2021年河南中考数学复习练习课件：§3.4　二次函数.pptx

1、 中考数学 （河南丏用） 第三章 变量与函数 3.4 二次函数 1.(2020陕西,10,3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m1)沿y轴向下平移3个单位,则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点一 二次函数的概念、图象与性质 答案答案 D 解法一:将抛物线y=x2-(m-1)x+m沿y轴向下平移3个单位后,得抛物线y=x2-(m-1)x+m-3= +,平移后得到的抛物线的顶点坐标为.m1,0,-m2+6m-1 3=-(m-3)2-40,即1,=b2-4ac=-(m-1)2-4(m-3)=(m-3)2+40

2、. m1,0,对称轴在y轴右侧,又知抛物线开口向上,顶点在第四象限.故选D. 2 -1 - 2 m x 2 -6 -13 4 mm 2 -1 -6 -13 , 24 mmm -1 2 m 2 -6 -13 4 mm -1 2 m 2.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4 答案答案 B 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 解得故选B. -4-24, -1644, nb nb 2, -4. b n 一题多解一题多解 抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点, 抛物线的对称轴为直线x=1,

3、即=1, b=2,n=-(-2)2+2(-2)+4=-4. -24 2 2 b 3.(2019福建,10,4分)若二次函数y=|a|x2-bx+c的图象过不同的五点A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3), 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y30,抛物线的开口向上. 抛物线过A(m,n)和C(3-m,n), 抛物线的对称轴为直线x=. 作出二次函数的大致图象,如图. 由图可知y2y30,确定抛物线的开口方向.观察点的坐标可知A和C两点的纵坐标相同,说明点A与点C 关于对称轴对称,由此得到对称

4、轴为直线x=.根据抛物线的开口方向及对称轴画出大致图象, 结合图象比较大小. 3- 2 mm3 2 4.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是 . 答案答案 (1,4) 解析解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中, 得解得 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4, 该抛物线的顶点坐标为(1,4). 3, 3-42, c bc 3, 2, c b 5.(2018新疆乌鲁木齐,13,4分)把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物

5、线的解析式为 . 答案答案 y=2x2+1 解析解析 y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,则把原抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2x2+1. 6.(2020河南,21,10分)如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛 物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点G的坐标; (2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点 Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围. 解析解析 (1)抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点

6、B, 点B的坐标为(0,c),c0, OA=OB,且点A在x轴正半轴上, 点A的坐标为(c,0),(2分) 抛物线y=-x2+2x+c经过点A, -c2+2c+c=0, 解得c1=0(舍去),c2=3, 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(4分) y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 抛物线顶点G的坐标为(1,4).(5分) (2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1. 点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度, 点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6. 点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21.(8分) 又点M在点N的左侧, 当点M的坐标为(-2,-

7、5)时,点N的坐标为(6,-21), -21yQ4; 当点M的坐标为(4,-5)时,点N的坐标为(6,-21), -21yQ-5.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据OA=OB确定A点的坐标,代入解析式,即可求出c的值,得到抛物线的解析式以及点G的 坐标;(2)根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴,根据点M,N到对称轴的距离,得出M,N的横坐标,进一 步得出M,N的纵坐标,根据M,N的位置关系分类讨论确定yQ的取值范围. 7.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值; (2)若点P在抛物线y=x

8、2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标. 解析解析 (1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴, x=-=0,即k2+k-6=0, 解得k=-3或k=2.(2分) 当k=2时,抛物线的解析式为y=x2+6,抛物线与x轴无交点,不满足题意,舍去. 当k=-3时,抛物线的解析式为y=x2-9,抛物线与x轴有两个交点,满足题意. k=-3.(4分) (2)点P到y轴的距离为2, 点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上, 当x=2时,y=-5; 当x=-2时,y=-5.(6分) 点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5)

9、.(8分) 2 -6 2 kk 易错警示易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x |,二者容易混淆,从而导致失分. 2 b a 8.(2020安徽,22,12分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+ bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点. (1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由; (2)求a,b的值; (3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 解析 (

10、1)点B在直线y=x+m上,理由如下: 因为直线y=x+m过点A(1,2),所以2=1+m,解得m=1,从而直线对应的表达式为y=x+1, 又点B的坐标(2,3)满足该表达式,所以点B在这条直线上.(4分) (2)因为抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过点(0,1),且B,C两点横坐标相同,所以此抛物线只能经过A,C两 点. 将A,C两点的坐标代入y=ax2+bx+1,得 解得a=-1,b=2.(8分) (3)解法一:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-x2+px+q,其顶点坐标为. 因为顶点在直线y=x+1上,所以+1=+q. 于是,抛物线与y轴交点的纵坐标为q=-+1=-(p-1)

11、2+, 12, 421 1, ab ab 2 , 24 p p q 2 p 2 4 p 2 4 p 2 p1 4 5 4 所以,当p=1时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值.(12分) 解法二:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-(x-h)2+k, 因为顶点在直线y=x+1上,所以k=h+1. 令x=0,得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1. 因为-h2+h+1=-+. 所以,当h=时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值.(12分) 5 4 2 1 - 2 h 5 4 1 2 5 4 思路分析思路分析 (1)先代入点A的坐标求出m,再代入点B的坐标验证即可;(2)因为抛物

12、线与直线AB都经过点 (0,1),而直线y=x+m经过点A和点B,且B、C两点横坐标相同,故点B肯定不在抛物线上,所以抛物线过 点A、C,然后列二元一次方程组即可求出a,b;(3)两个思路:设出平移后抛物线表达式的一般形式y=-x2 +px+q,并求出顶点坐标,然后将顶点坐标代入y=x+1,得到q与p的数量关系,进而得出q关于p的二次函数, 最后利用二次函数的性质求最值;设出平移后抛物线表达式的顶点式y=-(x-h)2+k,并把顶点坐标代入y =x+1,得到纵坐标为关于h的二次三项式,利用配方法求最值. 1.(2020云南昆明,13,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线

13、x=1,与y轴交于点B(0,-2),点A(-1, m)在抛物线上,则下列结论中错误的是( ) A.ab时,y10,根据对称轴在y轴右侧可知-0,b0,所以ab0,A选项结论正 确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次 方程ax2+bx+c=0的正实数根在2和3之间,B选项结论正确;易知x=-=1,所以b=-2a,又抛物线经过点(0,- 2),故函数解析式为y=ax2-2ax-2,把点(-1,m)代入得,a+2a-2=m,即a=,C选项结论正确;易证当t=时,y1= y2;当ty2,当t时,点P2距离对称轴较远,y1y2,D选项结

14、论错误.故选D. 2 b a 2 b a 2 3 m1 2 1 2 1 2 2.(2017甘肃兰州,5,4分)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 答案答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一 个近似根是1.2,故选C. 3.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点

15、(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有 下列结论: 抛物线经过点(1,0); 方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; -3a+b0.a0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b=-3,b=a +3,a=b-3.-3a0,0b3.-3a+b 0,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴 交点的个数是2. 5.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点. (1)求b、c的值; (2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是

16、否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由. 3 16 9 -4,- 2 3 16 解析解析 (1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点, 解得(4分) (2)有公共点.y=-x2+bx+c=-x2+x+3.由-x2+x+3=0得x2-6x-16=0, 解得x=-2或x=8.(6分) 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分) 3 16 9 -4,- 2 2 3, 39 -(-4) -4-, 162 c bc 9 , 8 3. b c 9 , 8 3, b c 3 16 3 16 9 8 3 16 9

17、8 3 16 思路分析思路分析 (1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c. (2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可. 考查内容考查内容 本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系,熟练地解方程(组)是解决本题的 关键. 1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2 +v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地 面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A.23.5 m B

18、.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m 考点三 二次函数的实际应用 答案答案 C 由已知可得v0=20 m/s,h0=1.5 m,则h=-5t2+20t+1.5(t0),其图象的对称轴方程为t=-=2,图 象开口向下,当t=2时,h最大,为-522+202+1.5=21.5,故选C. 20 2(-5) 2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m. 3 2 答案答案 24 解析解析 y=60t-t2=-(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,

19、即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600 m.当t =16时,y=6016-162=576,所以最后4 s滑行的距离为600-576=24 m. 3 2 3 2 3 2 3.(2020河北,23,9分)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长 同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3. (1)求W与x的函数关系式; (2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗). 设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄. 求Q与x的函数关系式; x为何值时,Q是W薄的3

20、倍? 注:(1)及(2)中的不必写x的取值范围 解析解析 (1)设W=kx2(k0), 把x=3,W=3代入,得3=9k, 解得k=. W=x2. (2)Q=(6-x)2-x2 =x2-4x+12-x2 =-4x+12. 由题意,得-4x+12=3x2, 解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去). x=2. 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 解题关键解题关键 本题不管是求W与x的函数关系式还是求Q与x的函数关系式都是考查数学模型的建立.根据 题目信息表述出与结论相关的等式,然后建立数量关系模型是解决数学应用题的关键. 1.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直

21、角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其 中A(-3,-4),B(0,-1). (1)求该抛物线的函数表达式; (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求PAB面积的最大值; (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a10),平移后的抛物线与原抛物线相交 于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四 边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 备用图 考点四 二次函数的综合 解析解析 (1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4

22、),点B(0,-1), 解这个方程组,得 该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1.(3分) (2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k0). 将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式, 得 解这个方程组,得 直线AB的函数表达式为y=x-1. 如图1所示,过点P作PQx轴交AB于点Q. 9-3-4, -1. bc c 4, -1. b c -3-4, -1. km m 1, -1. k m 设P(t,t2+4t-1)(-3t0), 则Q(t,t-1). PQ=(t-1)-(t2+4t-1)=-t2-3t. SPAB=PQ |xA-xB|=(-t2-3t)3=-t2-t. -=

23、-,-3-0), 点M的坐标为. 利用待定系数法可求出直线BB的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=-x+;直线BM的解析 3 4 4 4-2 m m 4- 24 m m 1 4 1 2 1 ,-2 2 mm 4 2 -4 m m 4 -2 m m 式为y=x-. 分三种情况考虑: 当直线lBB且过线段CM的中点N时,直线l的解析式为y=x-m-2; 当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y=-x-2; 当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为y=x-2. 综上所述,直线l的解析式为y=x-m-2或y=-x-2或y=x-2. -4 24 m m 54 2 m m 11 ,-2 24 m

24、m 3 4 4 2 -4 m m -4 24 m m 3 4 4 2 -4 m m -4 24 m m 思路分析思路分析 (1)由直线y=-x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+x+c中,求得抛物线的解析式;(2) 当PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当CPM=90时,由PCx轴,得m2+m-2=-2,可求得P (-2,-2);(ii)当PCM=90时,作PNy轴于点N,易证CNPAOC,=,可求得P(6,10).由题意 知,直线l是MBB的三条中位线所在的直线,当点B,B在l同侧时,l过CM的中点与BB平行,当点B,B在l异 侧时,l过点C与BM平行或与BM平行,

25、计算可得l的解析式. 1 2 1 2 1 4 1 2 CN AO PN CO 3.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. 当AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M, P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; 连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标. 解析 (1)直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C, B(5,0),C(0,-5), 抛

26、物线y=ax2+6x+c过点B,C, 抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(3分) (2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45. 抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点, A(1,0).AB=4.AMBC,AM=2. PQAM,PQBC. 若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形, 则PQ=AM=2. 过点P作PDx轴交直线BC于点D,则PDQ=45. PD=PQ=4.(5分) 02530, -5. ac c -1, -5. a c 2 2 2 设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5). 分两种情况讨论如下: (i)当点P在直线BC上方时, PD=-m2+6m-5-

27、(m-5)=-m2+5m=4. m1=1(舍去),m2=4.(7分) (ii)当点P在直线BC下方时, PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4. m3=,m4=. 综上,点P的横坐标为4或或.(9分) M或.(11分) 【提示】作AC的垂直平分线,交BC于点M1,连接AM1,过点A作ANBC于点N,将ANM1沿AN翻折,得到 ANM2,点M1,M2的坐标即为所求. 541 2 5- 41 2 541 2 5- 41 2 13 17 ,- 66 237 ,- 66 思路分析思路分析 (1)求出直线y=x-5与坐标轴的两个交点B,C的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;(2) BOC

28、是等腰直角三角形,得ABC=45,求得AM=2,以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,得PQ =AM=2,过点P作PDx轴交BC于D,易得PD=4,设出点P的坐标,则|yP-yD|=4,分类讨论,解方程求出点P 的坐标;(3)作线段AC的垂直平分线,交BC于点M1,易得AM1B=2ACB,作ANBC于点N,作点M1关于直 线AN的对称点M2,则AM2C=2ACB,分别计算求出两个符合题意的点M的坐标. 2 2 4.(2017河南,23,11分)如图,直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A, B. (1)求点B的坐标和抛物线的解析式;

29、 (2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N. 点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标; 点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则 称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值. 2 3 4 3 解析解析 (1)直线y=-x+c与x轴交于点A(3,0), -3+c=0,c=2. B(0,2).(1分) 抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,0), -32+3b+2=0,b=. 抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(3分

30、) (2)MNx轴,M(m,0),N. 由(1)知直线AB的解析式为y=-x+2,OA=3,OB=2. 在APM和BPN中,APM=BPN,AMP=90, 2 3 2 3 4 3 4 3 10 3 4 3 10 3 2 410 ,-2 33 mmm 2 3 若使BPN和APM相似,则需NBP=90或BNP=90. 分如下两种情况讨论: (i)当NBP=90时,过点N作NCy轴于点C, 则NBC+BNC=90,NC=m,BC=-m2+m+2-2=-m2+m.NBP=90,NBC+ABO=90, ABO=BNC. RtNCBRtBOA.(5分) 4 3 10 3 4 3 10 3 =,=,解得m=

31、0(舍去)或m=. M.(6分) (ii)当BNP=90时,BNNM.点N的纵坐标为2. -m2+m+2=2,m=0(舍去)或m=. NC OB CB OA2 m 2 410 - 33 3 mm 11 8 11,0 8 4 3 10 3 5 2 M. 综上,点M的坐标为或.(8分) m=-1或m=-或m=.(11分) 详解:由已知得M(m,0),N,P. 令-x2+x+2=0,得x1=3,x2=-. (i)当0m3时, MN=yN-yM=-m2+m+2, PM=yP-yM=-m+2, 此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM, 5 ,0 2 11,0 8 5 ,0 2 1 4 1 2 2 41

32、0 ,-2 33 mmm 2 ,-2 3 mm 4 3 10 3 1 2 4 3 10 3 2 3 -m2+m+2=2, 解得m1=3,m2=, 当m=3时,M、P、N重合,不符合题意,舍去.故m=. (ii)当-m0时,MN=-m2+m+2,PM=-m+2, 此时只可能N是PM的中点,即PM=2MN, -m+2=2, 解得m1=3(舍去),m2=-. (iii)当m3时,PM=m-2, MN=m2-m-2, 此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM, m2-m-2=2, 解得m1=,m2=3, 4 3 10 3 2 3 4 3 10 3 2 3 4 3 10 3 4 3 10 3 2 -2

33、3 m 1 2 m1=,m2=3都不满足m3,舍去. 综上所述,m=-1或m=-或m=. 1 2 1 4 1 2 失分警示失分警示 1.第(2)问中分NBP=90和BNP=90两种情况求点M的坐标,分m-,-m3四种情况求m的值.做题时考虑不全面,易失分;2.在求线段长度时,一定要注意端点的位置和坐标 的符号. 1 2 1 2 5.(2016河南,23,11分)如图1,直线y=-x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点A,交y 轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDPD于点D,连接PB,设点P的 横坐标为m. (1)

34、求抛物线的解析式; (2)当BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长; (3)如图2,将BDP绕点B逆时针旋转,得到BDP,且旋转角PBP=OAC,当点P的对应点P落在坐标 轴上时,请点P的坐标. 4 3 2 3 直接写出 解析 (1)由直线y=-x+n过点C(0,4),得n=4, 直线的解析式为y=-x+4. 当y=0时,0=-x+4,解得x=3, A(3,0).(1分) 抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2), 抛物线的解析式为y=x2-x-2.(3分) (2)点P的横坐标为m,P,D(m,-2).(4分) 4 3 4 3 4 3 2 3 2 2 033, 3 -2.

35、bc c 4 -, 3 -2. b c 2 3 4 3 2 24 ,-2 33 mmm 若BDP为等腰直角三角形,则PD=BD. 当点P在直线BD上方时,PD=m2-m. (i)若点P在y轴左侧, 则m0,BD=m, m2-m=m, m3=0(舍去),m4=.(6分) 当点P在直线BD下方时,m0,BD=m,PD=-m2+m. 2 3 4 3 2 3 4 3 1 2 2 3 4 3 7 2 2 3 4 3 -m2+m=m, m5=0(舍去),m6=.(7分) 综上,m=或. 即当BDP为等腰直角三角形时,PD的长为或.(8分) (3)P1,P2,P3.(11分) 【提示】PBP=OAC,OA=

36、3,OC=4, AC=5,sinPBP=,cosPBP=. 当点P落在x轴上时,过点D作DNx轴,垂足为N,交BD于点M,DBD=NDP=PBP. 如图a,ND-MD=2,即-=2. 2 3 4 3 1 2 7 2 1 2 7 2 1 2 4 54 - 5, 3 -4 54 5, 3 25 11 , 832 4 5 3 5 3 5 2 24 - 33 mm 4 - 5 m 解得m=(舍)或m=-. 图a 如图b,ND+MD=2,即+m=2. 解得m=或m=-(舍). P1,P2. 55 3 5 2 24 - 33 mm 4 5 55 4 54 - 5, 3 -4 54 5, 3 图b 当点P落

37、在y轴上时,如图c,过点D作DMx轴,交BD于点M,过点P作PNy轴,交MD的延长线于点N, DBD=NDP=PBP. PN=BM,=m, 解得m=0(舍去)或m=.P3. 4 5 2 24 - 33 mm 3 5 25 8 25 11 , 832 图c 思路分析思路分析 (1)根据直线过点C,确定点A的坐标,根据点A,B的坐标确定抛物线的解析式;(2)由BDP是等 腰直角三角形,判断出PD=BD,分类讨论,建立关于m的方程,求m,从而得出线段PD的长;(3)分点P落在x轴 上和y轴上两种情况计算. 6.(2018新疆乌鲁木齐,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c

38、经过点A(-2,0),B(8,0). (1)求抛物线的解析式; (2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PDBC,垂足为点D. 是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; 当PDC与COA相似时,求点P的坐标. 1 4 解析解析 (1)将A(-2,0),B(8,0)代入y=-x2+bx+c, 得解得 抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(3分) (2)由(1)知 C(0,4),又B(8,0), 易知直线BC的方程为y=-x+4. 如图a,过点P作PGx轴于点G,PG交CB于点E,易知PED=OCB, 在RtPDE中,

39、PD=PE sinPED=PE sinOCB=PE, 当线段PE最长时,PD的长度最大. 设P(0t8), 1 4 -1-20, -1680, bc bc 3 , 2 4. b c 1 4 3 2 1 2 2 5 5 2 13 ,-4 42 ttt 则E,即PG=-t2+t+4,EG=-t+4. PE=PG-EG=-t2+2t=-(t-4)2+4,0t0;b2-4ac0;8a+c0,正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案答案 B 根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a0.又抛物线的对称轴是直线x=-=1, b=-2a0,abc0,故正确.观察题图发现当x=- 2时,y

40、=4a-2b+c0.又b=-2a,8a+c0,当x=-1时,y=a-b +c0,两式相加,得5a+b+2c0,故正确.故选B. 2 b a 5.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( ) A.c0 B.b2-4ac0 C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+ c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D. 15 2 6.(2018湖南长沙,12,3分)若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过

41、点P(x0-3,-16),则符合条件 的点P ( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.至少有3个 D.有无穷多个 2 0 x 答案答案 B 对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x0-3,-16),则-16a(x0-3)2+a(x0-3)- 2a. (x0-4)(x0+4)a(x0-1)(x0-4). x0+4a(x0-1). x0=-4或x0=1. 点P的坐标为(-7,0)或(-2,-15).故选B. 2 0 x 2 0 x 7.(2017黑龙江牡丹江,5,3分)若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3),则2c-4b-9的值是( ) A.5 B.-1 C

42、.4 D.18 答案答案 A 抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,3), -(-2)2-2b+c=3,整理得-2b+c=7, 2c-4b-9=2(c-2b)-9=27-9=5,故选A. 8.(2017甘肃兰州,9,4分)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为( ) A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2 C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6 答案答案 A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.故选A. 解题关键解题关键 本题考查了二次函数图象平移的变化规律,解题的关键是掌握二次函数图象平移与解析式 的变化规律的对应关系.

43、 9.(2016辽宁沈阳,10,2分)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)是 该二次函数图象上的两点,其中-3x1x20,则下列结论正确的是( ) A.y1y2 C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4 答案答案 D 二次函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4图象的顶点坐标为(-1,-4).令x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,则二次函 数y=x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3x10)上任意两点,其 中x13,都有y1y2,求t的取值范围. 解析解析 (1)由抛物线的性质可知,只有当

44、点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2. x13,x1. 故当t时,只需讨论x2t的情况. 当x1t3,t, x1+x22t. 抛物线的对称轴为直线x=t,且x1t, t2t-x10, y1y2,符合题意. 当tx10, y13,都有y1时,令x1=,x2=t,此时x1+x23,但y1y2,不符合题意. 综上所述,t的取值范围是t.(6分) 3 2 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 本题第(2)问需要考虑抛物线的对称轴与x1,x2的关系,因为a0,所以越靠近对称轴,函数值越 小. 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助x1+x23,x1,

45、从而分t,t进行分类讨论. 3 2 3 2 3 2 11.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是 该二次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记 W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值. 解析解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y =ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0

46、,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1, 2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分) (2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点 B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4 的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0 m4),所以m=1时,W有最小值7.(12分) 解法二:由(1)得二次函

47、数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线 与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA= m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m0). (1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴; (2)试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标; 将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式; (3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值. 备用图 解析解析 (1)当a=1时,抛物线C1:y=x2-4x-5.(1分) 令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, 抛物线C1与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0),(2分) 对称轴为直线x=2.(3分) (2)由抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a0), 可得其对称轴为直线x=-=2.(4分) 令x=0,有y=-5. 抛物线C1过定点(0,-5).(5分) 易知点(0,-5)关于直线x=2的对称点为点(4,-5), 由抛物线的对称性可知,无论a为何