《 数字信号处理 》课件第1章 时域离散时间信号和时域离散系统.pptx

1、1n模拟信号数字处理方法模拟信号数字处理方法n确定性信号的相关函数确定性信号的相关函数 21.1引言引言n信号的分类信号的分类n系统的分类系统的分类3：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；：如果自变量取离散值，而函数值取连续值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；信号的自变量和函数值均取离散值。4采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，得，=，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.6364，显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的xn=，0.000，0.101，0.111，0.

2、101，0.000，1.101，1.111，1.101，数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。)50sin(9.0)()(anTtxnxnTt)50sin(9.0)(attx5n模拟系统模拟系统n时域离散系统时域离散系统n数字系统数字系统n模拟网络和数字网络构成的混合系统模拟网络和数字网络构成的混合系统678()nx na1,an 910110,00,1)(nnnmnmnmn0,1)(12 1,0()0,0nu nn1,()0,nmu nmnm(n)=u(n)-u(n-1)0()()()nkku nnkk13 1,01()0,NnNR n 其 它 NmNmn

3、nR0)()()()()NRnu nu nN14()()nx na u n15 得到得到（）x(n)=Asin(n+)=/fs ,16 n用用表示表示()e(cosjsin)ecosejsinnnnx nnnnnjarg()j()()eeex nnnx nx n,0,217 为例讨论周期性为例讨论周期性()x n 18 kN2 ()5sin(3)4x nn19 任何任何k 都不能使都不能使N 为正整数，这为正整数，这时正弦序列不是周期序列。时正弦序列不是周期序列。3()2cos(7)4x nn3()2cos(7)4x nn是非周期序列。20()()()mx nx mnm(),()()=0,x

4、n mnx mnmmn 21222312,1()0,1nnx nn 2,0()1,0nny nnn12,13()(),1221,0nnnx ny nnnn 2412,13()(),1221,0nnnx ny nnnn 252612,1()0,1nnx nn 2,0()1,0nny nnn10,11()(),12(1)2,0nnx ny nnnn 2710,11()(),12(1)2,0nnx ny nnnn x(n)282912,1()0,1nnx nn 22,11(1)0,11nnx nn 30 x(n)22,11(1)0,11nnx nn 313212,1()0,1nnx nn 12,14

5、()0,1nnx nn 333412,1()0,1nnx nn 12,1()0,1nnxnn35 设序列为设序列为x(n)，则序列，则序列 定义为对定义为对x(n)的累加，表示将的累加，表示将n 以前以前的所的所有有x(n)值求和。值求和。nkkxny)()(3637(/),0,1,2,()0,x n m n ml lz nn其 它 38(),(/)0,x inim ix n mn为整数其他392|()|nEx n40 4142 43):44 n(1)y(n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中，其中M为正整数。为正整数。45 nm 为为任意常整数任意常整数 46 n(1)y(

6、n)=2x(n)-3，n(2)y(n)=x(Mn)，其中，其中M为正整数。为正整数。47 48()()(-)mx nx mn m()()()(-)my nT x nTx mn m()()(-)my nx m Tn m()()(-)()()my nx m h n mx nh n nI/O关系关系 49 50()()()()()my nx nz nx m z nm()()()y nx nh n51521001()()()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa1001()()()1nnnn mnmmmmay nx m z nmaaaa53aaaaaanynnmmmnmn1)(144

7、040aaaaaanynnmmmnmn1)(144040410660()nnmkmnky naa47101066001nnnkkkkaaaaaa54 例：例：已知x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解解mmmnRmRmnhmxny)()()()()(44n计算卷积的基本运算是翻转、移位、相计算卷积的基本运算是翻转、移位、相乘和相加。计算方法：图解法、解析法乘和相加。计算方法：图解法、解析法55例1.3线性卷积n首先将首先将h(n)用用h(m)表示，并表示，并将波形翻转，得到将波形翻转，得到h(m)，然后将然后将h(m)移位移位n，得到得到h(nm)，n0

8、,序列右移；序列右移；n0，序列左移。如，序列左移。如n=1，得到得到h(1-m)，接着将，接着将h(m)和和h(nm)相乘后，再相加相乘后，再相加,得得到到y(n)的一个值。对所有的的一个值。对所有的n重复这种计算重复这种计算,最后得到卷最后得到卷积结果，如图积结果，如图1.3.2(f)所示所示,y(n)表达式为表达式为ny(n)=1,2,3,4,3,2,1 56表表1.3图解法（列表法）图解法（列表法）57 例：例：设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解解 mmnmnuamRnxnhny)()()()()(4n关键：根据求和号内的两个信号乘积的非

9、零值区间确定求关键：根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。和的上、下限。n因为因为nm时，时，u(n-m)才能取非零值；才能取非零值；n0m3时，时，R4(m)取非零值；取非零值；n所以，求和区间中所以，求和区间中m要同时满足下面两式：要同时满足下面两式：n mnn 0m3n这样求和限与这样求和限与n有关系，必须将有关系，必须将n进行分段然后计算。进行分段然后计算。5811011)(aaaanynnnmmn143011)(aaaanynmmnnaaanaaannynnn411301100)(1411nn0时，时，y(n)=0n0n3时，乘积的非零值范围为时，乘积的非零值范围

10、为0mn，因此，因此nn4时，乘积的非零区间为时，乘积的非零区间为0m3，因此，因此n写成统一表达式写成统一表达式5960h(n)=0，n0 ()()(-)()(-)nmmy nx m h n mx m h n m000()()(-)nmy nx m h n m61 1()()(-)()(-)()(-)mnmmny nx m h n mx m h n mx m h n m 62n(1)()=(+1)-();n(2)。63 64|()|nh n+|()|()()|()|()|M|()|mmmy nh m x nmh mx nmh m 650)(00)()()()(nhnhnhnhnx|()|nh

11、 n kkkkhkhkhkhkxkhy|)(|)(|)()()()()0(660001)()(nnnmunynm nmmxny)()(67 1|111,|1|()|,|1annnnnah naaa描述一个系统可以不管系统内部的结构如何，将描述一个系统可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述系统的输出与输入系统看成一个黑盒子，只描述系统的输出与输入之间的关系，这种描述法被称为输入输出描述法。之间的关系，这种描述法被称为输入输出描述法。微分方程微分方程 模拟系统模拟系统差分方程差分方程 时域离散系统时域离散系统状态变量描述法状态变量描述法Tx(n)y(n)时域离散系统时域离散系统用

12、方程用方程来描述来描述两种不同的两种不同的描述方法描述方法返回返回一个一个N阶线性常系数差分方程用下式描述：阶线性常系数差分方程用下式描述：或或 ，a0=1式中，式中，x(n)和和y(n)分别表示系统的输入和输出，分别表示系统的输入和输出，系数系数ai和和bi均为均为，且，且x(n-i)和和y(n-i)只有次只有次幂，也没有相互交叉的幂，也没有相互交叉的，故称为线性，故称为线性常系数差分方程。常系数差分方程。MiNiiiinyainxbny01)()()(NiMiiiinxbinya01)()(已知系统的输入信号和描述系统的线性常系数差分方程，求解系统的输出一般有三种方法：经典解法:和求解微分

13、方程解法类似，齐次解特解：由初始值和输入值递推解出系统以后输出值适合计算机求解适合计算机求解递推解法：观察上式，如果已知输入信号x(n)，求n时刻的输出，需要知道输入信号x(n)，以及n时刻以前的N个输出信号值：y(n-1)，y(n-2)，y(n-3)，y(n-N)。这N个输出信号值就构成初始条件。可以看到，上式是一个递推方程。如果已知输入信号x(n)和N个初始条件，就可以求出n个时刻的输出；如果将这公式中的n用n+1代替，就可求出n+1时刻的输出，依此类推，可求出各个时刻的输出。MiNiiiinyainxbny01)()()(72【例例2.14】设系统用差分方程设系统用差分方程y(n)=ay

14、(n1)+x(n)描述，输入序描述，输入序列列x(n)=(n)，求输出序列，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。递推法递推法（1）设初始条件设初始条件:0)1(y)()1()(nxnayny)()()(,)2()1()2(,2)1()0()1(11)0()1()0(,02nuanyanynnaayynaay，ynayynnn时时时时（2）设初始条件设初始条件:1)1(y)()1()()1()(,)1()2()1()2(,2)1()1()0()1(,11)0()1()0(,02nuaanyaanynnaaay

15、ynaaayynaayynnn时时时时)()1()(nxnayny7374式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：nnTttP)()()()()()()(aaanTttxtPtxtxn)()()(aanTtnTxtxn75nnTttP)()(2/2/j1de)(1sTttkkTttTa对 进行傅里叶变换，得到)(FT)j()(FT)j()(FT)j(aaaatpPtxXtxXkkkaP)(2)j(s式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是rad/skkTP)(2)j(s76 kkkkXTkXTkXTPXX)jj(1d)()j(1d)()j(221)j(

16、)j(21)j(sasasaaa理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，或者说理想采样信号的频谱，或者说理想采样信号的频谱是是而成的。而成的。77 图1.5.3 采样信号的频谱 78ss21|021|)j(TGscaascaaa1aaaa21 )()(21 )()()j(FT)()j()j()(FT)j(txtytxtyYtyGXtyY79 图1.5.4 采样恢复 80 设xa(t)是带限信号，最高频率为c，其频谱Xa(j)如图1.5.3(a)所示。p(t)的频谱P(j)如图1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的频谱 如图 1.5

17、.3(c)所示，图中原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果满足s2c，或者用频率表示该式，即满足Fs2fc，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，如图1.5.3(c)所示情况，可以用理想低通滤波器G(j)从采样信号中不失真地提取原模拟信号，如图1.5.4所示。但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使Fs2fc,Xa(j)按照采样频率Fs周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图1.5.3(d)表示。这种情况下，再用图 1.5.4 所示的理想低通滤波器对Xa(t)进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。)(atx)j(aX81 这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和

18、图1.5.4仅是示意图。一般称，只有当信号最高频率不超过Fs/2时，才不会产生频率混叠现象，否则超过Fs/2的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此82采样定理采样定理（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，用公式（，用公式（1.5.5）表示。）表示。（2）设连续信号设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为属带限信号，最高截止频率为c，如果，如果，那么让采样信号，那么让采样信号通过一个增益为通过一个增益为T、截止频率为截止频率为s/2的理想低通滤波器，的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则。否则,s/T

19、区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波器的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。实际中，将解码器与零阶保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。97图 1.5.10零阶保持器的频率特性 981.6.1 信号的互相关函数和自相关函数信号的互相关函数和自相关函数1.6.2 周期信号的相关性周期信号的相关性1.6.3 相关函数的性质相关函数的性质1.6.4 输入信号与输出信号的相关函数输

20、入信号与输出信号的相关函数1.6.5 相关函数的应用相关函数的应用1.6.6 用用 MATLAB计算相关函数计算相关函数991.6.1 信号的互相关函数和自相关函数信号的互相关函数和自相关函数 定义定义为信号x(n)和y(n)的互相关函数。100与序列卷积运算相比较与序列卷积运算相比较,相关运算仅缺少了将相关运算仅缺少了将y(n)翻翻转变成转变成y(-n)的步骤的步骤,其他运算过程完全相同。所以其他运算过程完全相同。所以因此因此,用于卷积的计算过程和程序都可以直接用于计算序用于卷积的计算过程和程序都可以直接用于计算序列的相关函数。列的相关函数。101 如果式(1.6.1)中y(n)=x(n),

21、则上面定义的互相关函数即变成x(n)的自相关函数,记为rxx(m),即自相关函数表示了信号x(n)与其自身移位后的x(n-m)的相似程度。为了表示简单,一般将自相关函数记为rx(m)。102 式(1.6.4)说明,rx(0)表示x(n)的能量,记为Ex。当Ex 时,信号x(n)称为能量信号;当Ex=时,信号x(n)称为能量无限信号。对能量无限信号,我们主要研究其平均功率。信号x(n)的功率定义为当Px 时,称x(n)为功率信号。功率信号是工程实际和理论研究中的常用信号,如周期信号。103当输入序列是有限长序列,或只能获得无限长序列的有限个序列值时,通常将互相关函数和自相关函数表示成有限和的形式

22、。特别是当x(n)和y(n)是长度为 N 的因果序列时,互相关函数和自相关函数可以表示为104上述对相关函数的定义都是针对实信号的,如果x(n)和y(n)是复信号,其相关函数也是复信号,此时定义式(1.6.1)和式(1.6.3)应该为105【例【例1.6.1】设信号为x(n)=anu(n),0a1。求其自相关函数。解解 由于x(n)是无限时宽的,所以rx(m)也是无限时宽的。下面分 m0和 m0两种情况来求解。当m0时,由图1.6.1可见:因为a1,无限级数收敛,所以有106当m0时,由图1.6.1可见:因为m0时,只要将y(n)相对x(n)向右平移 m 个时间单位,得到y(n-m),再计算乘

23、积序列vm(n)=x(n)y(n-m),最后求可得111(3)当m0时,只要将y(n)相对x(n)向左平移|m|个采样间隔,再进行同样的计算可得综上可得x(n)和x(n)的互相关函数rxy(m)为1121.6.2 周期信号的相关性周期信号的相关性设x(n)和y(n)是两个功率信号,其互相关函数定义为当y(n)=x(n)时,功率信号的自相关函数定义为 113特别是,如果x(n)和y(n)是两个周期为 N 的周期信号,则式(1.6.11)和式(1.6.12)中有限区间上的平均值就等于一个周期上的平均值,因此,式(1.6.11)和式(1.6.12)就可以简化为114由周期信号的定义可得所以,周期为

24、N 的周期信号的自相关函数也是以N 为周期的。这样,如果一个周期信号的周期未知,我们可以根据其自相关函数的周期性质,估计其周期。115【例【例1.6.3】已知x(n)=sin(n),其周期为 N,即=2/N,求x(n)的自相关函数。解解 由式(1.6.14)得116由于第二项中第一项中所以由此可见,正弦序列的自相关函数是同频率的余弦序列,显然自相关函数与原序列周期相同。1171.6.3 相关函数的性质相关函数的性质1.互相关函数性质互相关函数性质(1)rxy(m)不是偶函数,而且rxy(m)rxy(m),但有118(2)rxy(m)满足证明 生成线性组合序列119其中,a 和b 为任意常数,m

25、 为整数(表示延时)。该线性组合序列的能量可以表示为我们知道能量是非负的,所以下式成立:1201212.自相关函数性质自相关函数性质(1)若x(n)是实信号,rx(m)是实偶函数,即当式(1.6.16)中y(n)=x(n)时,即可得式(1.6.22)。若x(n)是复信号,则rx(m)是共轭对称函数,即rx(m)=rx*(-m)。122123(3)对于能量信号x(n),将x(n)相对自身移至无穷远处,则二者不相关。即124假设系统输入信号x(n)的自相关函数rx(m)已知,系统单位脉冲响应为h(n),系统输出信号为1.6.4 输入信号与输出信号的相关函数输入信号与输出信号的相关函数125由式(1

26、.6.2)可知,输出信号与输入信号的互相关函数可表示为126由式(1.6.25)可见,输出信号与输入信号的互相关函数等于系统单位脉冲响应h(m)与输入信号自相关函数rx(m)的卷积。所以,ryx(m)可以看成线性时不变系统对输入序列rx(m)的响应输出,如图1.6.2所示。图1.6.2 ryx(m)的输入与输出关系127在式(1.6.2)中令x(n)=y(n),再利用卷积的性质,可以得到系统输出信号的自相关函数ry(m):128如果系统稳定,则h(n)为能量信号,rh(m)存在。这样,如果rx(m)存在,则ry(m)存在,即输出信号也是能量信号。在式(1.6.26)中令m=0,可得输出信号的能

27、量为1291.6.5 相关函数的应用相关函数的应用1.相关函数在雷达和主动声呐系统中的的应用相关函数在雷达和主动声呐系统中的的应用假设信号序列x(n)和y(n)是我们需要比较的两路信号,在雷达和主动声呐系统中,x(n)一般是发射信号的采样,而(n)表示接收端 A/D 变换器输出的信号。如果目标是某个被雷达或声呐搜索的物体,则接收信号(n)由发射信号被目标反射,并经加性噪声污染后的延迟信号组成。雷达目标检测示意图如图1.6.3所示130 图1.6.3 雷达目标检测示意图131接收信号y(n)可以表示为 其中,a 是衰减因子,表示发射信号x(n)在发射信道和反射信道中的损耗;D 是延迟量(假设D

28、为采样间隔的整数倍);w(n)表示天线接收到的加性噪声以及接收机前端电子器件或放大器产生的噪声。如果在雷达或声呐搜索空间没有目标,则接收信号y(n)仅含有噪声信号w(n)。132接收信号与发射信号的相关函数为1332.使用相关函数检测物理信号隐含的周期性使用相关函数检测物理信号隐含的周期性假设其中,x(n)是一个未知周期 N 的周期信号,w(n)表示加性随机干扰噪声。假定观测到y(n)的 M 个采样值,观测区间为0nM-1,且 M N。实际计算时,可以将y(n)看作长度为 M 的因果序列,并引入归一化因子1/M,则y(n)的自相关函数为134135【例【例1.6.4】设信号x(n)=sin(n

29、/5),0n199,x(n)与加性噪声 w(n)混合在一起,w(n)是在-A/2,A/2上均匀分布的白噪声序列,A 为分布参数。观测序列是y(n)=x(n)+w(n)。求自相关函数ry(m),并确定信号x(n)的周期。解解 本例中,假设仅知道已被噪声污染的观测信号y(n)的200个采样值,而且y(n)中包含一周期信号x(n),但并不知道其周期是多少。现在要通过计算y(n)的自相关函数确定x(n)的周期。噪声w(n)的功率Pw 由分布参数A 决定,由本书9.1.2节的式(9.1.3b)可知,Pw=A2/12,信号x(n)的功率Px=1/2,因此信噪比(S/N)为136在1.6.6节中,将编写程序

30、ep164.m,并运行,可产生S/N=1dB时的噪声 w(n)、观测信号y(n)=x(n)+w(n)和y(n)的自相关函数ry(m),分别如图1.6.4(a)、(b)和(c)所示;S/N=5dB时的噪声 w(n)、观测信号y(n)=x(n)+w(n)和y(n)的自相关函数ry(m),分别如图1.6.5(a)、(b)和(c)所示。137图1.6.4 干扰噪声、观测信号和观测信号自相关函数波形(S/N=1dB)138图1.6.5 干扰噪声、观测信号和观测信号自相关函数波形(S/N=5dB)1391.6.6 用用 MATLAB计算相关函数计算相关函数1.rand函数函数rand函数用于产生均值为0.

31、5,幅度在0,1上均匀分布的伪随机序列,在数字信号处理中常用于模拟近似均匀分布的白噪声信号w(n)。理想的白噪声信号w(n)的功率谱是一个常数,其自相关函数rw(m)=2(m),即仅在 m=0时rw(m)有值,m 取其他值时rw(m)皆为零。其中,2 是w(n)的方差,即w(n)的平均功率:140rand函数的调用格式如下:w=rand(N);%产生 N 维列向量w w=rand(M,N);%产生 M N 维矩阵w1412.xcorr函数函数xcorr函数用于 计 算 信 号 的 互 相 关 函 数 或 自 相 关 函 数。xcorr函 数 的 两 种 调 用 格 式如下:rxy=xcorr(

32、x,y);%计算序列x 和y 的互相关函数如果x 和y 的长度都是N,则rxy的长度为2N-1;如果x 和y 的长度不相等,则将短的序列后面补零,再按照长度相等方法计算。142rx=xcorr(x,M,flag);%计算序列x 的自相关函数M 表示自相关函 数rx 的 单 边 长 度,总 长 度 为 2M+1;flag 是 定 标 标 志,若flag=biased,则表示有偏估计,需将rx(m)都除以 N,见式(1.6.14);若flag=unbiased,则表示无偏估计,需将rx(m)都除以N-abs(m)。若flag缺省,则rx 不定标。M 和flag同样适用于求互相关函数。143求解例1.6.4的程序为ep164.m,程序运行结果如图1.6.4和图1.6.5所示。144145