1、23.3 23.3 相似三角形相似三角形23.3.4 23.3.4 相似三角形的应用相似三角形的应用知识点知识点利用相似测量物体的高度利用相似测量物体的高度11.利用影长测量物体的高度利用影长测量物体的高度(1)测量测量原理：同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影原理：同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例长成比例.要确保被测物体的底部能够到达要确保被测物体的底部能够到达.(2)测量方法测量方法：在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的：在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影影长长、待测物体的影长和测量者的身高，利用、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形相似三角形的的性质计算待测物体的
2、性质计算待测物体的高度高度.(如如图图23.3-32)特别提醒特别提醒由于影长可能由于影长可能随着太阳随着太阳的运动而的运动而变化，变化，因此要因此要在同一时刻在同一时刻测量测量者测量测量者与被测物体的影长与被测物体的影长.2.利用利用直尺或标杆测量物体的高度直尺或标杆测量物体的高度(1)测量测量原理：用直尺或标杆的原理：用直尺或标杆的长长(高高)作为作为三角形的边，三角形的边，利用视点利用视点和盲区构造相似三角形和盲区构造相似三角形.(2)测量方法测量方法：借助：借助直尺直尺或或标杆测量物体标杆测量物体高度高度的的方法如图方法如图23.3-33.特别提醒特别提醒使用这种方法时使用这种方法时，
3、观测，观测者的眼睛、标杆者的眼睛、标杆顶端顶端和被测和被测物体顶端物体顶端必须必须“三点共线三点共线”，观测，观测者的者的眼睛、直尺眼睛、直尺顶顶(底底)端端和被测物体和被测物体顶顶(底底)端端必须必须“三点共线三点共线”，标杆，标杆或直尺与或直尺与地面要地面要垂直垂直，被测物体底部，被测物体底部必须可必须可到达到达.3.利用利用镜子的反射测量物体的高度镜子的反射测量物体的高度(1)测量测量原理：利用镜子的反射，根据反射角等于入射角原理：利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的的原理原理构造相似三角形构造相似三角形.(2)测量方法测量方法：测：测 出观测者站立点出观测者站立点与镜面与镜面标记点的
4、距离、标记点的距离、待测物体待测物体底部底部与镜面标记点的距离与镜面标记点的距离以及以及观测者观测者眼睛距地面的高度，利用眼睛距地面的高度，利用相似相似三角形三角形的性质计算待测物体的的性质计算待测物体的高度高度.(如如图图23.3-34)特别提醒特别提醒测量测量时被测物体与时被测物体与人之间人之间不能有障碍物不能有障碍物，且，且镜子要水平镜子要水平放置放置.利用利用物理学中的物理学中的“反射角等于入射角反射角等于入射角”及及数学中数学中的的“等等角的余角角的余角相等相等”的知识可以知道的知识可以知道，反射，反射光线和入射光线和入射光光线与线与镜面的夹角相等镜面的夹角相等.例 1数学兴趣小组通
5、过测量旗杆的影长来数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆求旗杆的高度，的高度，他们在某一时刻测得高为他们在某一时刻测得高为2米米的标杆影长为的标杆影长为1.2米，此米，此时时旗杆影长为旗杆影长为7.2米米，则旗杆的高度，则旗杆的高度为为_米米.解题秘方解题秘方：用用“在同一时刻太阳光下物体的高度在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成与影长成比例比例”求解求解.12解：解：设该旗杆的高度是设该旗杆的高度是x 米，米，根据题意，得根据题意，得2 1.2x 7.2，解得，解得x12，即该旗杆的高度是即该旗杆的高度是12 米米.1-1.在在某一时刻，测某一时刻，测得一得一根高为根高为1.8 m 的竹竿的
6、竹竿的影的影长为长为3 m，同时测得同时测得一栋一栋楼的影长为楼的影长为90 m，这栋这栋楼的高度是多少？楼的高度是多少？如图如图23.3-35，小明同学用自制的直角三角形纸板，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量测量树的高度树的高度AB，他调整自己的位置，他调整自己的位置，设法使设法使斜边斜边DF保持水平保持水平，并且边，并且边DE与与点点B在在同一直线上同一直线上.已已知纸板的两条直角边知纸板的两条直角边DE40 cm，EF20 cm，测测得边得边DF离地面的高度离地面的高度AC1.5 m，CD8 m，则，则树高树高AB_m.5.5例 2解题秘方解题秘方：解本题的关键是找出相似三角形，
7、然后根据解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对对应边应边的比相等列出方程求解的比相等列出方程求解.2-1.如如图，某校数学图，某校数学兴趣兴趣小组利用自制的小组利用自制的直角三角形直角三角形硬纸硬纸板板DEF来测量来测量操场旗杆操场旗杆AB的高度的高度，他们通过调整，他们通过调整测量测量位置位置，使斜边使斜边DF与地面与地面保持平行，并使保持平行，并使直角边直角边DE与与旗杆顶端旗杆顶端A在同在同一直线上一直线上.已知已知DE0.5m，EF0.25m，测，测得点得点D到地面到地面的距离的距离DG1.5 m，到，到旗杆旗杆的水平距的水平距离离DC20 m，则，则旗杆的高度旗杆的高度为为_.11
8、.5 m例 3如图如图23.3-36是是一位同学设计的用手电筒一位同学设计的用手电筒来测量来测量某古某古城墙高度的示意图，在点城墙高度的示意图，在点P处处水平放一平面镜，光线水平放一平面镜，光线从点从点A出发出发经平面镜反射后刚好照到古城墙经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的的顶顶端端C处处，已知已知ABBD，CDBD，测测得得AB2 米，米，BP3 米米，PD12 米，求该米，求该古城古城墙墙CD的的高度高度.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“利用镜子的反射测量物体的高利用镜子的反射测量物体的高度的原理度的原理”判定判定两个三角形相似解决问题两个三角形相似解决问题.3-1.如如图，小明为图，小明为测
9、量学校测量学校旗杆旗杆AB的的高度高度，在，在E处处放置一放置一面镜子面镜子，然，然后退到后退到C处处站立站立，刚好，刚好从镜子中看到从镜子中看到旗杆旗杆的的顶部顶部B.已知小明的已知小明的眼睛眼睛D离离地面的地面的高度高度CD1.5 m，他与镜子的，他与镜子的水平距离水平距离CE0.5 m，镜子与，镜子与旗杆的旗杆的底部底部A处的距离处的距离AE2 m，且，且A，E，C三三点在同一点在同一水平水平直线上直线上，则旗杆则旗杆AB的高度为的高度为_.6 m知识点知识点利用相似测量宽度利用相似测量宽度21.测量测量原理原理测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造测量不能直接到达的两点间的距离，常常
10、构造相似相似三角形三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.2.常见常见的测量方式的测量方式(1)构造构造“A”型相似，如图型相似，如图23.3-37.(2)构造构造“X”型相似，如图型相似，如图23.3-38.特别解读特别解读利用相似三角形利用相似三角形测量高度测量高度、宽度等的、宽度等的一般步骤一般步骤：1.利用标杆等构造利用标杆等构造相似三角形相似三角形；2.测量与表示未知量测量与表示未知量的线段的线段相对应的线段相对应的线段，以及，以及另外任意另外任意一组一组对应对应边的长度；边的长度；3.画出示意图，利用画出示意图，利用相似三角形相似三角形的
11、性质，的性质，列出列出以上包括以上包括未未知量在内知量在内的四个量的的四个量的比例式比例式，解出未知量；，解出未知量；4.检验并得出答案检验并得出答案.如如图图23.3-39，我们想要测量河两岸相对，我们想要测量河两岸相对的两点的两点A，B 之间的之间的距离距离(即即河河宽宽).方案：先方案：先从从B点点出发向出发向与与AB成成90角的方向走角的方向走 50 m到到O处处立一标杆，然后方向不立一标杆，然后方向不变，继续向前变，继续向前走走10 m到到C处处，在在C处向处向右转右转 90，沿沿CD方向方向再走再走 17 m到到D处，处，使得点使得点A，O，D在在同一条直线同一条直线上上.那么那么
12、点点A，B之间之间的距离是多少？的距离是多少？例 4解题秘方解题秘方：根据测量过程中的数据建立根据测量过程中的数据建立几何几何(相似三角形相似三角形)模型，利用模型，利用相似三角形对应边成相似三角形对应边成比例求解比例求解.4-1.如如图，身高为图，身高为 1.6 m的小李的小李AB站在河的一岸站在河的一岸，利用树，利用树的倒影去的倒影去测对岸测对岸一棵一棵树树CD的的高度高度，CD的倒影是的倒影是CD，点点B，E，D在同在同一一水平线水平线上，上，且且A，E，C在一条视线上在一条视线上，河，河宽宽BD12 m，且且BE2 m，求，求树树CD的的高度高度.相似三角形的应用相似三角形的应用相似三相似三角形的角形的应用应用工具工具测量高度测量高度测量宽度测量宽度标杆或直尺标杆或直尺平面镜平面镜光线光线
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