《新编高等数学》课件4高等数学-第四章 中值定理及导数应用.pptx

1、1中值定理2洛必达法则3函数的单调性、极值4曲线的凹凸性与拐点5函数图形的描绘第一节 中值定理第一节 中值定理3 导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，反映的是函数在一点处的局部变化性态。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。在理论研究和实际应用中，常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。第一节 中值定理4一、罗尔定理罗尔定理 设函数 f(x)满足：（1）在闭区间 a,b 上连续；（

2、2）在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 （3）f(a)=f(b)()0f几何意义：几何意义：如果连续曲线的两个端点是等高的（即纵坐标相等），且除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线上至少存在一点 C，使得曲线在该点的切线是水平的。ab1 2 xyo)(xfy C第一节 中值定理5一、罗尔定理例4-1 验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理。2(1)()1,1,1f xx 23(2)(),8,8f xx 解（1）函数 在 上连续，2()1f xx 1,1因此，满足罗尔定理；(1)2(1)ff且 ，在开区间 内可导，(1,1)（2）函数 在 上连续，且23()

3、f xx 8,8(8)4(8)ff0 x 而当 时，132()3fxx因此，不满足罗尔定理。第一节 中值定理6二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数 f(x)满足：（1）在闭区间 a,b 上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 ()()()f bf afba()()()()f bf afba或几何意义：几何意义：如果连续曲线除两个端点 A 与 B 外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线上至少存在一点C，使得曲线在该点的切线平行于两个端点的连线 AB。ab1 2 xoy)(xfy ABCD第一节 中值定理7二、拉格朗日中值定理 例4-2 函数 在区间

4、 上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，找出使定理结论成立的 值。2()321f xxx0,4 解 函数 在区间 上连续，2()321f xxx0,4 因此，满足拉格朗日中值定理的条件，即存在一点 ，使得(0,4)(4)(0)()6214,40fff2解得 推论 如果函数 f(x)在区间 I 上的导数恒为零，那么 f(x)在区间 I 上是一个常数。(0,4)在区间 上可导，第一节 中值定理8三、柯西中值定理柯西中值定理 设函数 f(x)和 g(x)满足：（1）在闭区间 a,b 上连续；则在(a,b)内至少存在一点 ，使得 （2）在开区间(a,b)内可导，且对于任意的 有 ，(,)xa b

5、()0g x()()()()()()ff bf agg bg a 微分中值定理的核心是拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。第二节 洛必达法则第二节 洛必达法则10 定理 设 （1）当 xa（或 x）时，函数 f(x)与 g(x)都趋于零，即一、洛必达法则 这种在一定条件下，通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。()()lim()lim()0 xaxaxxf xg x （2）在点 a 的附近（或当|x|N 时），与 都存在且 ；()fx()g x()0g x （3）存在（或为无穷大），()()lim()xaxfxg x()()

6、()()limlim()()xaxaxxf xfxg xg x则第二节 洛必达法则11一、洛必达法则例4-3 求极限511lim1xxx 解55111(1)limlim1(1)xxxxxx415lim51xx例4-4 求极限 解22sinlimxxx2222sin(sin)limlim()xxxxxxcos1lim22xxx第二节 洛必达法则12一、洛必达法则 如果 仍为 型未定式，且 与 满足洛必达法则中的条件，则可继续使用该法则，即()()lim()xaxfxg x00()fx()g x()()()()()()limlimlim()()()xaxaxaxxxf xfxfxg xg xgx例

7、4-5 求极限 解332132lim1xxxxxx32322113233limlim1321xxxxxxxxxx00“”型163lim622xxx第二节 洛必达法则13一、洛必达法则例4-6 求极限 解 arctan2lim1xxx221arctan12limlim11xxxxxx22lim11xxx 在反复应用洛必达法则的过程中，要注意所求极限是不是未定式，如上例中 已不是未定式，故不可再使用该法则。16lim62xxx第二节 洛必达法则14一、洛必达法则例4-7 求极限20sinlimsinxxxxx2300sinsinlimlimsinxxxxxxxxx 应用洛必达法则时，及时利用等价无

8、穷小的代换可以简化运算。201 cos=lim3xxx0 x sinxx 时，0sin1lim66xxx 解 当 x0 时，可以先利用等价无穷小替换原则再使用洛必达法则，即sinxx第二节 洛必达法则15二、洛必达法则 定理 设 （1）当 xa（或 x）时，函数 f(x)与 g(x)都趋于无穷大，即()()lim()lim()xaxaxxf xg x （2）在点 a 的附近（或当|x|N 时），与 都存在且 ；()fx()g x()0g x （3）存在（或为无穷大），()()lim()xaxfxg x()()()()limlim()()xaxaxxf xfxg xg x则第二节 洛必达法则16

9、二、洛必达法则例4-8 求极限 解：3lnlimxxx321lnlimlim3xxxxxx例4-9 求极限 解 例4-10 求极限 解 2limln(1)xxex22limlim2ln(1)1xxxxeexxxlimxnxex1limlimxxnnxxeexnx2(1)lim2xxx ex22(1)lim2xxxxex e lim!xxen 31lim03xx2lim(1)xnxen nx第二节 洛必达法则17三、其他类型的未定式例4-11 求极限20limlnxxx 0 型2200lnlimlnlimxxxxxx 解 301lim2xxx20lim02xx 未定式除前面讨论的两种基本类型外，

10、还有 型、型、型、型、型等类型，它们都可以先化为 型或 型两种基本类型后，再运用洛必达法则来计算。0100000第二节 洛必达法则18三、其他类型的未定式 例4-12 求极限011limsinxxx 型0011sinlimlimsinsinxxxxxxxx 解20sinlimxxxx0sinlim02xx01 coslim2xxx0 x sinxx 时，第二节 洛必达法则19三、其他类型的未定式 例4-13 求极限 1 型 解10lim()xxxxe11ln()00lim()limxxxx exxxxee120lim()=xxxxee00ln()1limlim2xxxxxxeexxe由于1ln

11、()ln()00limlimxxx ex exxxxee0ln()limxxx exe所以第二节 洛必达法则20三、其他类型的未定式 例4-14 求极限 00 型 解 因为0limxxxln00limlimxxxxxxe 0 型0limlnxxx由于00lim1xxxe 型所以0limlnxxxe10lnlimxxx201limxxx0lim()0 xx第二节 洛必达法则21 需要注意的是，洛必达法则只在 存在（或为无穷大）时适用，如果 不存在，仍然可能存在，此时该法则失效。()lim()fxg x()lim()fxg x()lim()f xg xsinsin1 coslim 1limlim1

12、xxxxxxxxxsinsinlim 11lim1 01xxxxxx 例如1 coslim1xx虽然极限 不存在，但是第二节 洛必达法则22洛必达法则洛必达法则型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 第三节 函数的单调性、极值第三节 函数的单调性、极值24函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢、以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对函数的变化规律有一个基本的了解。运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。第三节 函数的单调性、极值25一、函数单调性的判定xyoabAB若 y=f(x)在区间

13、(a,b)上单调增加)(xfy ()0fx 0)(xfxyo)(xfy 0)(xfabBA若 y=f(x)在区间(a,b)上单调减少0)(xf第三节 函数的单调性、极值26一、函数单调性的判定 定理 设函数 y=f(x)在区间 I 内可导，则 定理的理论基础就是拉格朗日中值定理。（1）函数 y=f(x)在区间 I 上单调增加的充要条件是：在区间 I 内，（等号仅在有限个点处成立）；()0fx （2）函数 y=f(x)在区间 I 上单调减少的充要条件是：在区间 I 内，（等号仅在有限个点处成立）；()0fx 在区间 I 内任取两点 x1，x2，并设 x1 0 0 0（f(x)）0 0（f(x)）

14、第三节 函数的单调性、极值27一、函数单调性的判定 例4-15 判定函数 y=x cosx 在 0,2 上的单调性。解 因为(cos)1sin0yxxx 所以函数 y=x cosx 在 0,2 上是单调增加的。例4-16 讨论函数 y=3x x3 的单调性。解 函数 y=3x x3 的定义域为(,+)，导数为32(3)333(1)(1)yxxxxx于是当 时，函数单调减少；(,1)(1,)x 0y当 时，函数单调增加。(1,1)x 0y 第三节 函数的单调性、极值28一、函数单调性的判定x(,1)1(1,1)1(1,+)y00y 区间(1,1)叫做该函数的单调增区间，区间(,1)和(1,+)叫

15、做该函数的单调减区间，二者统称为单调区间。可以更简捷地将上述讨论过程及结论用表格的形式来表示：注意到，在例题中点 x=0 和 x=1 是该函数单调区间的分界点，此时该点处函数的导数等于 0。第三节 函数的单调性、极值29一、函数单调性的判定 例4-17 讨论函数 y=x3 的单调性。解 令 定义 若 ，则 x0 称为函数 f(x)的驻点。0()0fx，得驻点 x=0 结论：对于可导函数来说，单调区间的分界点一定是函数的驻点，而驻点不一定是单调区间的分界点。230yx 此时函数的驻点并不是单调区间的分界点。由于在定义域(,+)内 ，且仅在 x=0 处 ，因此函数在其定义域内单调增加。0y0y 第

16、三节 函数的单调性、极值30一、函数单调性的判定 例4-18 讨论函数 的单调性。可见 x=0 是函数单调区间的分界点，此时函数的导数是不存在的。yy0 x(0,)(,0)+不存在23yx 解 函数为定义域(,+)，当 x 0 时，当 x=0 时，1323yx 不存在，用 x=0 划分定义域(,+)，列表讨论：y第三节 函数的单调性、极值31一、函数单调性的判定 例4-19 讨论函数 的单调性。在本例中，函数不可导的点不是单调区间的分界点。13yx 解 函数为定义域(,+)，当 x 0 时，当 x=0 时，2313yx 不存在，但是由于 ，所以函数在(,+)内单调增加。y0y 结论：对于只在个

17、别点处不可导的函数来说，单调区间的分界点一定是函数的不可导的点；不可导的点不一定是函数单调区间的分界点。总之，函数单调区间的分界点一定是该函数的驻点或不可导点，反之则不一定。第三节 函数的单调性、极值32二、函数的极值 在函数单调区间分界点的两侧附近函数的单调性是不同的，此时在分界点处，函数值就会成为一个局部范围内的最大值或最小值。定义 设函数 y=f(x)在区间 I 内有定义，x0 是 I 内一点，若对于任意点 xU(x0,)，均有（f(x)f(x0)）f(x)f(x0)0(,)U xI（）则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值（极小值），点 x0 是函数 f(x)的一个极大值点（极小

18、值点）。极大值和极小值统称为极值；极大值点、极小值点统称为极值点。第三节 函数的单调性、极值33二、函数的极值oxyoxy0 x0 x 极值是一个局部性的概念。极值不一定是其定义区间上的最值。如图，函数 y=f(x)有两个极大值 f(x2)，f(x5)；三个极小值 f(x1)，f(x4)，f(x6)。极值之间没有必然的大小关系，图中极小值 f(x6)比极大值 f(x2)还要大。oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x第三节 函数的单调性、极值34二、函数的极值 定理（极值存在的必要条件）设函数 f(x)在点 x0 处取得极值，那么点 x0 一定是函数的驻点或不可导点。我们通常把驻点、不可

19、导点称为函数的可能极值点。驻点及不可导点不一定就是函数的极值点。（1）若在点 x0 左侧附近 而在点 x0 右侧附近 （2）若在点 x0 左侧附近 而在点 x0 右侧附近()0fx()0fxf(x0)为极大值f(x0)为极小值()0fx()0fx 定理（极值存在的第一充分条件）设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内可导，且在点 x0 处满足 ，或 不存在，则0()0fx0()fx第三节 函数的单调性、极值35二、函数的极值 例4-20 求函数 的极值。解 所给函数的定义域为(,+)，4222(1)yxxxx 531153yxx用这三个驻点划分定义域(,+)，列表讨论：令0y，得11,x 2

20、0,x 31x 101+000+y xy,1(1,0)(0,1)(1,)215215极大值非极值极小值第三节 函数的单调性、极值36二、函数的极值 例4-21 求函数 的极值。解 所给函数的定义域为(,+)，而522133335233yxxxx 23(1)yxx且 x=0 时函数不可导，列表讨论：令0y 得25x y 252,5 (,0)20,5334525 xy不存在极大值0 极小值00113335252333xx xxx第三节 函数的单调性、极值37二、函数的极值 如果函数在驻点处的二阶导数存在，我们还可以用下述定理来判断极值。定理（极值存在的第二充分条件）设函数 f(x)在点 x0 满足

21、 ，且 存在，则0()0fx0()fx （1）若 ，则函数 f(x)在点 x0 处取得极大值 f(x0)；0()0fx （2）若 ，则函数 f(x)在点 x0 处取得极小值 f(x0)；0()0fx （3）若 ，则不能判断。0()0fx x0 y0 x()0fx 导函数单调减少，则 x0 y0 x导函数单调增加，则()0fx 第三节 函数的单调性、极值38二、函数的极值 例4-22 求函数 的极值。32()391f xxxx2()369fxxx3(1)(3)xx()666(1)fxxx 解令()0fx，得 x1=1，x2=3，而由(1)120f ，可知有极大值 f(1)=6；由(3)120f，

22、可知有极小值 f(3)=26。对于极值存在的第二充分条件，满足条件时很好用，但是局限性较大，而极值存在的第一充分条件可以判断所有的可能极值点。第三节 函数的单调性、极值39三、函数的最大值与最小值 若函数 f(x)在 a,b 上连续，除个别点外处处可导，且至多有有限个导数为零的点，则函数 f(x)在 a,b 上一定有最大值和最小值。oxyoxybaoxyabab 一般地，函数 f(x)的最值只在极值点处或端点处取得，因此，只需比较这些点处的函数值，其中最大的是 f(x)的最大值，最小的是 f(x)的最小值。第三节 函数的单调性、极值40三、函数的最大值与最小值 求函数 f(x)在 a,b 上的

23、最大值与最小值的步骤：（1）求函数 f(x)在(a,b)上的驻点和不可导点；（2）将 f(x)各驻点和不可导点的函数值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 f(x)在 a,b 上的最值。例4-23 求函数 在区间2,4 的最值。32()391f xxxx 解2()369fxxx3(1)(3)xx令()0fx，得驻点 x1=1，x2=3，计算得：(2)1f (1)6f(3)26f(4)19f 因此，该函数的最大值为 f(1)=6，最小值为 f(3)=26第三节 函数的单调性、极值41三、函数的最大值与最小值 函数“最值”与“极值”的区别和

24、联系：（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性。（2）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得。第三节 函数的单调性、极值42三、函数的最大值与最小值 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。解决优化问题的核心是建立目标函数，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以

25、解决。在大量的实际问题的解决过程中，我们发现一般情况下函数均只有一个驻点，而该驻点处的函数值就是所求的最值。第三节 函数的单调性、极值43三、函数的最大值与最小值设截去的小正方形边长为 x，由实际意义可知该问题的最大值存在，由于驻点唯一，因此，例4-24 将一块边长为 a 的正方形板材，四角各截去一个相同的小正方形，折起四边后做一个无盖的方盒，问截多少可使方盒的容积最大？解xa则方盒的容积为 2(2)Vaxx0,2ax令(2)(6)0Vax ax 得：，（舍去）6ax 2ax 当 时容积取得最大值。6ax 第三节 函数的单调性、极值44三、函数的最大值与最小值 解 设矩形场地的正面长为 x 米

26、，另外一边长为 y 米，矩形场地面积为 xy=150，所以 ，则所用材料费用为 令 例4-25 现欲围建一个面积为150平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价40元，其余三面所用材料每米造价20元，问场地的长、宽各是多少时，才能使所用材料费用最少？因此，场地正面长为10米、另外一边长为15米时，所用材料费用最少。150yx100()4020(2)60,f xxyxxx(0,)x2100()60 10fxx，得驻点：x1=10，x2=10（舍）第三节 函数的单调性、极值45三、函数的最大值与最小值 解 设房租为每月 x 元，租出去的房子有 套，则每月总收入为令 例4-26 某房地产公司有50套公

27、寓要出租,当租金定为每月1800 元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？因此，每月每套租金为3500元时收入最高，最大收入为108900元。,解得 x=3500180050100 x1800()(200)50(200)68100100 xxR xxx,(0)x 1()68(200)7010010050 xxR xx()0R x第四节 曲线的凹凸性与拐点第四节 曲线的凹凸性与拐点47 问题：如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于所在弦的上方xyo)(

28、xfy 1x2x图形上任意弧段位于所在弦的下方ABMN第四节 曲线的凹凸性与拐点48xyo)(xfy abAB 凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。xyo)(xfy abBA()fx单调递增()fx单调递减 定理 设函数 y=f(x)在区间 I上有定义且具有二阶导数，那么 （1）曲线 y=f(x)在区间 I 上是凹弧的充要条件是()0fx （2）曲线 y=f(x)在区间 I 上是凸弧的充要条件是()0fx 第四节 曲线的凹凸性与拐点49 例4-27 判定曲线 的凸凹性。3yx 解 ，列表讨论23yx 6yx 可见，该曲线在部分区间上是凹弧，部分区

29、间上是凸弧，二者的分界点是点(0,0)，在该点处自变量的值使得二阶导数为 0。定义 曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。例4-28 判定曲线 的凹凸性。4yx 解 ，由于 ，故曲线是凹弧，无拐点。34yx 212yx 0y（凹弧）（凸弧）yx(0,)(,0)+y 00第四节 曲线的凹凸性与拐点50 例4-29 确定曲线 的拐点。13yx 解 当 x 0 时，列表讨论2313yx 5329yx 由表可知，点(0,0)就是曲线的拐点。由此可见，若函数的二阶导数存在，则在拐点处自变量的值使得二阶导数为 0，但使二阶导数为 0 的点不一定都对应着曲线的拐点。就是说使二阶导数为 0 的点有可能对应着

30、曲线的拐点。（凹弧）（凸弧）y+x(0,)(,0)y 0不存在第四节 曲线的凹凸性与拐点51 例4-30 确定曲线 的拐点。23yx43209yx 解 当 x 0 时，但是，由于1323yx 4329yx 故该曲线是凸弧，无拐点。综上，曲线的拐点产生于横坐标使二阶导数为 0 的点或使二阶导数不存在的点，但这两种点是不是对应曲线的拐点，还要视该点两侧曲线的凹凸性而定，凹凸性不同时，才对应着曲线的拐点。第四节 曲线的凹凸性与拐点令 ，得 x=0，x=2，列表讨论52 例4-31 判断曲线 的凹凸性并求拐点。4346yxx 解 ，32412yxx 21224yxx 12(2)x x0y y 2(2,

31、)(,0)(0,2)xy0拐点(0,6)+拐点(2,10)00第四节 曲线的凹凸性与拐点令 ，得 ，而 x=0 时二阶导数不存在，列表讨论53 例4-32 判断曲线 的凹凸性并求拐点。解 当 x 0 时，21335233yxx 143331022(51)999xyxxx x 15x 0y y 0(0,)1,5 1,05 xy0拐点+无拐点不存在32(1)yxx15 3161,5525第五节 函数图形的描绘第五节 函数图形的描绘55 借助于一阶导数的符号，可以判断函数图形在哪个区间上升，那个区间下降，在何处有极值点。借助于二阶导数的符号，可以判断函数图形在哪个区间向上弯曲，哪个区间向下弯曲，在什

32、么地方有拐点。知道了函数图形的增减、凹凸以及极值点和拐点后，就可以比较准确的把握函数的形态，进而描绘出函数的图形。因此，我们可以利用导数描绘函数图形。第五节 函数图形的描绘56 1.铅直渐近线0lim()xxf x 0lim()xxf x0lim()xxf x 上式之一成立时，直线 x=x0 为曲线 y=f(x)的铅直渐近线。2.水平渐近线 lim()xf xAlim()xf xA lim()xf xA上式之一成立时，直线 y=A 为曲线 y=f(x)的水平渐近线。关于曲线的渐近线，有下面结论：第五节 函数图形的描绘57函数作图的一般步骤：（1）确定函数定义域及奇偶性等基本特性；（2）由一阶导

33、数确定函数的单调性，极值点；（3）由二阶导数确定曲线的凹凸性，拐点；（4）确定曲线的渐近线或变化趋势；（5）若有需要，另补充若干个点；（6）用光滑曲线将（1）、（2）、（5）中的点连接起来。第五节 函数图形的描绘58 例4-33 作出函数 的图形。321yxxx 解 由 2321(31)(1)0yxxxx 13x 620yx 得,1x；再由 13x，得，列表讨论y 1(1,)1,3 116,327xy0拐点+013 11,33 131,13y 0+极大值3227极小值0第五节 函数图形的描绘59 另描点：(1,0)3 5,2 8作图1 2 x 1 0 y 13 5,2 81 16,3 271 32,3 27 第五节 函数图形的描绘60 例4-34 作出函数 的图形。解 由 310(1)xyx42(2)0(1)xyx得 x=1；再由得 x=2列表讨论 21(1)xyxy 2 2,1 112,9xy0拐点+1,1 1 1,2y 0+极大值54第五节 函数图形的描绘61由 2lim11(1)xxx21lim1(1)xxx，得水平渐近线 y=1由，得铅直渐近线 x=1另描点：(0,1)1,12,(2,1)1,3,4第五节 函数图形的描绘62作图-3-2 -1 y 151,41,12(2,1)13,4 112,9Thank!