2021年中考数学复习练习课件：§3.4　二次函数.pptx

1、 中考数学 3.4 二次函数 考点一 二次函数的图象与性质 1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 答案答案 B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B. 2.(2019甘肃兰州,11,4分)已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是( ) A.2y1y2 B.2y2y1 C.y1y22 D.y2y12 答案答案 A 由y=-(x+1)2+

2、2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧,y随x的增 大而减小,又1y1y2,故选A. 3.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D.y的最小值为-9 答案答案 D 图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错; 当x=0时,y=-8, 图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错; y=x2+2x-8=(x+4)(x-2), 图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错; y=

3、x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20, (x+1)2-9-9, y的最小值为-9,故D正确. 2 2 4.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-1 3=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m

4、-3)2+40. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2 -1 - 2 m x 2 -6 -13 4 mm 2 -1 -6 -13 , 24 mmm -1 2 m 2 -6 -13 4 mm -1 2 m 5.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对 称,则符合条件的m、n的值分别为( ) A.,- B.5,-6 C.-1,6 D.1,-2 5 7 18 7 答案答案 D 若两条抛物线关于y轴对称,则两条抛物线的对称轴关于y轴对称,两条抛物线与y轴交于同一 点,由

5、解得故选D. 2 -13 -0, 22 2 -4, mmn nm 1, -2, m n 6.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方 形有公共点,则实数a的取值范围是( ) A.a3 B.a1 C.a3 D.a1 1 9 1 9 1 3 1 3 答案答案 A 当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=,由图象可知a3,故选A. 1 9 1 9 7.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下 表: x

6、 -2 -1 0 1 2 y m 0 -3 n -3 (1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ; (2)求抛物线的表达式及m,n的值; (3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P,描出相应的点P,再把相应的点 P用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线; (4)设直线y=m(m-2)与抛物线及(3)中的点P所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请 根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系: . 解析解析 (1)上;直线x=1. 详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上. 由题表

7、可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=1. (2)由题表可知抛物线过点(0,-3). y=ax2+bx-3. 将(-1,0),(2,-3)代入, 得解得 y=x2-2x-3. 当x=-2时,m=(-2)2-2(-2)-3=5; 当x=1时,n=12-21-3=-4. (3)如图1所示,点P所在曲线是抛物线. 详解:设P(x,y),P(x,y),P是OP的中点,x=2x,y=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-22x-3,即 02 2 - -30, 42 -3-3. a b ab 1, -2. a b y=2x2-2x-,为

8、点P所在曲线的表达式,点P所在曲线是抛物线. (4)A3A4-A1A2=1. 详解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1) =x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4,x1+x4=2,令y=2x2-2x-=m,可得2 x2-2x-m=0,它对应的两个根应为x2,x3,x2+x3=1,A3A4-A1A2=2-1=1. 3 2 3 2 3 2 8.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2

9、+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标. 解析解析 (1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴, -=0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2.(2分) 当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意. k=-3.(4分) (2)点P到y轴的距离为2, 点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x

10、+3k上,且由(1)知k=-3, 当x=2时,y=-5; 当x=-2时,y=-5.(6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分) 2 -6 2 kk 易错警示易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离 为|x|,二者容易混淆,从而导致失分. 2 b a 考点二 系数a、b、c的作用 1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1, m)在抛物线上,则下列结论中错误的是( ) A.ab时,y10,根据对称轴在y

11、轴右侧可知-0,b0,所以ab0,A选项结论正 确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次 方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,B选项结论正确;易知x=-=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,- 2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=,C选项结论正确;易证当t=时,y1= y2;当ty2,当t时,点P2距离对称轴较远,y10. 抛物线的对称轴x=-在y轴右侧,-0,而a0,b0. 当a0,b0时,反比例函数y=的图象经过第 一、三象限,故选D. 2 b a2 b

12、 a c x 3.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表: x -2 -1 0 1 2 y=ax2+bx+c t m -2 -2 n 且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数图象的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的 对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t(a0)的两个根,正确.对称轴为直线x=,-= ,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称

13、轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx +c(a0)的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,又当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4 ,错误.故选C. 01 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 2 8 3 20 3 考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时, 对应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为( ) A.

14、0 B.-1 C.- D.- 1 2 1 4 答案答案 D 依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴. -(a+2)=0,解得a=-2. 方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2, x1 x2=-,故选D. 1 4 解题关键解题关键 明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键. 2.(2020贵州贵阳,10,3分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m =0(m0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3, 当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有

15、两个根,其中一个根是3. 则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下, 设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3, 由对称性得点A的横坐标是-5, 如图所示. 设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐标为x1,点D的横坐标为x2, a0,-5x1-3,1x23, 关于x的方程ax2+bx+c=-n(0nm)有两个整数根,这两个整数根是-4或2,故选B. 3.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=x+上,若抛物线y= ax2-x+1(a0)与线段AB有两

16、个不同的交点,则a的取值范围是( ) A.a-2 B.a C.1a或a-2 D.-2a0,解 得a.若抛物线与线段AB有两个不同的交点,则当a0时, 解得a1,1a.综上所述,1a或a-2,故选C. 1 2 1 2 3 2 1 2 2 3 - 2 1 2 9 8 1 10, -1 1 1, a a 1 10, -1 1 1, a a 9 8 9 8 4.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线 上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为 ( ) A.3 B

17、.1+ C.4 D.2 1 4 1 2 55 答案答案 D 在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2,C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0,解得x=-2或4,A(-2,0). CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则-x2+x+2=2,解得x=0或2,D(2,2).设直线 AD的解析式为y=kx+b(k0),将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得解得直线AD的解析式为 y=x+1,令y=x+1中的x=0,则y=1,E(0,1).令-x2+x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1,所以PQ=(1+)- (1-)=2,故选D. 1 4 1 2 1 4 1

18、 2 1 4 1 2 -20, 22, kb kb 1 , 2 1, k b 1 2 1 2 1 4 1 2 55 55 思路分析思路分析 根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的交点A,与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点 D的纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待定系 数法求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q 的横坐标,进而可求出PQ的长. 5.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有 下

19、列结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b0.a0.把(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a+3,a=b-3. -3a0,0b3.-3a+b3. n的最小值为4. 7.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 . 答案答案 k-1 解析解析 若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1. 8.(2019湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x

20、-1)2+c=b- bx的解是 . 答案答案 x1=-2,x2=5 解析解析 解法一:将方程整理可得a(x-1)2+b(x-1)+c=0,它的解是函数y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象与x轴交点的 横坐标,而y=a(x-1)2+b(x-1)+c的图象可以看作由函数y=ax2+bx+c的图象向右平移一个单位长度得到,所以 将函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点也向右平移一个单位长度,为(-2,0)和(5,0).所以方程的解为x1=-2,x2 =5. 解法二:依题意,得解得 所以关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可化为a(x-1)2-12a=-a+ax,即(x-1)2-

21、12=-1+x, 化简得x2-3x-10=0, 解得x1=-2,x2=5. 9 -30, 1640, a bc abc - , -12 . ba ca 考点一 二次函数的图象与性质 教师丏用题组 1.(2019浙江温州,9,4分)已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1x3的取值范围内,下列说法正确的 是( ) A.有最大值-1,有最小值-2 B.有最大值0,有最小值-1 C.有最大值7,有最小值-1 D.有最大值7,有最小值-2 答案答案 D y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1x3). 由图象可知当x=2时,y取得最小值-2,当x=-1时,y取得最大值7.故选D. 2.(20

22、18陕西,10,3分)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案答案 C 当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-=-0,= =0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C. 2 b a 2 -1 2 a a 2 4- 4 ac b a 2 4 ( -3)-(2 -1) 4 a aa a -8 -1 4 a a 3.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或

23、2 D.-1或2 答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,在axa+1时,y随x的增大而增大,函数的最小值为a2-2a+1,则a2-2 a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,在axa+1时,y随x的增大而减小,函数的最小值为(a+ 1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a1时,函数y=x2-2x+1在x=1处取得最小值,最小值为0, 不合题意.综上,a的值为-1或2,故选D. 4.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为( ) A.y=3(x-3)2-3 B

24、.y=3x2 C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6 答案答案 A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.选A. 5.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-4ax-5(a0)的三个结论:对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2 -m对应的函数值相等;若3x4,对应的y的整数值有4个,则-a-1或1a;若抛物线与x轴交 于不同两点A,B,且AB6,则a0,当3x4时,-3a-5y-5, 当3x4时,对应的y的整数值有4个, -9-3a-5-8,1a. 若a0,当3x4时,-5y-3a-5, 当3x4时,对应的y的整数值有4个, -2-3a-5

25、-1,-0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B, 得=16a2+20a0,即a(4a+5)0,可得a0. AB6,抛物线对称轴为直线x=2, 当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,a1. 若a0,即a(4a+5)0,可得a-. AB6,抛物线对称轴为直线x=2, 当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,解得a1. a-. 综上所述,当a0和a0.然后根据AB6,可得当x=5时函数值y满足的条件,得 出a的取值范围,进而可知正确. -4 2 a a 6.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是( ) A.若将图象向上平移10个单位

26、,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5 B.当x=12时,y有最小值a-9 C.x=2对应的函数值比最小值大7 D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点 1 4 答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9, 将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1, 当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确. 当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确. 当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16, a+16-(a-9)=25,故C中说法错误. =(-6)2-4(a+27

27、)=36-a-27=9-a, 当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 7.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交 于点B,连接AB,将RtOAB向右上方平移,得到RtOAB,且点O,A落在抛物线的对称轴上,点B落在抛 物线上,则直线AB的表达式为( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=x+ D.y=x+2 1 2 答案答案 B 令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得

28、直线AB的表达式为y= x-3.将RtOAB向右上方平移得到RtOAB,且点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,点B的横坐标 为4,代入抛物线表达式可得B(4,5).ABAB,可设直线AB的表达式为y=x+b,将点B(4,5)代入可得b= 1,直线AB的表达式为y=x+1,故选B. 思路分析思路分析 首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以 向右上方平移后OBx轴,ABAB,又点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B的横坐标为4,从 而可求点B的坐标,将点B的坐标代入所设的直线AB的表达式中即可得解. 8.(2019安徽,14,5分)在平面直

29、角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交 于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 . 答案答案 a1或a-1 解析解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0), 与y轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a, 可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10, 可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且P,Q都在x轴的下方, 令y

30、=x-a+10,解得xa-1. 令y=x2-2ax0时,解得0x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1; 当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1. -1, 02 xa xa -1, 20 xa ax 难点突破难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口. 9.(2019浙江温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在 点B的左侧). (1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y0时x的取值范围; (2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象

31、上的点B2重合;若点B1 向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m0,n0,求m,n的值. 1 2 解析解析 (1)令y=0,则-x2+2x+6=0, x1=-2,x2=6, A(-2,0),B(6,0). 由函数图象得,当y0时,-2x6. (2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m), 函数图象的对称轴为直线x=2. 点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同, =2,n=1, m=-(-1)2+2(-1)+6=, m,n的值分别为,1. 1 2 -26 2 6-(- ) 2 nn 1 2 7 2 7 2 考点二 系数a、b、c的作用 1.(2

32、020天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0,c1)经过点(2,0),其对称轴是直线x=.有下 列结论: abc0; 关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根; a-. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 1 2 答案答案 C 抛物线的对称轴是直线x=,即-=, -=1,a+b=0,ab0. ab1,abc0, 方程有两个不等的实数根,正确; c1,c=-2a1,a0;b2-4ac0;8a+c0,正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案答案 B 根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a0.又抛物

33、线的对称轴是直线x=-=1, b=-2a0,abc0,故正确.观察题图发现当x=- 2时,y=4a-2b+c0.又b=-2a,8a+c0,当x=-1时,y=a-b +c0,两式相加,得5a+b+2c0,故正确.故选B. 2 b a 3.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示, 则一次函数y=x-b的图象可能是( ) c x c a 答案答案 B 由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x- b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B. c a c a 4.(2019四川成都,1

34、0,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1 时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选 D. 15 2 5.(2017四川成都,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确 的是( ) A.abc0 B.abc0,b2-4ac0 C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac0,又对称轴在y轴右侧,所以-0,所以b

35、0,因为抛物线与y轴 交于负半轴,所以c0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,故选B. 2 b a 思路分析思路分析 本题考查二次函数的图象与系数的关系,从抛物线的开口方向,对称轴,以及与y轴的交点位 置来判断a,b,c的符号,由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号. 6.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a 经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析

36、解析 (1)将x=0代入y=4x+4,得y=4,B(0,4). 将点B向右平移5个单位长度得到点C, C(5,4). (2)将y=0代入y=4x+4,得x=-1, A(-1,0). 将(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a, 抛物线的对称轴为直线x=-=-=1. (3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的 对称点(3,0).由(2)得y=ax2-2ax-3a. a0时,如图1. 2 b a -2 2 a a 图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4, a. a4, a-

37、. 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3. 4 3 图3 将(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a或a-或a=-1. 1 3 4 3 考点三 二次函数与方程、不等式之间的关系 1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 答案答案 D 直线y=x+a不经过第二象限,a0. 当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解; 当a0,方程有两个解. 故方程有1个解或2个解.故选D. 易错警示易错警示 本题易将a=0的情况漏掉

38、,从而错选C. 2.(2019山东潍坊,12,3分)抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为 实数)在-1x4的范围内有实数根,则t的取值范围是( ) A.2t11 B.t2 C.6t11 D.2t6 答案答案 A 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1, b=-2,y=x2-2x+3, 一元二次方程x2+2x+3-t=0有实数根可以看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点, 对于y=x2-2x+3, 当x=-1时,y=6, 当x=4时,y=11, 函数y=x2-2x+3在x=1时取最小值2, 2t11.故选A. 思路分析思路

39、分析 根据所给的抛物线的对称轴求出函数解析式为y=x2-2x+3,将一元二次方程x2+2x+3-t=0有实 数根看作y=x2-2x+3的图象与直线y=t有交点,再由-1x0.一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上 平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+ 2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c (即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3

40、)经过点A(3,0)时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当28 B.b-8 C.b8 D.b-8 答案答案 D 由题意可得,y=x2的图象经过两次平移后得到y=(x-3)2-1的图象.将代入得,x2 -8x+8-b=0.因为抛物线与直线有公共点,所以=(-8)2-4(8-b)=4b+320,所以b-8,故选D. 2 ( -3) -1, 2, yx yxb 5.(2020湖北武汉,15,3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论: 一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4; 若点C(-5,y1),D(,y2)

41、在该抛物线上,则y10)的根为整数,则p的值只有两个. 其中正确的结论是 (填写序号). 答案答案 解析解析 点A、B是抛物线与x轴的交点,ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4,故对;由A、B两点可知抛物线 的对称轴方程是x=-1,则(-5,y1)关于抛物线的对称轴的对称点为(3,y1),a-1时,y随x增大而减小,3,y20, 所以直线l与该抛物线总有两个交点. (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交点为C,则C点的坐标为(0,1), 易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1, 所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2, 所以OAB的面

42、积S= OC |x1-x2|=12=. 2 1 2 1 2 22 8.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位 长度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 1 a 11 ,- 2a 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A, 点A的坐标为. 将点A向右平移2个单位长度,得到点B, 点B的坐标为. (2)点B在抛物线上, 4a+2b-=-,即b=-2a.

43、抛物线的对称轴为直线x=1. (3)点A,B,P. 1 a 1 0,- a 1 2,- a 1 2,- a 1 a 1 a 1 0,- a 1 2,- a 11 ,- 2a 当a0时,-0,如图1. 图1 设抛物线上的点C. 当x1时,y随x的增大而减小,yC1). 当x1时,y随x的增大而增大,xD2. 1 a 1 , 2 C y 1 a 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. 当a0时, (i)当-a2,如图2. 图2 设抛物线上的点C. 当x-. 1 2 1 a 1 , 2 C y 1 a 设抛物线上的点D(xD,2)(xD1). 当x1时,y随着x的增大而减小,xD2. 结合函

44、数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. (ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3. 图3 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2). 1 2 1 ,2 2 (iii)当a-时,0-2,如图4. 图4 设抛物线上的点C. 当x-. 设抛物线上的点D(xD,yD), 1 2 1 a 1 , 2 C y 1 a 1 1,- DD xy a 当x1时,y随x的增大而减小,xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 综上所述,a的取值范围为a-. 1 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点

45、P与点A,B纵坐标相等 的关系,进而关注点Q与抛物线的位置关系. 9.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是 该二次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记 W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值. 解析解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y =ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶

46、点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1, 2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分) (2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点 B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4 的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0 m4),所以m=1时,W取最小值7.(12分) 解法二:由(

47、1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线 与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA= m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4). 所以m=1时,W取最小值7.(12分) 2 0 x 2 0 x 2 m 2 0 x 2- 2 m 2- 2 m 2- 2 m 2 2 2- 2 m A组 20182020年模拟基础题组 时间:45分钟 分值:55分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020广西崇左江州一模,10)若A(-4,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=x2+4x-m的图象上的三点,则y1,y2,y3 的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y1y3y2 答案答案 B 由y=x2+4x-m=(x+2)2-m-4可得抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2, A(-4,y1),B(-3,y2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小. -4-3,y2y1. 故y3y1y2.