2021年湖南中考数学复习练习课件：§4.5　特殊的平行四边形.pptx

1、 中考数学 （湖南专用） 4.5 特殊的平行四边形 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 矩形 1.(2020湖南怀化,9,3分)在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,若AOB的面积为2,则矩形ABCD的面积为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案答案 C 四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O, AC=BD,且OA=OB=OC=OD, SADO=SBCO=SCDO=SABO=2, 矩形ABCD的面积为4SABO=8,故选C. 思路分析思路分析 根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD,推出SADO=SCDO=SABO=SBCO=2,即可求出矩形ABCD 的面积.

2、 2.(2020湖南湘西,9,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上,矩形的另一 个顶点D在y轴的正半轴上,矩形的边AB=a,BC=b,DAO=,则点C到x轴的距离等于( ) A.acos +bsin B.acos +bcos C.asin +bcos D.asin +bsin 答案答案 A 作CEy轴于E,如图. 四边形ABCD是矩形,CD=AB=a,AD=BC=b,ADC=90, CDE+ADO=90, AOD=90,DAO+ADO=90, CDE=DAO=, sinDAO=,cosCDE=, OD AD DE CD OD=ADsinDAO=bsin ,

3、DE=CDcosCDE=acos , OE=DE+OD=acos +bsin , 点C到x轴的距离等于acos +bsin . 故选A. 思路分析思路分析 作CEy轴于E,由矩形的性质得出CD=AB=a,AD=BC=b,ADC=90,证出CDE=DAO=, 由三角函数定义得出OD=bsin ,DE=acos ,进而得出答案. 3.(2018湖南常德,15,3分)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知 DGH=30,连接BG,则AGB= . 答案答案 75 解析解析 由折叠的性质可知GE=BE,EGH=ABC=90, EBG=EGB, EGH-EGB=E

4、BC-EBG, 即BGH=GBC, 又ADBC, AGB=GBC, AGB=BGH, DGH=30, AGH=150, AGB=AGH=75. 1 2 思路分析思路分析 由折叠的性质可知GE=BE,EGH=ABC=90,从而可证明EBG=EGB,进而得到BGH =GBC,由平行线的性质可知AGB=GBC,从而易证AGB=BGH,据此可得答案. 4.(2020湖南张家界,16,8分)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于 点E,F. (1)求证:DOEBOF; (2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长. 解析解析 (1)证明:四

5、边形ABCD是矩形, ADBC,DO=BO,EDO=FBO, 又EFBD, EOD=FOB=90, 在DOE和BOF中, DOEBOF(ASA). (2)由(1)可得,EDBF,ED=BF, 四边形BFDE是平行四边形, 在EBO和EDO中, EBOEDO, ED=EB,四边形BFDE是菱形, , , , EDOFBO DOBO EODFOB , 90?, , DOBO EODEOB EOEO 设AE=x,则BE=ED=8-x, 在RtABE中,根据勾股定理可得BE2=AB2+AE2, 即(8-x)2=x2+62,解得x=, BE=8-=,四边形BFDE的周长=4=25. 7 4 7 4 25

6、 4 25 4 5.(2017湖南邵阳,20,8分)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,OBC=OCB. (1)求证:平行四边形ABCD是矩形; (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,OB=OD, OBC=OCB, OB=OC, BD=AC, 平行四边形ABCD是矩形. (2)AB=AD或ACBD,答案不唯一. 理由:四边形ABCD是矩形,AB=AD, 四边形ABCD是正方形. 或四边形ABCD是矩形,ACBD, 四边形ABCD是正方形. 思路分析思路分析 (1)根据平行四边形对角线互相平分可得O

7、A=OC,OB=OD,根据等角对等边可得OB=OC,所以 BD=AC,再根据对角线相等的平行四边形是矩形得证;(2)根据正方形的判定方法添加条件即可. 解题关键解题关键 本题考查了正方形的判定,平行四边形的性质,矩形的判定,熟练掌握特殊四边形的判定方法 与性质是解题的关键. 6.(2019湖南郴州,25,10分)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把ADE沿DE翻折, 点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线 BC于点H. (1)求证:A1DEB1EH; (2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴

8、,若点A1恰好落在直线MN上,试判断DEF的形状,并说明理由; (3)如图3,在(2)的条件下,点G为DEF内一点,且DGF=150,试探究DG,EG,FG的数量关系. 解析解析 (1)证明:由折叠的性质可知DAE=DA1E=90,EBH=EB1H=90,AED=A1ED,BEH= B1EH, DEA1+HEB1=90. 又HEB1+EHB1=90, DEA1=EHB1, A1DEB1EH. (2)DEF是等边三角形.理由如下: 直线MN是矩形ABCD的对称轴,点A1落在直线MN上, 点A1是EF的中点,即A1E=A1F, 在A1DE和A1DF中, A1DEA1DF(SAS), DE=DF,F

9、DA1=EDA1, 11 11 11 , 90?, , DADA DAEDAF AEAF 又ADEA1DE,ADF=90. ADE=EDA1=FDA1=30, EDF=60, DEF是等边三角形. (3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2=GE2.理由如下: 由(2)可知DEF是等边三角形,将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位置,如图, GF=GE,DG=DG,GDG=60, DGG是等边三角形, GG=DG,DGG=60, DGF=150, GGF=90, 在RtGGF中,GG2+GF2=GF2, DG2+GF2=GE2. 思路分析思路分析 (1)由折叠的性质可得DA1E=EB1

10、H=90,AED=A1ED,BEH=B1EH,所以DEA1+ HEB1=90,从而可得DEA1=EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEB1EH; (2)由A1恰好落在直线MN上可知A1为EF的中点,由SAS易证A1DEA1DF,进而可得ADE=EDA1= FDA1=30,所以EDF=60,可证DEF是等边三角形; (3)将DGE绕点D顺时针旋转60到DGF的位置,由旋转将DG,EG,FG集中到GGF中,结合DGG= 60与DGF=150,可得GGF为直角三角形,由勾股定理可得GG2+GF2=GF2,即可证明DG2+GF2=GE2. 考点二 菱形 1.(2017湖南长沙,10,3分

11、)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6 cm、8 cm,则这个菱形的周长 为( ) A.5 cm B.10 cm C.14 cm D.20 cm 答案答案 D 根据菱形的对角线互相垂直平分,可知OA=3 cm,OB=4 cm,且OAOB,在RtAOB中,根据勾 股定理可得AB=5 cm,所以菱形ABCD的边长为5 cm,所以菱形ABCD的周长为45=20 cm. 方法总结方法总结 已知菱形两条对角线的长求菱形的周长时,利用菱形的对角线互相垂直平分,并结合勾股定 理即可求解. 2.(2018湖南湘潭,5,3分)如图,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是

12、( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 答案答案 B 连接AC、BD,交于点O.设AC交FG于点L. 四边形ABCD是菱形, ACBD, 点G,H分别是CD,AD的中点, DH=HA,DG=GC, GHAC,HG=AC. 1 2 同理可得EFAC,EF=AC, GH=EF,GHEF, 四边形EFGH是平行四边形, 同理可证GFBD, OLF=AOB=90, ACGH, HGL=OLF=90, 平行四边形EFGH是矩形. 故选B. 1 2 解题关键解题关键 本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线等知识,解题的 关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解

13、决问题. 3.(2018湖南郴州,19,7分)如图,在ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F, 连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形. 证明证明 在ABCD中,EF为对角线BD的垂直平分线, BO=DO,EDB=FBO, 在DOE和BOF中, , , , EDOFBO ODOB EODFOB DOEBOF(ASA). OE=OF, 又OB=OD, 四边形BFDE是平行四边形, EFBD,四边形BFDE为菱形. 4.(2019湖南湘潭,21,6分)如图,将ABC沿着AC边翻折,得到ADC,且ABCD. (1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2

14、)若AC=16,BC=10,求四边形ABCD的面积. 解析解析 (1)四边形ABCD是菱形. 理由:由翻折得ABCADC, AB=AD,BC=CD,BAC=DAC. ABCD, BAC=DCA, DAC=DCA, AD=DC, AB=AD=BC=CD, 四边形ABCD是菱形. (2)连接BD交AC于点O. 四边形ABCD是菱形, ACBD,AO=CO,BO=DO. 又AC=16,BC=10, CO=8,BO=6, BD=12, S菱形ABCD=1612=96. 22 -BC OC 1 2 考点三 正方形 1.(2019湖南衡阳,12,3分)如图,在直角三角形ABC中,C=90,AC=BC,E是

15、AB的中点,过点E作AC和BC的 垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间 为t,运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为( ) 答案答案 C 在直角三角形ABC中,C=90,AC=BC, ABC是等腰直角三角形, EFBC,EDAC, 四边形EFCD是矩形, E是AB的中点,EFBC,EDAC, EF=AC,DE=BC, EF=ED, 四边形EFCD是正方形. 设正方形EFCD的边长为a,它运动的速度为v, 如图1,当运动的距离小于a时,S=正方形EFCD的面积-EEH的面积=a2-t2; 1

16、2 1 2 2 2 v 图1 当运动的距离大于a且小于2a时,如图2, 图2 S=SACH=(2a-vt)2=t2-2avt+2a2; 当运动的距离等于2a时,S=0. S关于t的函数图象大致为C选项中的图象,故选C. 1 2 2 2 v 思路分析思路分析 根据已知条件得到ABC是等腰直角三角形,推出四边形EFCD是正方形,设正方形EFCD的 边长为a,它运动的速度为v,根据移动的距离小于a,大于a且小于2a及等于2a分别写出S关于t的函数关系 式,根据函数关系式即可得到结论. 2.(2017湖南长沙,12,3分)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的H重合(H不与端点C,D重合),

17、折 痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,CHG的周长为n, 则的值为( ) A. B. C. n m 2 2 1 2 5-1 2 D.随H点位置的变化而变化 答案答案 B 设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a, 设CH=x,DE=y, 则DH=2a-x,EH=AE=2a-y, EHG=90, DHE+CHG=90, DHE+DEH=90, DEH=CHG, 又D=C=90, CHGDEH, =, 即=, CG=,GH= , CG DH CH DE GH EH 2 - CG a x x y2 - GH a y (2 - )xa

18、x y (2 - )xa y y CHG的周长为CH+CG+HG=, 在RtDEH中,DH2+DE2=EH2, 即(2a-x)2+y2=(2a-y)2, 整理得4ax-x2=4ay, CH+CG+HG=4a=n. =,故选B. 2 4-ax x y 2 4-ax x y 4ay y n m 1 2 思路分析思路分析 设正方形ABCD的边长为2a,则正方形的周长m=8a,设CH=x,DE=y,则DH=2a-x,EH=2a-y,然后 利用正方形的性质和折叠的性质证明CHGDEH,利用相似三角形的对应边成比例可以把CG、 HG分别用含a、x、y的式子来表示,CHG的周长也可以用含a、x、y的式子来表

19、示,然后在RtDEH中 用勾股定理可以得到4ax-x2=4ay,进而得到CHG的周长n=4a,最后求得的值. n m 3.(2020湖南常德,15,3分)如图1,已知四边形ABCD是正方形,将DAE,DCF分别沿DE,DF向内折叠得 到图2,此时DA与DC重合(A,C都落在G点),若GF=4,EG=6,则DG的长为 . 答案答案 12 解析解析 设正方形ABCD的边长为x(x0),由翻折可得DG=DA=DC=x, GF=4,EG=6, AE=EG=6,CF=GF=4, BE=x-6,BF=x-4,EF=6+4=10,如图所示: 在RtBEF中,由勾股定理得BE2+BF2=EF2, (x-6)2

20、+(x-4)2=102, x2-12x+36+x2-8x+16=100, x2-10 x-24=0, (x+2)(x-12)=0, x1=-2(舍),x2=12. DG=12. 思路分析思路分析 设正方形ABCD的边长为x(x0),由翻折及已知线段的长,可分别表示出BE、BF及EF的长.在 RtBEF中,由勾股定理得到关于x的方程,解得x的值,即为DG的长. 4.(2020湖南湘西,21,8分)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,连接BE、CE. (1)求证:BAECDE; (2)求AEB的度数. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=CD,BAD=CDA=90,

21、 ADE是等边三角形, AE=DE,EAD=EDA=60, BAE=BAD+EAD=150,CDE=CDA+EDA=150,BAE=CDE, 在BAE和CDE中, BAECDE(SAS). (2)AB=AD,且AD=AE, AB=AE,ABE=AEB, 又BAE=150,由三角形内角和定理可知AEB=(180-150)2=15. , , , ABCD BAECDE AEDE 思路分析思路分析 (1)利用正方形的性质得到AB=CD,BAD=CDA,利用等边三角形的性质得到AE=DE, EAD=EDA=60.由“边角边”即可证明; (2)由AB=AD=AE,得到ABE=AEB,又BAE=90+60

22、=150,所以利用三角形内角和定理即可求解. 5.(2018湖南常德,26,10分)已知正方形ABCD中,AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC 于E,过D作DHAE于H,设直线DH交AC于N. (1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO; (2)如图2,当M在线段OD上时,连接NE,当ENBD时,求证:BM=AB; (3)如图3,当M在线段OD上时,连接NE,当NEEC时,求证:AN2=NC AC. 证明证明 (1)正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, OD=OA,AOM=DON=90, OND+ODN=90, ANH=OND, ANH+ODN=90, D

23、HAE, DHM=90, ANH+OAM=90, ODN=OAM, DONAOM, OM=ON. (2)连接MN, ENBD, ENC=DOC=90,NEC=BDC=45=ACD, EN=CN,同(1)可得,OM=ON, OD=OC,DM=CN=EN, ENDM, 四边形DENM是平行四边形, DNAE, DENM是菱形,DE=EN, EDN=END, ENBD, END=BDN,EDN=BDN. BDC=45,BDN=22.5, AHD=90,AMB=DME=90-BDN=67.5, ABM=45,BAM=67.5=AMB, BM=AB. (3)设CE=a(a0), ENCD, CEN=90

24、, ACD=45, CNE=45=ACD, EN=CE=a, CN=a, 设DE=b(b0), 2 AD=CD=DE+CE=a+b, 根据勾股定理得AC=AD=(a+b), 同(1)可得OAM=ODN, OAD=ODC=45, EDN=DAE, DEN=ADE=90, DENADE, =, =, a=b(负值舍去), CN=a=b,AC=(a+b)=b, 22 DE AD EN DE b ab a b 5-1 2 2 10- 2 2 2 102 2 AN=AC-CN=b, AN2=2b2,AC CN=bb=2b2, AN2=AC CN. 2 102 2 10- 2 2 思路分析思路分析 (1)

25、先判断出OD=OA,AOM=DON,再利用同角的余角相等判断出ODN=OAM,即可证 得DONAOM,进而得出结论. (2)先判断出四边形DENM是菱形,进而得出BDN=22.5,即可判断出AMB=67.5,得出结论. (3)设CE=a(a0),进而表示出EN=CE=a,CN=a,设DE=b(b0),进而表示出AD=a+b,根据勾股定理得,AC =(a+b),同(1)可得OAM=ODN,得出EDN=DAE,进而判断出DENADE,得出=,进 而得出a=b,即可表示出CN=b,AC=b,所以AN2=AC CN=2b2,得出结论. 2 2 DE AD EN DE 5-1 2 10- 2 2 102

26、 2 B组 20162020年全国中考题组 考点一 矩形 1.(2019重庆A卷,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角线BD x轴,反比例函数y=(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D(0,4), 则k的值为( ) A.16 B.20 C.32 D.40 k x 答案答案 B 点D(0,4),DBx轴, 点B的纵坐标为4,设点B的坐标为(a,4). 由点A(2,0),点D(0,4)可知OA=2,OD=4, AD=,AB=,DB=a. 四边形ABCD是矩形,DAB=90. 在RtDAB中,DA2+AB2=DB2, ()2+

27、2=a2,解得a=10. 点B的坐标为(10,4). 四边形ABCD是矩形,点E为DB的中点. 点E的坐标为(5,4). 将点E(5,4)代入y=中,得k=20,故选B. 22 2420 22 ( -2)4a 20 22 ( -2)4a k x 思路分析思路分析 由DBx轴,可得点B的纵坐标和点D的纵坐标相同,故可设点B(a,4).在RtDAB中,可用勾股 定理列出关于a的方程,解得a的值.由于点E为DB的中点,故可求出点E的坐标,将点E的坐标代入y=中, 便可求出k的值. k x 2.(2020广东广州,10,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作O

28、EAC,交AD 于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为( ) A. B. C. D. 48 5 32 5 24 5 12 5 答案答案 C 四边形ABCD为矩形, ABC=90,ADBC,OA=OD, AC=10, sinACB=. ADBC,OA=OD, ODA=DAO=ACB. sinODA=sinDAO=sinACB=. 在RtAOE和RtDEF中,OE=AE sinOAD=AE,EF=DE sinODA=DE, OE+EF=AE+DE=(AE+DE)=AD=8=.故选C. 22 ABBC 22 68 AB AC 6 10 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

29、3 5 3 5 3 5 24 5 一题多解一题多解 连接CE.由DEF=AEO=CEO,得OEF=CED,OEFCED,= sinDAC=.=,OE+EF=(EC+DE)=AD=. OE EC EF DE 3 5 OEEF ECDE 3 5 3 5 3 5 24 5 3.(2020云南,6,3分)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2, 则DE的长是 . 10 答案答案 或 8 3 2 34 3 解析解析 四边形ABCD是矩形,DC=AB=6,ADC=90, 在RtADC中,AD=2. 当点E在DC边上时,如图1,设EA=EC=x, 则DE=

30、6-x,在RtADE中,AD2+DE2=AE2, 22+(6-x)2=x2,x=,DE=. 22 -AC DC40-36 10 3 8 3 图1 当点E在AB边上时,如图2,易求得AE=,在RtADE中,DE=. 10 3 22 AEAD 2 34 3 DE的长为或. 图2 8 3 2 34 3 解后反思解后反思 本题主要考查矩形的性质,勾股定理以及分类讨论的思想,因为点E的位置不确定,需根据EA =EC,讨论点E在边AB和边DC上的情况,分别求DE的长. 4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若

31、点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, =. 在RtADB中,由勾股定理得BD=, =,a=. 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB BD AB 22 -BA AD 2 1-a 2 3 2 1-a 5 3 5 3 5 3 解

32、后反思解后反思 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 5.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接 DF,以DF为斜边作DFE=30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程 中,点E的运动路径长是 . 答案答案 4 3 3 解析解析 连接BD,交AC于点O,矩形ABCD中

33、,DCA=30,三角形AOD为等边三角形.AB=4,OD= AD=ABtan 30=.当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1=OD=;当点F与点C重合时,点E (即E2)在DC的上方.连接E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60.DFE=DAE1=30,= =,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此可知 点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1=. 4 3 3 1 2 2 3 3 1 DE AD DE DF 1 2 4 3 3 思路分析思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而

34、确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果. 易错警示易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了错解. 6.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2 OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数. 解析解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形.(1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO.(2分) AO=OD.(3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=B

35、O+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形.(4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x.(5分) 在ODC中,DOC+OCD+ODC=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18.(6分) ODC=318=54.(7分) ADO=90-ODC=90-54=36.(8分) 名师点拨名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角之和. 7.(2020安徽,23,14分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G, 与AD相交于点F,A

36、F=AB. (1)求证:BDEC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG=AG. 2 解析解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,所以EAF=DAB=90. 又AE=AD,AF=AB,所以AEFADB,所以AEF=ADB. 所以GEB+GBE=ADB+ABD=90,即EGB=90, 故BDEC.(5分) (2)由矩形性质知AECD,所以AEF=DCE,EAF=CDF, 所以AEFDCF,所以=,即AE DF=AF DC. 设AE=AD=a(a0),则有a (a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=或(舍),所以AE的长为.(

37、10分) (3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG. 在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG, 所以AEPADG,所以AP=AG,EAP=DAG. 所以PAG=PAD+DAG=PAD+EAP=DAE=90, 所以PAG为等腰直角三角形. AE DC AF DF 15 2 1- 5 2 15 2 于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分) 证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q. 在AEG与ADQ中, AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ, 2 所以AEGADQ,所以EG=DQ,AG=AQ, 所以AGQ为等腰直角

38、三角形. 于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分) 2 思路分析思路分析 (1)先利用SAS证明AEFADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩 形性质可证AEFDCF,得到AE DF=AF DC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种证 法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEPADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证 PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结 论及已知证明AEGADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论. 难点

39、突破难点突破 解决第(3)问的突破口是构造AEPADG(或AEGADQ),将问题转化为求证PG= AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想. 22 考点二 菱形 1.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 答案答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角 形,所以AC=AB=1 cm,故选A. 2.(2020宁夏,5,3分)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC=24,点E、F分别是边CD、B

40、C的中点,连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G,则EG=( ) A.13 B.10 C.12 D.5 答案答案 B 连接BD交AC于点O.在菱形ABCD中,ACBD,且OC=OA=12,在RtDOC中,OD= =5,BD=10.又E、F分别是CD、BC的中点,EF=BD=5.易得EFCGFB,EF=FG, EG=10. 22 -DC OC 22 13 -12 1 2 3.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图 2是点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( ) 图1 图2 A.

41、B.2 C. D.2 5 5 2 5 答案答案 C 如图,作DEBC于点E, 在菱形ABCD中,当F在AD上时,y=BC DE, 即a= a DE,DE=2. 由题意知DB=,在RtDEB中, BE=1,EC=a-1. 在RtDEC中,DE2+EC2=DC2, 22+(a-1)2=a2. 1 2 1 2 5 22 -DB DE 解得a=.故选C. 5 2 思路分析思路分析 当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形BC边上的高为2,由点F在BD上运动的时间为 s,得出BD的长,由勾股定理可求a的值. 5 解后反思解后反思 本题为菱形中的动点和函数图象问题,关键要根据菱形的各边都相等以及y

42、的意义求出菱形 BC边上的高和BD的长,再构造直角三角形,用勾股定理求解. 4.(2020陕西,14,3分)如图,在菱形 ABCD中,AB=6,B=60,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该 菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 . 答案答案 2 7 解析解析 过A作AGBC于G,过E作EHBC于H, 则四边形AGHE为矩形,AE=GH=2. 在菱形ABCD中,AB=6,B=60, AG=ABsin B=6=3=EH,BG=ABcos B=6=3. HC=BC-BG-GH=6-3-2=1. EF平分菱形ABCD的面积, AE=FC=2. 3 2 3 1 2

43、FH=FC-CH=2-1=1. 在RtEFH中,由勾股定理可得EF=2. 22 EHFH 22 (3 3)17 5.(2019北京,20,5分)如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,连接EF. (1)求证:ACEF; (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点O.若BD=4,tan G=,求AO的长. 1 2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为菱形, AB=AD,AC平分BAD. BE=DF, AE=AF. ACEF. (2)四边形ABCD为菱形, AO=OC,OD=BD,ACBD. EFAC, BDEG. G=BDC. BD=4, OD

44、=2. 在RtCOD中,tanCDO=tan G=,可得OC=1. 1 2 1 2 AO=1. 6.(2020云南,22,9分)如图,四边形ABCD是菱形,点H为对角线AC的中点,点E在AB的延长线上,CEAB,垂 足为E,点F在AD的延长线上,CFAD,垂足为F. (1)若BAD=60,求证:四边形CEHF是菱形; (2)若CE=4,ACE的面积为16,求菱形ABCD的面积. 解析解析 (1)证明:在菱形ABCD中,BAD=60, BAC=30.(1分) CEAB,垂足为E,H为对角线AC的中点, CE=AC=CH,ECH=90-EAC=60. CEH是等边三角形, CE=CH=EH. 同理

45、可证CF=CH=FH.(3分) CE=EH=FH=CF, 四边形CEHF是菱形.(4分) (2)CE=4,SACE=16,CEAB,垂足为E, AE CE=16,解得AE=8.(6分) 四边形ABCD是菱形, AB=BC. 1 2 1 2 设AB=BC=x,则BE=8-x. 由BC2=CE2+BE2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5,即AB=5.(8分) SABC=AB CE=54=10, S菱形ABCD=2SABC=20.(9分) 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据菱形的性质和含30角的直角三角形的性质,判定CEH为等边三角形,得CE=CH= EH,进而得出四边形CEHF的四

46、条边都相等;(2)由SACE=CE AE求得边AE的长,在RtBCE中利用勾股 定理得BC的长,进而可求得菱形ABCD的面积. 1 2 考点三 正方形 1.(2020天津,8,3分)如图,四边形OBCD是正方形,O,D两点的坐标分别是(0,0),(0,6),点C在第一象限,则点C 的坐标是( ) A.(6,3) B.(3,6) C.(0,6) D.(6,6) 答案答案 D O(0,0),D(0,6),OD=6.四边形OBCD是正方形,BC=CD=OD=6,CDOD,CBOB,点 C的坐标是(6,6),故选D. 2.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分

47、别在边BC和CD上,AE=AF,EAF= 60,则CF的长是( ) A. B. C.-1 D. 31 4 3 2 3 2 3 答案答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF, BE=DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90, EF=x,则AE=x.在RtABE中,12+(1-x)2=(x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-(舍),CF= CE=-1.故选C. 22233 3 3.(2019甘肃兰州,12,4分)如图,边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直 线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=( ) A. B. C.-1 D.-1 2 1 2 2 2 32 答案答案 D 连接EM,由折叠性质可知EM=CM,DE=DC=,在正方形ABCD中,AC=DC=2,OC=OD= AC=1,ACBD,EM=CM=1-OM,OE=-1. 解法一:在RtEOM中,OM2+OE2=EM2,即OM2+=(1-OM)2,解得OM=-1. 解法二:易知DMO=FMC,且DOC=DFC=90,ODM=FCM,又OD=OC,DOM=COE= 90,DOMCOE,OM=OE=-1,故选D. 22