安徽省合肥市2024届高三下学期数学模拟试题.docx

1、2024年安徽省合肥市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则()A. B. C. D. 2.已知复数z满足，则()A. 5B. C. 13D. 3.已知在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，且这3个队是否完成该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为()A. B. C. D. 4.已知抛物线C：的焦点为F，A为x轴上一点，若，且抛物线C经过线段AF的中点，则()A. 8B. C. 4D. 5.已知向量，若，则在上的投影向量为()A. B. C. D. 6.在长方体中，过作平面

2、，使得平面，若平面，则直线l与所成角的余弦值为()A. B. C. D. 7.已知函数，若，则直线与的图象的交点个数为()A. 3B. 4C. 5D. 68.已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，P为该椭圆上一点且在第一象限，若射线AF上存在一点Q，使得，线段PQ的垂直平分线与射线AF交于点H，则()A. 1B. 2C. aD. 2a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某校高一年级的某次月考中，甲、乙两个班前10名学生的物理成绩单位：分，满分100分如表所示，则甲班677276838587888889

3、90乙班70777777818384899394A. 甲班前10名学生物理成绩的众数是88B. 乙班前10名学生物理成绩的极差是24C. 甲班前10名学生物理成绩的平均数比乙班前10名学生物理成绩的平均数低D. 乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是8410.已知函数其中，的部分图象如图所示，则()A. B. C. D. 11.下列不等式中正确的是()A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.写出一个同时具有下列性质的函数_.定义在R上的函数不是常值函数；对任意的，均存在，使得成立.13.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的

4、取值范围是_.14.已知半径为的球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，若正四面体ABCD的棱与球O的球面有公共点，则正四面体ABCD的棱长的取值范围为_.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，求和的通项公式；设，求数列的前n项和16.本小题15分如图，在多面体中，已知四边形ABCD是菱形，平面ABCD，平面ABCD，在线段AF上是否存在一点G，使得平面平面CEF？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.求二面角的余弦值.17.本小题15分某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流

5、疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案：方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测.方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测.分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；求两种方案检测次数相等的概率；已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为40

6、0元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好.18.本小题17分已知双曲线C：过点其中，且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为求双曲线C的标准方程；记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线C上一动点异于顶点，M为线段AP的中点，Q为直线上一点，且，过点Q作于点N，求面积的最大值.19.本小题17分函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域D内有且仅有一个交点，对于且，且，若都有，则称与关于点互穿；若都有则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为R，导函数分别为与，与的图象在R上有且仅有一个交点，与的图象

7、在R上有且仅有一个交点若，试判断函数与的位置关系.若与关于点互回，证明：与关于点互穿且在上恒成立.研究表明：若与关于点互穿，则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息，证明：为奇数答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，则故选：结合交集的定义，即可求解本题主要考查交集及其运算，属于基础题2.【答案】B【解析】解：设，a，则，所以，解得或，所以故选：设，a，利用复数的运算法则和复数相等，建立a，b的方程组，直接求出a，b，从而可求出结果本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题3.【答案】B【解析】解：在某竞赛中，天涯队、谛听队、洪荒队单独完成某项任务的概率分别为，且这3个队是否完成

8、该任务相互独立，则恰有2个队完成该任务的概率为：故选：利用相互独立事件概率乘法公式能求出恰有2个队完成该任务的概率本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4.【答案】B【解析】解：抛物线C：，即的焦点为，设，则AF的中点为，由抛物线C经过线段AF的中点，可得，即，又，可得，解得故选：求得抛物线的焦点，由线段的中点坐标公式和两点的距离公式，解方程可得所求值本题考查抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题5.【答案】D【解析】解：向量，则，解得，故，故在上的投影向量为：故选：根据已知条件，结合向量垂直、平行的性质，求出m，n，再结合投影向量的公式，即可求

9、解本题主要考查投影向量的公式，属于基础题6.【答案】C【解析】解：因为平面，平面，平面平面，所以，所以即直线l和直线所成角或其补角，在中，由余弦定理得，故直线l与直线所成角的余弦值为故选：借助面面平行的性质可得线线平行，结合等角定理与余弦定理计算即可得解本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7.【答案】C【解析】解：根据题意，可得，由，可知，所以，解得，可得，对于，令，得；令，得，可知直线经过点与点，而函数的图象也过点与点，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与直线，观察图象可知：的图象与直线恰有5个交点故选：根据题意

10、，将函数化简为，然后利用，取特殊的x值代入，求出a的值，进而求出的解析式，再利用函数图象加以研究即可得出答案本题主要考查函数的零点与方程的根、三角恒等变换公式、函数的图象与性质等知识，属于中档题8.【答案】B【解析】解：设该椭圆的右焦点为E，连接EP，则，椭圆定义的应用设，则，易得，所以，所以，又，所以，所以，则对任意的点P，线段PQ的垂直平分线必过点E，等腰三角形三线合一性质的应用，所以点E与点H重合，所以故选：设椭圆的右焦点E，由椭圆的定义可得，则，由题意，所以线段PQ的垂直平分线必过点E，即点E与点H重合，可得本题考查椭圆的定义、方程、几何性质，考查逻辑思维能力、运算求解能力及化归与转化

11、思想，属于中档题9.【答案】ABD【解析】解：对于A，甲班前10名学生物理成绩的众数是88，故A正确；对于B，乙班前10名学生物理成绩的极差是，故B正确；对于C，甲班前10名学生物理成绩的平均数为：乙班前10名学生物理成绩的平均数为：，甲班前10名学生物理成绩的平均数与乙班前10名学生物理成绩的平均数相同，故C错误；对于D，乙班前10名学生物理成绩的第三四分位数是第8个，即84，故D正确故选：利用众数的定义判断A；利用极差的定义判断B；利用平均数的定义判断C；利用三四分位数的定义判断本题考查众数、极差、平均数、三四分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10.【答案】AB【解析】解：由题意

12、知，令，解得或或，由题图可知函数的一个极值点位于区间，因此，又，所以，解得，故，因此A，B正确，C错误；选项D，由题图可知，若取，则，解得，因此D错误故选：先利用求导公式得到，再根据函数的一个极值点位于区间，得到，得到m，n的大小关系，即可判断A，B，C选项的正误；根据题图得到，然后对m，n取特殊值，说明即可判断本题考查了导数的综合运用及数形结合思想，属于中档题11.【答案】ABD【解析】解：函数的导数为，当时，得，故，可得在上是减函数对于A，由在上是减函数，可知，即，整理得，故A项正确；对于B，由在上是减函数，可知，即，整理得，故B项正确；对于C，因为锐角满足，所以，整理得，故C项不正确；对

13、于D，锐角满足，所以，即成立，故D项正确故选：根据函数在上是减函数，通过比较与、与的大小，判断出A、B两项的正误；根据锐角满足，结合诱导公式判断出C、D项的正误本题主要考查利用导数研究函数的单调性、三角函数的定义与性质等知识，属于中档题12.【答案】答案不唯一【解析】解：因为，所以的图象关于对称，因为函数的定义域为R且对任意的，均存在，使得成立，故满足题意的一个函数答案不唯一故答案为：答案不唯一由已知可知函数的图象关于对称，结合基本初等函数的性质即可求解本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题13.【答案】【解析】解：因为，又因为，所以，可得，所以，整理可得：，即，在锐角三角

14、形中，即，即，又因为，所以，因为，所以故答案为：由半角公式及两角和的正弦公式，余弦公式，可得，进而可得，再由锐角三角形中角B的范围，进而可得的范围，求出的范围本题考查半角公式的应用及两角和，差的正弦公式的应用锐角三角形的性质的应用，属于中档题14.【答案】【解析】解：设正四面体ABCD的棱长为a，则正四面体ABCD的高为，当正四面体ABCD内接于球O时，a最小，此时，得，当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切时，a最大，因为球O的球心到正四面体ABCD的四个面的距离都相等，所以当球O与正四面体ABCD的每条棱都相切时，借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，因为球心O到正四面体ABCD

15、的顶点的距离等于正四面体ABCD的高减去正四面体ABCD内切球的半径，所以球心O到正四面体ABCD的顶点的距离为，利用勾股定理可得，得故正四面体ABCD的棱长的取值范围为故答案为：首先利用正四面体和球的关系，根据两种特殊的情况求出a的最大值和最小值，进一步求出a的取值范围本题考查的知识点：正四面体和球的关系，勾股定理的应用，主要考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题15.【答案】解：设数列的公差为d，数列的公比为，则由，得，两式相除得，所以，所以，由得，所以，所以，所以【解析】根据等差，等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解；由可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求

16、解本题主要考查路灯处数列的通项公式，求和公式及等比数列的通项公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题16.【答案】解：当点G是线段AF的中点时，可使平面平面CEF，理由如下：连接AC与BD，相交于点O，连接OG，DG，因为菱形ABCD，所以点O是AC的中点，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，所以四边形DEFG是平行四边形，所以，又，OG、平面BDG，DE、平面CEF，所以平面平面以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面BCF的法向量为，则，取，则，所以，设平面CEF的法向量为，则，取，则，所以，所以，由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为【解析

17、】连接AC与BD，相交于点O，连接OG，DG，分别证明，再由面面平行判定定理的推论，即可得证；以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17.【答案】解：设方案一所需检测次数为X，则X的所有可能取值为2，3，当时，有两种情况：第1次检测2人的混合血液呈阳性，第2次任选这2人中的1人检测即可确定甲流感染者，其概率为，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检测另外3人中的1人呈阳性，其概率为，故，当时，第1次检测2人的混合血液呈阴性，第2次检

18、测另外3人中的1人呈阴性，第3次从剩余2人中任选1人检测即可确定甲流感染者，故，故X的分布列为：X23P故，设方案二所需检测次数为Y，则Y的所有可能取值为1，2，3，4，故，故Y的分布列为：Y1234P故；由知两种方案的检测次数均为2的概率为，两种方案的检测次数均为3的概率为，故两种方案检测次数相等的概率为；设方案一、方案二的检测总费用分别为，则，则方案一检测总费用的期望值元，方案二检测总费用的期望值元，因为，所以方案一检测总费用的期望值更小，所以选择方案一更好【解析】设方案一所需检测次数为X，则X的所有可能取值为2，3，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式

19、求出，设方案二所需检测次数为Y，则Y的所有可能取值为1，2，3，4，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到Y的分布列，再结合期望公式求出；根据独立事件的概率乘法公式求解；设方案一、方案二的检测总费用分别为，利用期望的性质求出，再比较两者大小即可本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了期望的性质，属于中档题18.【答案】解：因为双曲线C过点，所以，易知双曲线C的渐近线方程为，所以双曲线C上的点到两条渐近线的距离之积为，此时，解得，所以，又，联立，解得，则双曲线C的标准方程为；由知，易知直线PA的斜率存在且不为0，不妨设直线PA的方程为，联立，消去y并整理得，此时，即，由韦达定理

20、得，所以，因为点P在直线PA上，所以，因为M为线段PA的中点，所以，可得，因为，所以，因为，所以直线OQ的方程为，则，可得直线QN的方程为，即，所以直线QN过定点，所以点N在以OF为直径的圆上，易知该圆的圆心为，半径为，当点N到直线AB的距离为时，点N的坐标为或，因为点N在直线OM上，此时，解得或，其满足，则点N到直线AB的距离的最大值为，故面积的最大值【解析】由题意，将点E的坐标代入双曲线的方程中，利用点到直线的距离公式以及a，b，c之间的关系求出a和b的值，进而可得双曲线C的标准方程；设出直线PA的方程，将直线PA的方程与双曲线方程联立，结合根与系数的关系以及中点坐标公式得到点M的坐标，结

21、合推出直线ON的方程，根据直线QN过定点，得到点N在以OF为直径的圆上，再按部就班进行求解即可本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题19.【答案】解：设，则，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，即，当且仅当时取等号又与的图象在R上有且仅有一个交点，函数与关于点互回证明：设，则，设，则，故若，均大于零，单调递增，又，与关于点互穿且在上恒成立若，均小于零，单调递减，又，与关于点互穿且在上恒成立综上，与关于点互穿且在上恒成立证明：设，则，易知，由可知与关于点互回，与的图象交于点由得与关于点互穿，由得与关于点互回，易得当i为奇数时，与关于点互回，有为奇数由题意得对任意正整数i恒成立，；，累乘得，易知，为奇数，为奇数，为奇数，即为奇数，得证【解析】设，求导判断其单调性，再由函数互回的定义做出判断；分，均大于零，若，均小于零两种情况，结合函数互回、互穿的定义分别证明即可；设，分别求导，确定与，与的关系，由函数互回及互穿的定义得出对任意正整数i恒成立，再由累乘法即可证明本题以新定义的函数的位置关系“互回”“互穿”为背景设题，考查不等式的证明，考查考生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力以及应用意识和创新意识，属于难题