1、上海中学2024年高二年级第二学期期终考试数学试题高二_班 学号 _ 姓名 _ 成绩一、填空题 (每题 3 分， 共 36 分) 1. 已知事件 满足 ，则 _.2. 将4封不同的信投入3个信箱，则不同的投递方式共有_.种.3. 已知 ，则 _.4. 在 的展开式中， 的系数为. _(以数字作答)5. 函数 的驻点为_.6. 若随机变量 服从正态分布 ，则 _.7. 集合 是 的子集，且 中的元素有完全平方数，则满足条件的集合 共有_个.8. 从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为_.9. 若不等式 对任意 成立，则 的取值范围是_.10. 对于在定义域上恒大于 0 的函数
2、 ，令 . 已知 与 的导函数 满足关系式 . 由此可知，函数 在 处的切线方程为 _.11. 甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位. 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有_种.12. 将 的所有排列按如下方式排序: 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后; 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推. 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是_.二、选择题 (每
3、题 4 分， 共 16 分)13. 设 ，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 14. 某班级共有 40 名同学， 其中 15 人是团员. 现从该班级通过抽签选择 10 名同学参加活 动，定义随机变量 为其中团员的人数，则 服从 （ ）(A) 二项分布 (B) 超几何分布 (C) 正态分布 (D) 伯努利分布15. 将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为 ，且三次抛掷的结果互相独立. 记事件 为 “至少两次结果为正面”，事件 为 “第三次结果为正面”，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 16. 现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同. 将这 个球排成一列
4、，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （ ） 对任意 都是偶数; .(A) 都是真命题 (B) 是真命题， 是假命题(C) 是假命题， 是真命题 (D) 都是假命题三、解答题 (本大题共 5 题， 共 48 分， 解答各题须写出必要的步骤) 17. (本题 8 分) 求函数 的单调区间.18. (本题 8 分) 某公司对购买其产品的消费者进行了调研， 已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为 三类. 其中 类消费者 占30%，其在一年内再次购买产品的概率为 ; 类消费者占 ，其在一年内再次 购买产品的概率为 ; 类消费者占比 ，其在一年内再次购
5、买产品的概率为 .(1) 求 与 的值.(2) 若一名消费者在一年内再次购买了产品， 求其是 B 类消费者的概率.19. (本题 10 分) 某学校举办知识竞赛， 该竞赛共有三道问题， 参赛同学须回答这些 问题， 以其答对的问题的得分之和作为最终得分. 每个问题的得分与参赛同学答对的概 率如下表 (每次回答是否正确相互独立). 定义随机变量 为最终得分.问题一问题二问题三得分203050答对概率0.80.70.4(1) 求 .(2) 求 与 .20. (本题 10 分) 设函数 ，其中 . 且 在 与 处 的切线分别为 .(1) 若 与 平行，求 的值.(2) 记(1)中 的值为 . 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 . 当 取到最小值 时，求 的值.21. (本题 12 分) 仿照二项式系数，可以定义 “三项式系数” 为 的展开 式中 的系数 ，即其中 .(1) 求 的值:(2) 对于给定的 ，计算以下两式的值: 与(3) 对于 ，记 中偶数的个数为 ，奇数的个数为 . 是否存在 使 得 ? 若存在，请给出一个满足要求的 并说明理由; 若不存在，请给 出证明.
