多目标决策全册精品完整课件.ppt

1、中国科学技术大学管理学院 答辩人：丁晶晶 多目标决策全册精品多目标决策全册精品 完整课件完整课件 多目标决策 Review of Lecture 2 概率的派别概率的派别 Frequentist Bayesian 主观概率的确定主观概率的确定 Intuition rationality existence theorem 实用主观概率设定方法实用主观概率设定方法 主观主观设定设定 无信息先验无信息先验 位置密度位置密度/标度密度标度密度 最大熵先验最大熵先验 熵的概念熵的概念（不确定程度的不确定程度的 测度测度/平均信息量）平均信息量） 2 多目标决策 极大熵准则的理论依据 3 多目标决策 模

2、型 4 决策者决策模型 多目标决策 模型 5 决策者决策模型 决策者最优决策 多目标决策 模型 6 自然的决策模型 决策者决策模型 决策者最优决策 多目标决策 7 4 基于边际分布基于边际分布 多目标决策 边际分布（预测密度） 条件均值与条件方差：条件均值与条件方差： 预测密度是与先验分布相关的，严格的写法为m(x|) 8 多目标决策 先验分布族 具有特定函数形式的先验分布族具有特定函数形式的先验分布族 称为先验分布的称为先验分布的hyper-parameter（超参数）（超参数） 具有特定结构的先验分布族具有特定结构的先验分布族 邻近特定诱导先验分布邻近特定诱导先验分布 9 多目标决策 矩方

3、法选择先验分布 10 多目标决策 ML-II方法选择先验分布 11 多目标决策 Example 12 多目标决策 Example (continued) 13 多目标决策 Example (continued) 14 多目标决策 Empirical Bayes Analysis 15 样本空间 多目标决策 Empirical Bayes Analysis 16 样本空间 参数空间 多目标决策 Empirical Bayes Analysis 17 样本空间 参数空间 行动空间 多目标决策 Empirical Bayes Analysis 18 样本空间 参数空间 行动空间 多目标决策 19 5

4、 Hierarchical PriorsHierarchical Priors 多目标决策 定义 层次先验分布（层次先验分布（Hierarchical prior）也称作多阶段先）也称作多阶段先 验分布（验分布（multi-stage prior）。是一种基于先验分布族）。是一种基于先验分布族 ，通过多阶段引入参数的先验信息，而获得的参数的，通过多阶段引入参数的先验信息，而获得的参数的 先验分布。先验分布。 二阶段层次先验分布：二阶段层次先验分布： 20 多目标决策 Example (Hierarchical prior) 21 Solution: 多目标决策 应收账款风险研究案例（conti

5、nued） 应收账款风险的影响因素（应收账款业务失败，应收账款风险的影响因素（应收账款业务失败，X7） 客户的偿债能力（客户的偿债能力（X1） 客户的偿债意愿（客户的偿债意愿（X2） 本公司的管理缺位（本公司的管理缺位（X3） 本公司的操作失误（本公司的操作失误（X4） 公司外部因素导致的失败（公司外部因素导致的失败（X5） 本公司内部因素导致的失败（本公司内部因素导致的失败（X6） 22 应收账款业务失败 内部因素（X6) 外部因素(X5) 公司管理缺位（X3) 公司操作失误（X4) 客户偿债意愿（X2) 客户偿债能力（X1) 多目标决策 概率分析 775656 ()(|,) (,)P XP

6、 XXXP XX 5656 (,)() ()P XXP XP X 551212 663434 ()(|,) (,) ()(|,) (,) P XP XXXP XX P XP XXXP XX 1212 (,)() ()P XXP X P X 3434 (,)() ()P XXP XP X 1st stage prior 2nd stage priors 3rd stage priors 23 多目标决策 计算结果 24 中国科学技术大学管理学院 答辩人：丁晶晶 Lecture 3：价值函数 中国科学技术大学管理学院中国科学技术大学管理学院 主讲主讲: 丁晶晶丁晶晶 多目标决策 内容结构图 26

7、决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 内容结构图 27 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分

8、部分 第三第三 部分部分 多目标决策 Questions? How do we determine the utility function? Are there more or less rational ways to assign such utilities? Are we sure that the utility apparatus is the right one to capture our intuition? 28 多目标决策 29 本次课结构 Existence of utility function 3 Preferences 1 Definition of utili

9、ty and axiom system 2 多目标决策 30 1 偏好关系偏好关系 多目标决策 二元关系定义 31 多目标决策 常见次序关系 偏序（偏序（partial order）: if a relation is transitive, reflexive and anti-symmetric, 完全序（完全序（complete order or linear order）：）：if a relation is a partial order and complete, 等价关系（等价关系（equivalent relation）：）：if it is reflexive, symmet

10、ric and transitive. 32 多目标决策 二元关系图 33 传递关系 预序 严格偏序 偏序 严格序 弱序 线性序 非自反性 连通性 自反性 反对称性 连通性 反对称性 连通性 多目标决策 二元关系图 34 传递关系 预序 严格偏序 偏序 严格序 弱序 线性序 非自反性 连通性 自反性 反对称性 连通性 反对称性 连通性 多目标决策 35 优先关系 多目标决策 36 理性偏好关系（rational preference relation） 完全性 传递性 多目标决策 37 Example , , 1. ,. 2. , , . 3. ,. x y zO xy yzxz xy yzx

11、z xyzxz 假设 那么 那么 那么 多目标决策 38 2 效用函数的定义和公理效用函数的定义和公理 多目标决策 39 确定情形效用理论 消费者理论（消费者理论（consumer theory）：关于一个理性消费）：关于一个理性消费 者如何做出消费决策的理论者如何做出消费决策的理论 商品组合的集合商品组合的集合 多目标决策 优先关系的单调性（Monotonicity） 40 多目标决策 效用函数定义 表示偏好关系的效用函数唯一吗？表示偏好关系的效用函数唯一吗？ 多目标决策 42 3 效用函数存在性效用函数存在性 多目标决策 43 效用函数存在性 多目标决策 连续性 44 , ();lim ,

12、lim , nnnnnn nn nxy xy 公理3(等价形式):在X上的优先关系是连续的 即这种优先关系在极限条件 可以保持:对任意的数列(x ,y ),有xy如果xy 那么有成立. ,( ) ( ) XxI x S x 公理3:在 上的优先关系是连续的 即对于任何确定的后果 ，它的劣势集和 它的优势集都是闭集。 证明策略： （1）从下往上证（easy） （2）从上往下证（see the next slide） 多目标决策 45 假设 多目标决策 46 假设 多目标决策 47 假设 多目标决策 48 假设 多目标决策 49 假设 多目标决策 50 假设 多目标决策 51 假设 多目标决策 5

13、2 假设 多目标决策 53 假设 多目标决策 54 假设 多目标决策 55 假设 多目标决策 56 效用函数存在性 效用函数存在性效用函数存在性 证明策略：（构造法） （1）对于任意K维空间的商品组合x，存 在唯一的实数a(x)，使得a(x)(1,1,1)与x 无差异； （2）令u(x)=a(x)，验证其满足效用函数 的定义。 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 57 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 58 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 59 连 续 性 多目标决策 存在唯

14、一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 60 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 61 连 续 性 多目标决策 Review of Lecture 4 极大熵准则的解释极大熵准则的解释 先验分布族先验分布族 参数选择方法参数选择方法 矩方法矩方法 ML-II 经验贝叶斯方法经验贝叶斯方法 决策的风险决策的风险 层次先验分布（层次先验分布（hierarchical prior） 二元关系二元关系 偏序和线性序偏序和线性序 理性偏好关系理性偏好关系 价值函数定义价值函数定义 连续性连续性 62 应收账款业务失败 内部因素（X6) 外部因素(X5)

15、公司管理缺位（X3) 公司操作失误（X4) 客户偿债意愿（X2) 客户偿债能力（X1) 多目标决策 63 效用函数存在性 效用函数存在性效用函数存在性 证明策略：（构造法） （1）对于任意K维空间的商品组合x，存 在唯一的实数a(x)，使得a(x)(1,1,1)与x 无差异； （2）令u(x)=a(x)，验证其满足效用函数 的定义。 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 64 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 65 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 66 连 续 性 多目标决策

16、存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 67 连 续 性 多目标决策 存在唯一实数a(x)，使得a(x)(1,1,1) x 68 连 续 性 多目标决策 确定性效用理论（价值函数）总结 69 理性偏好关系 （传递和完全性） 连续性 价值函数 存在性 多目标决策 内容结构图 70 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决

17、策 内容结构图 71 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 72 1 期望效用理论期望效用理论 多目标决策 风险结果的偏好关系 11 (, ;.;,) nn Pp cp c 11 (,;.;,) kk Pp Pp P Simple lottery compound lottery 期望效用函数 73 多目标决策 效用函数定义

18、74 多目标决策 公理体系 75 多目标决策 公理体系（independence axiom） L L 0.5L+0.5L L L L 2/3L+2/3L 2/3L+2/3L 76 多目标决策 存在性证明思路 77 两个结果的抽奖的比较 (p1,c1;p2,c2) vs. (p3,c1;p4,c2) 存在期望效用函数 (p1,c1;p2,c0) vs. (p3,c2;p4,c0) 一般情形抽奖的比较 性质1 性质2 性质3、4 定理3.1 多目标决策 78 简单抽奖的比较性质 性质性质1：相同结果抽奖比较相同结果抽奖比较 1211112 22122 ,(,;1,), (,;1,). ; . P

19、p cp c Pp cp c 12 12 1212 1212 1212 设有两个抽奖P P 具有相同结果值c ,c 即 假定cc ,则 (1)若p p ,则PP; (2)若p =p ,则PP (3)若p (3) 98 假设存在c, 多目标决策 常用的效用函数 Constant Absolute Risk Aversion CARA Constant Relative Risk Aversion CRRA ( ) ( ), ( ) Aw Uw U weA U w 1 (1)( ) ( ), 1 ( ) log( ) (1) R w RwUw U wR R U w wR 99 多目标决策 Revi

20、ew of Lecture 4 确定情形下的效用函数存在确定情形下的效用函数存在 性证明性证明 连续性连续性 不确定情形下的效用理论不确定情形下的效用理论 公理体系公理体系 存在性证明存在性证明 无差异概率与期望效用无差异概率与期望效用 期望效用函数的性质期望效用函数的性质 风险厌恶的测度与比较风险厌恶的测度与比较 定义（三种）定义（三种） Arrow-Pratt风险厌恶测度风险厌恶测度 100 多目标决策 内容结构图 101 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法

21、 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 内容结构图 102 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 Outline Mean-Variance Criterion (Sec. 5.2,5.3) Stochastic Domina

22、nce (Sec. 5.1,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8) 多目标决策 104 1 平均值方差排序平均值方差排序 (Sec. 5.2(Sec. 5.2，5.3)5.3) 多目标决策 105 -法则 基本思路 在评价行动方案时，不仅考虑方案可能带来的期 望值，也考虑代表风险的方差 评价函数： 对评价函数的要求 2 ( )( ,)a 多目标决策 106 有效的投资组合图 以标准差为横轴，均值为纵轴，根据平均值方差准则以标准差为横轴，均值为纵轴，根据平均值方差准则 分析有效的有价证券的组合。分析有效的有价证券的组合。 多目标决策 107 资产组合的收益与风险：计算公式 1 222 1 2c

23、ov(,) n jj j n jjjkij jj k X XX XR R 多目标决策 108 资产组合的风险 多目标决策 109 资产组合的风险与资产数量 当资产组合中的种类增多时，组合中单个资产的风险当资产组合中的种类增多时，组合中单个资产的风险 变的越来越不重要，组合中资产之间的协方差变的越变的越来越不重要，组合中资产之间的协方差变的越 来越重要。来越重要。 多目标决策 110 资产组合的风险与资产数量：一个简单情形 考虑一种特殊组合考虑一种特殊组合,X1=X2,=Xn=1/N. 假设所有资产假设所有资产 的方差相等的方差相等( )，同时资产两两之间的协方差相等，同时资产两两之间的协方差相

24、等 ( )。分析。分析N 根据上表列方差表达式根据上表列方差表达式 2 var i cov(,)cov ij R R 多目标决策 Morkowitz模型 111 多目标决策 112 风险资产与无风险资产的组合 考虑一种有价证券与无风险资产的组合的收益和风险考虑一种有价证券与无风险资产的组合的收益和风险 。资产组合用。资产组合用(X1,X2)表示，其中表示，其中X1表示风险资产的持表示风险资产的持 有比例。设第有比例。设第1种资产的收益率均值为种资产的收益率均值为1，方差为，方差为1， 无风险资产收益均值为无风险资产收益均值为2，方差为，方差为0，那么资产组合的，那么资产组合的 收益率与方差分别

25、为收益率与方差分别为 1122 2 22222 121211 1 11 2cov(,) jj j XX XX XR RX X 多目标决策 113 有效的投资组合图/EV有效前沿面 假设存在无风险资产，以标准差为横轴，均值为纵轴假设存在无风险资产，以标准差为横轴，均值为纵轴 ，分析有效的资产组合？，分析有效的资产组合？ 多目标决策 114 市场均衡 假设所有的投资者对所有证券的期望收益，方差和协假设所有的投资者对所有证券的期望收益，方差和协 方差有相同的估计，即所有投资者接收相同的信息方差有相同的估计，即所有投资者接收相同的信息 homogeneous expectations 所有人具有相同的

26、无风险利率，进行借贷所有人具有相同的无风险利率，进行借贷 所有人都会持有市场组合所有人都会持有市场组合 多目标决策 115 有效组合的预期收益率确定 资本市场线（资本市场线（CML）：均衡条件下，它代表证券市场）：均衡条件下，它代表证券市场 上所有有效的投资机会，每一位投资者都将根据自己上所有有效的投资机会，每一位投资者都将根据自己 的偏好在的偏好在CML上选择一点作为自己的投资目标上选择一点作为自己的投资目标 斜率：斜率： () MR R M () MR M 均衡收益率 有效组合 多目标决策 116 任意组合的预期收益率确定 假设任意证券假设任意证券i，收益率为，收益率为 ，标准差为，标准差

27、为 . 其与市场组合按照其与市场组合按照 比例比例a, 1-a组合的新组合的收益率和标准差可以用如下的参数方程组合的新组合的收益率和标准差可以用如下的参数方程 表示：表示： 参数方程在市场组合处的斜率参数方程在市场组合处的斜率 参数方程在市场组合处的斜率等于参数方程在市场组合处的斜率等于CML斜率斜率 22 00 ()()/ / iMiM M iMMiMM aa ddda ddda i i 2222 (1) 2 (1)(1) iM iiMM aa aaaa 22 ()() () iMiMMR MiRMR iMMMM Beta系数 多目标决策 117 2 随机优势随机优势 （Sec.5.1,5.

28、4,5.5,5.6,Sec.5.1,5.4,5.5,5.6, 5.7,5.85.7,5.8） 多目标决策 118 2.1 效用函数的类效用函数的类 （Sec. 5.4Sec. 5.4） 多目标决策 效用函数的类 递增的效用函数类递增的效用函数类(strictly increasing) 递增的凹效用函数递增的凹效用函数(strictly increasing concave) 假设：递增、可导和有界假设：递增、可导和有界 119 多目标决策 120 2.2 随机优势的概念与性质随机优势的概念与性质 多目标决策 121 Absolute dominance/State-by-state domi

29、nance (按状态占优) 当满足下列条件时，称当满足下列条件时，称i确定性占优确定性占优j 如果一个行动是不被另外一个行动所占优，则称其为如果一个行动是不被另外一个行动所占优，则称其为 可接受行动（可接受行动（admissible） 例例1：X为一随机变量为一随机变量, Y=X+1. (1) , ()() (2) , ()() kikjk kikjk rr rr 多目标决策 Sec 5.1 (P71) 122 多目标决策 123 第一等随机优势（First-order stochastic dominance） 1. , ( )( ) 2. , ( )( ) lll xIF xG x xF

30、xG x 有 有 或者生存函数进行定义 多目标决策 Absolute dominance vs. First-order dominance 性质：性质：Absolute dominance = first-order dominance 性质：收益性质：收益X分布分布F(x)第一等随机占优收益第一等随机占优收益Y，其分布，其分布 为为G(y)。则存在随机变量。则存在随机变量X*,Y*,其中其中X*的分布函数服的分布函数服 从从F(.)，Y*的分布服从的分布服从G(.)，且有，且有 例例:X和和Y相互独立，相互独立，XU(0,1)，YU(1,2) * Pr()1XY *1 Hint:,( ()

31、, a XXYGF XXF 124 多目标决策 125 随机优势例子 某种病的治疗可以采取立即做手术，或者不作处理。某种病的治疗可以采取立即做手术，或者不作处理。 如果不做处理，病情可能恶化，患者因此可能死亡或如果不做处理，病情可能恶化，患者因此可能死亡或 者残疾。如果立即做手术，手术有风险，在手术过程者残疾。如果立即做手术，手术有风险，在手术过程 中可能会在手术中死亡或者导致残疾。医生应该如何中可能会在手术中死亡或者导致残疾。医生应该如何 做？做？ 不做手术 手术 0 75 100 0 75 100 P (死亡) = 0.05 P (残疾) = 0.25 P (治愈) = 0.70 P (死

32、亡) = 0.01 P (残疾) = 0.04 P (治愈) = 0.95 多目标决策 126 随机占优例子 不做手术，被做手术第一等随机占优 多目标决策 例5.1 127 多目标决策 128 随机占优与期望效用 11 00 ( )( )( )( )u x dF xu x dG x 0 0 ()1( )( )E XF x dxF x dx 多目标决策 129 第二等随机优势（second-order dominance） 设设X和和Y的分布函数分别为的分布函数分别为F,G，满足以下条件称，满足以下条件称F 第第 二等随机占优二等随机占优G，记为。，记为。 性质：第一等随机优势可以推导出第二等随

33、机优势，性质：第一等随机优势可以推导出第二等随机优势， 反之未必成立反之未必成立 1. , ( )( )0 2. , ( )( ) x xRG sF s ds x G xF x 有 多目标决策 130 第二等随机占优性质 如果如果F(.)和和G(.) 为收益为收益X和和Y的分布函数，则下面的结的分布函数，则下面的结 论等价论等价 F(.)第二等随机占优第二等随机占优G(.) 对于任意的对于任意的不减凹效用函数不减凹效用函数u(.)，有下式成立，有下式成立 Hint: 两次利用分部积分两次利用分部积分 11 00 ( )( )( )( )u x dF xu x dG x 多目标决策 131 第二

34、等随机占优性质 ()( )E XE Y 0 0 ()1( )( )E XF x dxF x dx 多目标决策 定义与定理（Sec 5.6, P77） 132 多目标决策 133 2.3 随机优势定理的特例随机优势定理的特例 多目标决策 相等平均值 134 多目标决策 简单分布函数 135 多目标决策 单交叉分布 136 多目标决策 137 正态分布变量的比较 X和和Y都为正态随机变量都为正态随机变量 Y比比X有较低的均值，同时具有相同的方差有较低的均值，同时具有相同的方差 密度函数平移，一阶随机占优，二阶随机占优密度函数平移，一阶随机占优，二阶随机占优 如果如果Y比比X有较高的方差，有较高的方

35、差，Y和和X具有相同的均值具有相同的均值 单交叉，二阶随机占优单交叉，二阶随机占优 Y比比X有较高的均值，同时具有较低的方差有较高的均值，同时具有较低的方差 二阶随机占优传递性二阶随机占优传递性 如果证券收益符合正态分布，那么期望均值分析是合如果证券收益符合正态分布，那么期望均值分析是合 理的理的 多目标决策 一般情形下的EV排序与随机优势排序比较 138 多目标决策 139 随机占优决策小结 效用函数不容易确定。如果能找到适合一类具有共同效用函数不容易确定。如果能找到适合一类具有共同 特征的效用函数的决策方式，则决策结果可靠性更高特征的效用函数的决策方式，则决策结果可靠性更高 所有人都偏好一

36、阶占优的选择所有人都偏好一阶占优的选择 具有非减的效用函数具有非减的效用函数 所有厌恶风险的人都偏好二阶占优的选择所有厌恶风险的人都偏好二阶占优的选择 具有非减的凹效用函数具有非减的凹效用函数 如果资产收益为正态分布，那么均值方差分析在金融如果资产收益为正态分布，那么均值方差分析在金融 中的应用具有合理性中的应用具有合理性 通过二阶随机占优来说明通过二阶随机占优来说明 多目标决策 Review of Lecture 5 140 多目标决策 内容结构图 141 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计

37、算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 内容结构图 142 决策分析基本概念与方法 效用简介 概率简介 价值函数 期望效用理论 风险厌恶 随机优势 贝叶斯分析 经验Bayes 分析 Bayes 计算 先验信息与先验概率 确定方法 层次Bayes 分析 多准则决策理论与方法 序贯决策理论与方法 第第 一一 部部 分分 第二第二 部分部分 第三第三 部分部分 多目标决策 Outline of Lecture 6 基本概念基本概念 损失函数、风险函数、贝叶斯风险损失函

38、数、风险函数、贝叶斯风险 贝叶斯分析正规型与扩展型贝叶斯分析正规型与扩展型 选择合适的规则（方案）选择合适的规则（方案） 信息的价值信息的价值 设计“经济”的信息收集方式设计“经济”的信息收集方式 案例研究案例研究 Claxton, K., Neumann, PJ., et al. Bayesian value of information analysis： An Application to a Policy Model of Alzheimers Disease. International Journal of Technology Assessment in Health Care,

39、17:1(2001), 3855. 143 多目标决策 144 1 基本概念基本概念 多目标决策 损失函数 145 多目标决策 常用的损失函数形式 平方损失平方损失 线性损失线性损失 0-1损失损失 146 多目标决策 147 147 决策规则决策规则 决策规则决策规则 从补充信息值从补充信息值X 的集合到行动方案集合的集合到行动方案集合A的单值对应的单值对应 称为决策规则。记作：称为决策规则。记作： 随机化决策规则随机化决策规则 ( )ax E.g., 若某个决策问题有若某个决策问题有m个行动方案，有个行动方案，有n个补充信息值个补充信息值 ，则至多有，则至多有mn个决策规则。个决策规则。

40、多目标决策 148 148 风险函数 风险函数风险函数R R( (,) )：损失值损失值l( ( (x x) ), ) )对所有补充信息对所有补充信息 值的值的x x数学期望数学期望。 风险函数是在状态值风险函数是在状态值下，决策规则下，决策规则对全部补充信息对全部补充信息 值的平均损失。值的平均损失。 * | ,(), or ,(), XX RElXRElX 多目标决策 149 149 贝叶斯风险 贝叶斯风险贝叶斯风险 r( () ) 对决策法则对决策法则，风险函数，风险函数r( (,) )对状态对状态的数学期望，的数学期望， 称为决策法则称为决策法则的贝叶斯风险。的贝叶斯风险。 贝叶斯风险

41、贝叶斯风险r( () )是一个常数，表示决策法则是一个常数，表示决策法则，对一，对一 切补充信息值和状态值切补充信息值和状态值的平均损失值。的平均损失值。 ,rE R 多目标决策 150 贝叶斯似然矩阵/函数(likelihood matrix function) 11121 21222 12 (|)(|)(|) (|)(|)(|) (|)(|).(|) n n mmmn p Xp Xp X p Xp Xp X p Xp Xp X 多目标决策 151 贝叶斯决策规则 风险函数，贝叶斯风险和贝叶斯规则风险函数，贝叶斯风险和贝叶斯规则 :( , ()( , ( ) ( | ) : ( , ()(

42、, () ( ) ( ,()min ( , () S opt RXlxf xdx rXRXd rXrX 风险函数 贝叶斯风险 Bayes 决策规则 在给定状态下 所有状态下平均 多目标决策 例3.4 多目标决策 153 2 贝叶斯分析正规型和扩展型贝叶斯分析正规型和扩展型 多目标决策 154 两类问题两类问题 决策人面临的两个问题：决策人面临的两个问题： 如何选择最佳的决策规则？如何选择最佳的决策规则？ 如何进行试验获得更多的信息，以便修正先验分布并如何进行试验获得更多的信息，以便修正先验分布并 得到后验分布得到后验分布? 进行这样的试验是否值得进行这样的试验是否值得? 决策准则的问题决策准则

43、的问题 计算信息的价值，进行成本收益分析计算信息的价值，进行成本收益分析 多目标决策 贝叶斯准则(Bayes Criterion) 11121 21222 12 (|)(|)(|) (|)(|)(|) (|)(|).(|) n n mmmn p Xp Xp X p Xp Xp X p Xp Xp X 多目标决策 其他准则 最小最大原则最小最大原则(Minmax criterion) 容许性容许性(admissibility) 多目标决策 157 例例4.5 多目标决策 158 贝叶斯决策分析正规型(Normal form of analysis) 贝叶斯决策准则：如果行动规则 的贝叶斯风险小于

44、 行动规则 在同样先验分布 下的贝叶斯风险值， 即 ，则定义行动规则 优于行动规则 最优决策就是贝叶斯风险最小的决策 贝叶斯分析的正规型：选择一个行动规则，使其贝叶 斯风险最小 1 1 2 2 ( ) 12 ( ,)( ,)rr * ( ,)min ( , )rr 多目标决策 随机化行动对贝叶斯决策规则的影响 * * * min ( ,)( ,( , ) ( | ) ( ) ( , )( , )( | ) ( ) ,( , )( , )( | ) ( ) X XA a A X rlx Af xddx lax A da f xddx orlax Af xddx 令 *minmin ( ) ( , )( ,),arg min ( , ) a A x x Ax aala *min ( , )( ,)( | ) ( ) a A X lax af xddx * ( , )( , )( | ) ( ) a A X lax Af xddx 多目标决策 随机化行动对贝叶斯规则的影响 * * * min ( ,)( ,( , ) ( | ) ( ) ( , )( , )( | ) ( ) ,( , )( , )( | ) ( ) X XA a A X rlx Af xddx lax A da f xddx orlax Af xddx 令 *minmin ( ) ( , )( ,),arg min