1、23.3 23.3 相似三角形相似三角形第第2323章章 图形图形的相似的相似23.3.2 23.3.2 相似三角形的判定相似三角形的判定知识点知识点由角的关系判定三角形相似由角的关系判定三角形相似知知1 1讲讲11.相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理1 两两角分别相等的两个三角形角分别相等的两个三角形相似相似.特别地，两个直角三角形，若特别地，两个直角三角形，若有有一对一对锐角相等，则它们锐角相等，则它们一定一定相似相似.数学数学语言：如图语言：如图 23.3-9，在在ABC和和 DEF 中，中，AD，且，且BE，ABCDEF.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒由两组角分别由两组角分别相等
2、相等判定两个三角形判定两个三角形相似相似，其关键是，其关键是找准找准对应角对应角.一般地，相等的一般地，相等的角是角是对应角如：对应角如：公共角公共角、对顶角、同对顶角、同角角(等角等角)的余角的余角(补角补角)等都是等都是相等的角，解题相等的角，解题时要时要注意挖掘题目中的注意挖掘题目中的隐含隐含条件条件.知知1 1讲讲2.常见常见的相似三角形的类型的相似三角形的类型(1)平行平行线型：如图线型：如图23.3-10，若，若 DEBC，则，则ADEABC.(2)斜交线斜交线型：型：如图如图23.3-10，若，若 AEDB，则则AEDABC.知知1 1讲讲(3)子子母型：如图母型：如图 23.3
3、-10，若若ACDB，则，则ACD ABC.(4)“K”型：如图型：如图 23.3-10，若，若ADBCE90，则，则ACBDEC，整体像一个横放的，整体像一个横放的字母字母K，所以称为所以称为“K”型型相似相似.知知1 1练练例 1如如图图23.3-11，在，在ABC中中，AD是是BAC的的平分线平分线，AD的的垂直平分线垂直平分线交交AD于点于点E，交交BC的的延长线于延长线于点点F.求证求证：ABFCAF.知知1 1练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“两角分别相等的两角分别相等的两个两个三角形相三角形相似似”证明，由于证明，由于BFA是公共是公共角，因此只需利用角，因此只需利用图形的相关性质
4、图形的相关性质说明说明B4即即可证明可证明.知知1 1练练证明：证明：EF垂直平分垂直平分AD，AFDF.FAD3.又又B31，4FAD2，12，B4.又又BFAAFC，ABFCAF.知知1 1练练1-1.如图如图，在在RtABC中中，ABC90，E是边是边AC上上一点，且一点，且BEBC，过点过点A作作BE的垂线的垂线，交，交 BE的延长的延长线于点线于点D.求证：求证：ADEABC.知知1 1练练证明：证明：BEBC，CBEC.又又BECAED，AEDC.ADBD，D90.又又ABC90，DABC.ADEABC.知知2 2讲讲知识点知识点由边角关系判定三角形相似由边角关系判定三角形相似2知
5、知2 2讲讲特别提醒特别提醒运用该定理证明运用该定理证明相似相似时，一定要注意时，一定要注意边角的边角的关系，相关系，相等的角等的角一定是一定是成比例的两组对应成比例的两组对应边的边的夹角夹角.类似于判定类似于判定三三角形角形全等的全等的 SAS 方法方法.知知2 2练练如如图图23.3-13，在，在正方形正方形ABCD中中，P是是BC上上一点，且一点，且BP3PC，Q是是CD的中点的中点.求证：求证：ADQQCP.例 2解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“两边成比例且夹两边成比例且夹角相等的两个三角形相似角相等的两个三角形相似”证明证明.知知2 2练练知知2 2练练2-1.如如图，在图，在ABC中，
6、中，D，E分别在分别在AB与与AC上上，且且AD5，DB7，AE6，EC4.求证：求证：ADEACB.知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点由三边关系判定三角形相似由三边关系判定三角形相似3知知3 3讲讲特别提醒特别提醒由由三边成比例判定三边成比例判定两三角形两三角形相似的方法相似的方法与三与三边对应相等边对应相等判定判定三角形三角形全等的方法全等的方法类似类似，只需把三边，只需把三边对应相等对应相等改为改为三边成三边成比例即比例即可可.应用应用时要注意比的时要注意比的顺序性顺序性，即分子为同一个，即分子为同一个三角形三角形的三的三边，分母为边，分母为另一另一个三角形的三边，个三角形的三边，
7、同时同时要注意边的对应要注意边的对应情况情况.知知3 3练练图图23.3-15与图与图23.3-16中小中小正方形的正方形的边长边长均为均为 1，则，则图图23.3-16中中的哪一个的哪一个三角形三角形(阴影部分阴影部分)与图与图23.3-15中中的的ABC相似相似？例 3知知3 3练练解题秘方解题秘方：利用利用网格的特征用勾股定理求各边网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣的长，紧扣“三边三边成比例的两个三角形相似成比例的两个三角形相似”判断判断.知知3 3练练知知3 3练练知知3 3练练3-1.如图如图，在在44的正方形网格的正方形网格中，中，ABC和和DEF的的顶顶点都在点都在边长为边长为1的的小正方形的小正方形的顶点顶点上上.(1)填空填空：ABC_，AC_.135知知3 3练练(2)ABC与与DEF是否相似是否相似？证明你？证明你的结论的结论.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角相似三角形的判定形的判定条件条件两角分别相等两角分别相等两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等三边成比例三边成比例
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