2021年河南中考数学复习练习课件：§8.5　二次函数与几何图形的综合题型.pptx

1、 中考数学 （河南专用） 第八章 综合专题 8.5 二次函数与几何图形的综合题型 1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的 对称轴为直线l. (1)求该抛物线的表达式; (2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标. 解析解析 (1)由题意,得解之,得 y=x2+2x-3.(3分) (2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1. 令y=0,则x2+2x-3=0. 解之,得x1=-3,x2=1.A(-3,

2、0),B(1,0). 令x=0,则y=-3.C(0,-3).OA=OC=3.(6分) PDE=AOC=90, 当PD=DE=3时,PDE与AOC全等. 设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3. m=2.n=22+22-3=5.P(2,5). E(-1,2)或E(-1,8).(9分) 当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件. 相应的点E的坐标同上. 1293, -34-2, bc bc 2, -3. b c 满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8).(10分) 疑难突破疑难突破 (1)求抛物线的表达式,可利用待

3、定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知AOC为直角 三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与 AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧和左侧),可以结合抛物线 的对称性进行说明. 2.(2020吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+与x轴正半轴交于点A,且点A的坐 标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQl于点Q;M 是直线l上的一点,其纵坐标为-m+.以PQ,QM为边作矩形PQMN. (1)求b的值; (

4、2)当点Q与点M重合时,求m的值; (3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值; (4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围. 1 2 3 2 3 2 解析解析 (1)根据题意,得-32+3b+=0. 解得b=1.(2分) (2)根据题意,得点P的坐标为. PQl,点Q的坐标为. 点Q与点M重合,且点M的坐标为, -m2+m+=-m+.(3分) 解得m1=0,m2=4.(4分) (3)将y=-x2+x+配方,得y=-(x-1)2+2, 抛物线顶点的坐标为(1,2).(5分) 1 2 3 2 2 13 ,- 22 mm

5、m 2 13 3,- 22 mm 3 3,- 2 m 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 1 2 根据题意,得点N的坐标为. 如图. 图 顶点(1,2)在正方形PQMN的内部, -m+2, m-. 3 ,- 2 m m 3 2 1 2 PN=-m+-=m2-2m,PQ=3-m. 四边形PQMN是正方形, PN=PQ, m2-2m=3-m,(6分) m1=1+(舍去),m2=1-. m的值为1-.(7分) (4)当0m4时,抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小.(10分) 提示:如图、图. 3 2 2 13 - 22 mm 1 2 1 2 77 7 图 图 思路分析思

6、路分析 (1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值; (2)分别表示出点Q、M的坐标,根据点Q、M的纵坐标相同列出方程求解即可; (3)根据抛物线顶点在正方形内部,得M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标,即-m+2,得m的取值范 围,分别表示出PQ和PN的长度,根据矩形PQMN是正方形时PN=PQ,即可求得m的值; (4)根据函数图象对点P的位置进行分类讨论,结合点Q在点M的上方或在点M的下方分析即可. 3 2 解后反思解后反思 针对二次函数与几何综合的题目,首先要考虑的是代数与几何知识之间的相互关联,找出其 中的内在联系.尤其对于线段间的数量关系问题,常用解决方法为:利用函数解析式,用同一参

7、数分别 表示出两端点的坐标;根据所求线段的特点进行计算(平行于x轴的,其长度等于右端点的横坐标减去 左端点的横坐标;平行于y轴的,其长度等于上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标). 3.(2020海南,22,15分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧. 如图1,过点P作PDx轴于点D,作PEy轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长; 如图2,该抛物线上是否存在点P,使得ACP=OCB?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明 理由. 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx

8、+c经过点A(-3,0)、B(2,0),(2分) 解得(4分) 抛物线的函数表达式为y=x2+x-6.(5分) (2)设PE=t(t0),则PD=2t, 因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以 下两种情况讨论: i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0,(6分) 解得t1=2,t2=-3(舍去),PE=2.(7分) ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t), 则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0,(8分) 解得t1=,t2=(舍去),PE=.(

9、9分) 9-30, 420. bc bc 1, -6, b c 333 2 3- 33 2 333 2 综上所述,PE的长为2或.(10分) 存在点P,使得ACP=OCB. 当x=0时,y=-6, C(0,-6),OC=6. 333 2 在RtAOC中,AC=3, 过点A作AHAC,交直线CP于点H, 则CAH=COB, 又ACP=OCB,CAHCOB, =,(11分) 过点H作HMx轴于点M,则HMA=AOC, MAH+OAC=90,OAC+OCA=90, MAH=OCA,HMAAOC, =,即=, MH=1,MA=2.(12分) 22 OAOC 22 36 5 AH AC OB OC 2

10、6 1 3 MH OA MA OC AH AC3 MH 6 MA1 3 i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1), 图3 由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6, 于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0, 解得x1=-2,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-2,-4).(13分) ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1), 图4 由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6, 于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0, 解得x1=-8,x2=0(舍去), 点P的坐标为(-8,50).(14分)

11、 综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50).(15分) 解后反思解后反思 对于(2)中的,由点A,B,C的坐标易得OBOC=13及AC的长.过点A作AHAC,过点H作 HMx轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得HMAAOC,进而求出点H的坐标,这 样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可. 4.(2020广东,25,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧, BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD. (1)求b,c的值; (2)求直线BD

12、的函数解析式; (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当ABD与BPQ相似时,请直接写出所有满 足条件的点Q的坐标. 33 6 3 解析 (1)BO=3AO=3,A(-1,0),B(3,0). y=(x+1)(x-3)=x2-x-. b=-,c=-.(2分) (2)过点D作DEy轴,垂足为E. DEOB,OBCEDC, =, 33 6 33 6 33 3 33 2 33 3 33 2 OB DE BC CD DE=,即xD=-. yD=(-)2-(-)-=+1. D(-,+1).(4分) 设直线BD的函数解析式为y=kx+m,k0, 直线过点B(3,0),D(-,+1),

13、 解得 直线BD的函数解析式为y=-x+.(6分) (3)满足条件的点Q共有四个: 33 33 6 3 33 3 3 33 2 3 33 33 30, - 331. km km 3 -, 3 3. k m 3 3 3 ,(5-2,0),(1-2,0).(10分) 详解:连接AC,AD. A(-1,0),C(0,),E(0,+1),D(-,+1), OA=CE=1,OC=DE=,AOCCED,AC=CD,ACO=CDE,ACD=90,ACD为等腰 直角三角形,tanADB=1. 易得tanABD=. A(-1,0),B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1.则设P(1,n)且n0.设对称轴与x轴

14、的交点为M,则M(1,0), 设Q(x,0)且xc时,求证:直线y=kx+4与抛物线y=ax2-bx+c一定还有另一个异于点A的交点; (3)当cc,即a-2a,a0,(3a+2)20, 方程ax2+(2-a)x-(2a+4)=0有两个相异的实数根, y=-2x+4与y=ax2-ax-2a的图象有两个不同的交点,又其中一个交点为A(2,0),一定还有另一个异于A 的交点. , 4 -20, ab abc 2 -24, -2 , yx yax axa (3)设点B的横坐标为x2, ax2+(2-a)x-(2a+4)=(x-2)(ax+a+2)=0, x2=-1-, 另外一个交点B的坐标为. 又M

15、,N,MN=3+, SAMN=, SBMN=, S=3a-+, 由cac+3可知0a1, 2 a 24 -1-,6 aa 19 ,- 24 a 1 ,3 2 9 4 a 25 9 25 9 1 2 9 3 4 a 3 2 25 12 9 3 4 a 1 2 9 3 4 a 12 1 2a 1 2 9 3 4 a 32 2a 9 3 4 a 4 1 - 3 a 3 a 7 4 当0a1时,S随a的增大而增大, 当a=1时,S取得最大值,且Smax=. 7 4 思路分析思路分析 (1)把(2,0)代入两函数解析式,再由a=b,可得结论;(2)联立直线方程与抛物线解析式,转化为以 x为未知数的一元二

16、次方程,根据恒大于0可知两函数图象有两个不同的交点,结论成立;(3)由一元二次 方程得B点横坐标,进而得B,根据题意得M,N,进而表示出SAMN,SBMN,得S=3a- +,当03,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.(9分) 03, -30, km km 1, -3. k m 点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 以BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍, 即SBEP=5SBED. SBEP=PE BD,SBED=DE BD, PE BD=5DE BD, PE=5DE.(11分) n2-3n=5(n-3), 即(n-3)(n-5)=0,

17、 解得n=3或n=5. n3,n=5,y=52-25-3=12, 点P的坐标为(5,12).(12分) 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直 线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面 积关系,可得SBEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标. 9.(2020山西,23,13分)综合与探究 如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点, 与y

18、轴交于点E,点D的坐标为(4,-3). (1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式; (2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m0),过点P作PMx轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点 N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标; (3)若点Q是y轴上的点,且ADQ=45,求点Q的坐标. 1 4 解析解析 (1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=-x-1.(3分) 详解:令x2-x-3=0, 得x2-4x-12=0, (x-6)(x+2)=0, x1=-2,x2=6. A(-2,0),B(6,0). 设直线l的函数表达式为y=kx+b(k0), 把A(-2,

19、0),D(4,-3)代入得 解得 直线l的函数表达式为y=-x-1. 1 2 1 4 -20, 4-3, kb kb 1 -, 2 -1. k b 1 2 (2)如图,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为P,N. PM=-m2+m+3,MN=m+1. NP=-=-m2+m+2. 分两种情况: 当PM=3MN时,得-m2+m+3=3.(4分) 2 1 ,- -3 4 mm m 1 ,-1 2 mm 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 -1 2 m 1 2 1 -1 2 m 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 2 1 4 1 1 2 m 解得m1=0,m2=-2(舍去). 当m=0时,

20、m2-m-3=-3.点P的坐标为(0,-3).(5分) 当PM=3NP时,得-m2+m+3=3.(6分) 解得m1=3,m2=-2(舍去). 当m=3时,m2-m-3=-.点P的坐标为. 当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或.(7分) (3)直线y=-x-1与y轴交于点E,点E的坐标为(0,-1). 分两种情况:如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1. 过点Q1作Q1H直线l,垂足为H,则Q1HE=AOE=90, Q1EH=AEO,Q1HEAOE. 1 4 1 4 2 11 -2 42 mm 1 4 15 4 15 3,- 4 15 3,- 4 1 2 =.即=.Q1H=

21、2HE.(8分) 又Q1DH=45,Q1HD=90, HQ1D=Q1DH=45. DH=Q1H=2HE. HE=ED.(9分) 连接CD,点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3), CDy轴.ED=2. HE=2,Q1H=4. Q1E=10. OQ1=Q1E-OE=10-1=9,点Q1的坐标为(0,9).(10分) 如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.过点Q2作Q2G直线l,垂足为G.则Q2GE=AOE=90, Q2EG=AEO,Q2GEAOE. 1 Q H AO HE OE 1 2 Q H 1 HE 22 ECCD 22 -1-(-3)45 5 5 22 1 HEQ H 22

22、 (2 5)(4 5) =.即=.Q2G=2EG.(11分) 又Q2DG=45,Q2GD=90,DQ2G=Q2DG=45. DG=Q2G=2EG.ED=EG+DG=3EG.(12分) 由可知,ED=2.3EG=2.EG=.Q2G=.EQ2=. OQ2=OE+EQ2=1+=. 点Q2的坐标为. 点Q的坐标为(0,9)或.(13分) 2 Q G AO EG OE 2 2 Q G 1 EG 55 2 5 3 4 5 3 22 2 EGQ G 22 2 54 5 33 10 3 10 3 13 3 13 0,- 3 13 0,- 3 方法总结方法总结 与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法,就是以坐标系为 桥梁,通过坐标把线段转化成代数问题,通过代数运算解决问题,同时注意分类讨论思想的应用. 难点突破难点突破 本题第(3)问注意分类讨论.当点Q在y轴正半轴上时,记作Q1,作Q1H直线l于H,构造Q1HE AOE;当点Q在y轴负半轴上时,记作Q2,作Q2G直线l于G,构造Q2GEAOE.然后根据相似比和 勾股定理进行解答.