轴下方的面积，即 x y O y=f(x)A2 A1 A3第一节 定积分的概念及性质15四、定积分的性质 性质1 函数的和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即 性质2 被积函数

9、的常数因子可以提到积分号外面，即 显然，这个性质可以推广到有限个函数。()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx ()()bbaakf x dxkf x dx 这两个性质是定积分的线性性质。第一节 定积分的概念及性质16四、定积分的性质 性质3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设 a c b，则()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx 注：值得注意的是不论 a，b，c 的相对位置如何，上面的等式总成立。如右图所示，a c a，我们把极限 lim()babf x dx 称为函数 f(x

10、)在无限区间 a,+)上的广义积分，记为()lim()baabf x dxf x dx 若极限存在，称此广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散。第四节 广义积分50一、积分区间是无限区间的广义积分 类似的，设函数 f(x)在(,b 上连续，可定义 f(x)在无限区间(,b 上的广义积分为 设函数 f(x)在(,+)上连续，可定义 f(x)在无限区间(,+)上的广义积分为其中 c 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的，否则是发散的。()()()ccf x dxf x dxf x dx ()lim()bbaaf x dxf x dx 第四节 广义积分51一、积分区间是无

11、限区间的广义积分 按照无穷区间的广义积分定义，应先求定积分，再求极限。因此，可以把微积分基本公式用到广义积分的计算中：若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则有()()lim()()aaxf x dxF xF xF a ()()()lim()bbxf x dxF xF bF x ()()lim()lim()xxf x dxF xF xF x 第四节 广义积分52一、积分区间是无限区间的广义积分 例6-22 计算广义积分 解0 xe dx0 xe dx0 xe()0limxxee()0 1 1 y 1 O xy=ex 该广义积分值的几何意义是：当 b +时，虽然图中阴影部分是向右无限延伸的，但是

12、其面积却是有限值 1，即表示位于 y 轴右侧、曲线 y=ex 的下方、x 轴上方的图形面积。第四节 广义积分53一、积分区间是无限区间的广义积分 例6-23 计算广义积分 解21xdx21xdxarctan x22 例6-24 讨论广义积分 的敛散性。解2ln xxdx2ln xxdx211lndxx x21(ln)lndxx2ln|ln|xlim ln|ln|lnln2xxlim ln|ln|xx由于 不存在，所以此广义积分发散。第四节 广义积分54一、积分区间是无限区间的广义积分 例6-25 计算广义积分 解0 xxe dx0 xxe dx0()xxd e()00 xxxee dx 10l

13、imxxxxe dxe 01limxxxee 10lim1xxe第四节 广义积分55二、被积函数含有无限间断点的广义积分lim()bttaf x dx 称为函数 f(x)在(a,b 上的广义积分，记为()lim()bbattaf x dxf x dx 若极限存在，则称此广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散。定义设函数 f(x)在(a,b 上连续，点 a 为 f(x)的无穷间断点，即 。取 t a，我们把极限lim()xaf x 第四节 广义积分56二、被积函数含有无限间断点的广义积分 设函数 f(x)在 a,b 上除 c 点外连续，点 c 为 f(x)的无穷间断点，即 。可定义函数 f

14、(x)在 a,b 上的广义积分为右端两个广义积分都收敛时，广义积分才收敛。类似的，设函数 f(x)在 a,b)上连续，点 b 为 f(x)的无穷间断点，即 。取 t b，可定义函数 f(x)在 a,b)上的广义积分为lim()xbf x lim()xcf x()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx ()lim()btaatbf x dxf x dx 第四节 广义积分57二、被积函数含有无限间断点的广义积分 无界函数的广义积分也称为瑕积分。同样可以把微积分基本公式应用到无界函数的广义积分的计算中来。若 F(x)是 f(x)在(a,b 上的一个原函数，则()()()lim()b

15、baaxaf x dxF xF bF x ()()lim()()bbaaxbf x dxF xF xF a 若 F(x)是 f(x)在 a,b)上的一个原函数，则第四节 广义积分58二、被积函数含有无限间断点的广义积分 例6-26 计算广义积分 解 因为 ，所以点 x=1 是被积函数的无穷间断点。于是1201dxx1201dxx211lim1xx 10arcsin x1limarcsin0 xx2O11xy211yx第五节 定积分的应用第五节 定积分的应用60一、定积分应用的微元法 1.用定积分计算的量的特点：（1）实际问题中的所求量（设为 F）与一个给定区间 a,b 有关，且在该区间上具有可

16、加性。即 F 是确定于 a,b 上的整体量，当把 a,b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即 （2）所求量 F 在区间 a,b 上的分布是不均匀的，也就是说，F 的值与区间 a,b 的长不成正比（否则的话，F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）。niiFF1第五节 定积分的应用61一、定积分应用的微元法 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即：第三步：写出整体量 F 的近似值：1niiFF ()iiiFfx (1,2,)in 11()nniiiiiFFfx 第二步：求出每个部分量的近似值：01lim()()nbiiaiFfxf x dx

17、第四步：取 时和式的极限，得：0maxix第五节 定积分的应用62一、定积分应用的微元法 2.定积分应用的微元法 （1）若所求量 F 与变量 x 的变化区间 a,b 有关，且关于区间 a,b具有可加性，在 a,b上任取一个小区间 x,x+dx，然后找出在这个小区间上的部分量 F 的近似值，记为 （2）将微元 dF 在区间 a,b上积分（无限累加），即得到所求量的积分表达式()dFf x dx()baFf x dx 这种方法叫做微元法，dF=f(x)dx 称为 F 的微元。第五节 定积分的应用63二、定积分在几何中的应用 在平面直角坐标系下，设图形由两条曲线 y=f1(x)、y=f2(x)（其中

18、 f1(x)和 f2(x)在区间 a,b 上连续且 f1(x)f2(x)）及直线 x=a、x=b 所围成，求它的面积 A。1.平面图形的面积 根据定积分的微元法，取 x 为积分变量，可得面积微元 21()()dAfxfx dx 21()()baAfxfx dx 于是 y O a b xy=f1(x)y=f2(x)第五节 定积分的应用64二、定积分在几何中的应用 y d c O xx=2(y)x=1(y)类似的，求由两条曲线 x=1(y)、x=2(y)（其中 1(y)和 2(y)在区间 c,d 上连续且 1(y)2(y)）及直线 y=c、y=d 所围成的面积 A。21()()dAyy dy 21

19、()()dcAyy dy 于是 根据定积分的微元法，取 y 为积分变量，可得面积微元 第五节 定积分的应用65二、定积分在几何中的应用 例6-27 求由两条抛物线 和 所围成的图形面积。解 首先画出图形简图，并求出曲线交点坐标以确定积分区间；然后选择适当的积分变量，代入公式计算。y 1O 1 x y=x2 y2=x 解方程组取 x 为积分变量，x 的变化范围为 0,1，则2yx2yx22yxyx120()Axxdx133202133xx13得交点(0,0)及(1,1)。第五节 定积分的应用66二、定积分在几何中的应用 例6-28 求由直线 和抛物线 所围成的图形面积。解 先画出图形简图 再解方

20、程组 取 x 为积分变量，x 的变化范围为 2,3，则得交点坐标(2,4)及(3,9)。6yx2yx26yxyx3232623xxx981892 1223 1256322(6)Axxdx y 2 O 3 x6yx2yx第五节 定积分的应用67二、定积分在几何中的应用 例6-29 求由抛物线 和直线 所围成的图形面积。解 解方程组 取 y 为积分变量，y 的变化范围为 2,4，则 ，得交点坐标(2,2)及(8,4)。若取 x 为积分变量，那么 x 的变化范围是否为 2,8？y=x 4 y 4 2 O 2 4 8 xx=y+422yx y 2=2x2yx 2yx xy224 xy422xyxy42

21、21(4)2Ayydy42321141826yyy画出简图第五节 定积分的应用68二、定积分在几何中的应用 设在 xOy 面内，由连续曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b（a b）及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而形成一个旋转体。现在考虑用定积分计算这个旋转体的体积 V。2.旋转体的体积 根据定积分的微元法，取 x 为积分变量，它的变化区间为a,b，相应于该区间上的任一个小区间x,x+dx，与它所对应的小窄曲边梯形绕 x 轴旋转形成的薄片的体积 A 近似等于以 f(x)为底面半径、dx 为高的扁圆柱体的体积。y O a x x+dx b xy=f(x)第五节 定积分的应用69二

22、、定积分在几何中的应用2()dVf xdx 2()baVf xdx 于是 类似的，在 xOy 面内，由连续曲线 x=(y)与直线 y=c，y=d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而形成一个旋转体的体积为2()dcVydy 即体积微元第五节 定积分的应用70二、定积分在几何中的应用 解 由公式 例6-30 求由曲线 与直线 x=1，x=2 及 x 轴所围成的曲边梯形，求该曲边梯形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积。可知，该旋转体的体积为2yx2()baVf xdx2221()Vxdx241x dx2515x315第五节 定积分的应用71二、定积分在几何中的应用 例6-31 求由椭圆

23、 绕 x 轴旋转一周形成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积。22221xyab 解 由于椭圆是关于 x 轴的对称图形，因此这个旋转椭球体可以看作是由上半椭圆 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体。于是 22byaxa2222()aabVax dxa23223aabxa xa243aba O a xb y b第五节 定积分的应用72三、定积分在物理上的应用 利用定积分的微元法，由于变力 F(x)是连续变化的，故可以设想在微小区间 x,x+dx 上作用力 F(x)保持不变，按常力做功公式得这一段上变力做功近似值。1.变力沿直线所作的功 物体在变力 F(x)作用下沿 x 轴由 a 处移动

24、到 b 处，求变力 F(x)做的功。由于力 F(x)是变力，所求功是区间a,b上非均匀分布的整体量，故可以用定积分来解决。第五节 定积分的应用73三、定积分在物理上的应用 解 取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向，那么电场力为 在 x,x+dx 上，功的微元为 O a x x+dx b xdxxkqdW2 例6-32 原点 O 有一个带电量为+q 的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一单位正电荷从距原点 a 处沿射线方向移至距原点为 b 处（a b），求电场力所做的功。又如果把该电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？2xqkF 那么电场力为 （k 为常数）第五节 定积分的应用74三、

25、定积分在物理上的应用于是所求功为2bakqWdxx若移至无穷远处，则所做的功为2akqdxx 物理学中，把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在处的电位，于是知电场在处的电位为akqV 1bakqx11kqabkqa1akqx 第五节 定积分的应用75三、定积分在物理上的应用 2.液体对平面薄板的压力 设有一薄板，垂直放在比重为 的液体中，求液体对薄板的压力。由物理学知道，在液体下面深度为 h 处，由液体重量所产生的压强为 薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的，因此整个薄板所受的压力是非均匀分布的整体量。下面结合例子来说明如何用定积分来计算。若有面积为 A 的薄板水平放置在液深为

26、h 处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为phPpAhA第五节 定积分的应用76三、定积分在物理上的应用 例6-33 一个横放的半径为 R 的圆柱形油桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设油的比重为）。解 桶的端面是圆板，现要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆板的一侧所受的压力。如图建立坐标系：RxOxy Rx+dx则下半圆方程为 细条上压力的近似值为dxxRxxdSdP22222yRx第五节 定积分的应用77三、定积分在物理上的应用即压力微元为 于是，端面所受的压力为 222dPx Rx dx2202RPx Rx dx22220()()RRxd Rx 322202()3RRx 323RThank!