1、2020 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 1. 若实数x满足()() 248 loglog2log4xxx=+，则x = 2. 在平面直角坐标系xOy中，圆经过点(0,0),(2, 4),(3,3)，则圆上的点 到原点的距离的最大值为 3. 设集合1,2,20X =，A是X的子集，A的元素个数至少是 2，且A的 所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为 4. 在三角形ABC中，4,5,6BCCAAB，则 66 sincos 22 AA = 5. 设 9 元集合 i,1,2,3Aab a b=+，i 是虚数单位() 129 ,z zz=是 A
2、中所有元素的一个排列，满足 129 zzz，则这样的排列的个数 为 6. 已知一个正三棱柱的各条棱长均为 3，则其外接球的体积为 7. 在凸四边形ABCD中，2BCAD 点P是四边形ABCD所在平面上一点， 满足202020200PAPBPCPD 设, s t分别为四边形ABCD与PAB的面积， 则 t s 8. 已知首项系数为 1 的五次多项式( )f x满足：( )8 ,1, 2,5f nn n=，则 ( )f x的一次项系数为 9.（本题满分（本题满分 16 分）分） 在椭圆中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个 端点， 12 ,F F为两个焦点若 1212 0AF AFBF BF，求
3、12 tantanABFABF的 值 10. （本题满分（本题满分 20 分）分）设正实数, ,a b c满足 222 494122abcbc+=+，求 123 abc +的最小值 11. （本题满分（本题满分 20 分）分）设数列 n a的通项公式为 11515 ,1,2, 225 nn n an 证明：存在无穷多个正整数m，使得 4 1 mm aa是完全平方数 2020 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷） 一、 （本题满分一、 （本题满分 40 分）分） 如图，,A B C D E是圆上顺次的五点，满足 ABCBCDCDE，点,P Q分别在线段,AD
4、 BE上，且P在线段CQ上证明： PAQPEQ 二、 （本题满分二、 （本题满分 40 分）分）设集合1, 2,19A=是否存在集合A的非空子集 12 ,SS，满足 （1） 12 SS， 12 SSA； （2） 12 ,SS都至少有 4 个元素； （3） 1 S的所有元素的和等于 2 S的所有元素的乘积？ 证明你的结论 P E D C A B Q 三、 （本题满分 5三、 （本题满分 50 分）分） 给定整数2n设 1212 ,0 nn a aab bb，满 足 1212nn aaabbb， 且对任意,(1)i jijn，均有 ijij aabb求 12n aaa的最小值 四、 （本题满分 5四、 （本题满分 50 分）分）设, a b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使 得 9 (mod13) nn abC对任意正整数n成立 求所有满足条件的有序数对( , )a b
