2021年河北中考数学复习练习课件：§7.1 圆的有关概念及性质.pptx

1、 中考数学 （河北专用） 第七章 与圆有关的知识 7.1 圆的有关概念及性质 考点一 圆的有关概念、垂径定理 1.(2020广东广州,8,3分)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为( ) A.8 cm B.10 cm C.16 cm D.20 cm 答案答案 C 过点O作OCAB于点C,延长OC交O于点D,连接OA. OCAB,AB=48 cm, AC=AB=24 cm. OA=52=26 cm, 在RtOAC中,OC=10 cm, CD=OD-OC=26-10=16(cm).即水的最大深度为16 cm.故选C. 1 2 1

2、2 22 -OA AC 22 26 -24 方法总结方法总结 在解决与弦有关的问题时,一般是过圆心作弦的垂线,构造直角三角形,利用垂径定理和勾股 定理求线段的长. 2.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m, 点C是的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为( ) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m AB AB 答案答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD=AB=20 m,设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,

3、OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A. 1 2 思路分析思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三 角形中,然后由勾股定理求出. 3.(2018山东威海,10,3分)如图,O的半径为5,AB为弦,点C为的中点,若ABC=30,则弦AB的长为 ( ) A. B.5 C. D.5 AB 1 2 5 3 2 3 答案答案 D 如图,连接OA、OC,OC 交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为ABC=30,故 AOC=60,在RtAOM中,sin 60=,故AM=,即AB=5.故选D. AM OA

4、5 AM3 2 5 3 2 3 4.(2016四川南充,15,3分)下图是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全 覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm. 答案答案 50 解析解析 设符合条件的圆为O,由题意知,圆心O在对称轴l上,且点A、B都在O上.设OC=x mm,则OD=(70 -x)mm,由OA=OB,得OC2+AC2=OD2+BD2,即x2+302=(70-x)2+402,解得x=40,OA= 50 mm,即能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm. 22 ACOC 22 3040 5.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外

5、接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 解析解析 (1)尺规作图如图所示.(4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE, 所以=, 易得OEBC, 所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. BE EC RtEMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为.(10分) 30 思路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CA

6、E可得=,可推出OEBC,最后 利用勾股定理求出CE. BE EC 考点二 圆周角与圆内接四边形 1.(2020河北,14,2分)有一题目:“已知:点O为ABC的外心,BOC=130,求A.”嘉嘉的解答为:画ABC 以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由BOC=2A=130,得A=65.而淇淇说:“嘉嘉考虑的 不周全,A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是( ) A.淇淇说的对,且A的另一个值是115 B.淇淇说的不对,A就得65 C.嘉嘉求的结果不对,A应得50 D.两人都不对,A应有3个不同值 答案答案 A 若点A在弦BC的下方,此时A所对的弧所对的圆心角是360-130=23

7、0,根据圆周角定理得 A=115,故选A. 2.(2019吉林,5,2分)如图,在O中,所对的圆周角ACB=50,若P为上一点,AOP=55,则POB 的度数为( ) A.30 B.45 C.55 D.60 AB AB 答案答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B. 3.(2018江苏盐城,7,3分)如图,AB为O的直径,CD是O的弦,ADC=35,则CAB的度数为( ) A.35 B.45 C.55 D.65 答案答案 C ADC=35,ADC与B所对的弧相同, B=ADC=35,AB是O的直径,ACB=90, CAB=90-B=55,故选C. 4.(

8、2018陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,AB=AC,BCA=65,作CDAB,并与O相交于 点D,连接BD,则DBC的大小为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案答案 A AB=AC,BCA=65,BCA=ABC=65,BAC=50,CDAB,BAC=ACD=50, 根据圆周角定理的推论得ABD=ACD=50, DBC=ABC-ABD=65-50=15,故选A. 5.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是O上的三个点,AOB=50,B=55,则A的度数为 . 答案答案 30 解析解析 如图所示,设AC与OB交于点D. AOB与ACB所对的弧为同弧, AC

9、B=AOB=50=25, 又B=55, CDB=180-ACB-B=100, ODA=CDB=100, A=180-AOD-ODA=30. 1 2 1 2 6.(2020贵州贵阳,14,4分)如图,ABC是O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA =EB,则DOE的度数是 度. 答案答案 120 解析解析 连接OA,OB, ABC是O的内接正三角形, AOB=2ACB=120, AO=BO,OAB=OBA=(180-AOB)=30, DAO=CAB-OAB=30, AD=BE,OA=OB, OADOBE(SAS), DOA=EOB, DOE=DOA+AOE=EOB+A

10、OE=AOB=120. 1 2 7.(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE. 若D=78,则EAC= . 答案答案 27 解析解析 四边形ABCD是菱形, ADBC,CA平分DCB. D=78,DCB=180-D=102, ACE=DCB=51. A、E、C、D四点共圆,D+AEC=180, AEC=102. 在AEC中,EAC=180-AEC-ACE=180-102-51=27. 1 2 解后反思解后反思 本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是解决问题 的关键. 8.(2019浙江温州,

11、22,10分)如图,在ABC中,BAC=90,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的O交 AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF. (1)求证:四边形DCFG是平行四边形; (2)当BE=4,CD=AB时,求O的直径长. 3 8 解析解析 (1)证明:连接AE, BAC=90,CF为O的直径,AC=EC,CFAE. AD为O的直径,AED=90,即GDAE, CFDG. AD为O的直径,ACD=90, ACD+BAC=180,ABCD, 四边形DCFG为平行四边形. (2)由CD=AB,可设CD=3x,AB=8x,FG=CD=3x. 3 8 AOF=C

12、OD,AF=CD=3x, BG=8x-3x-3x=2x. GECF, =. 又BE=4,CE=6,BC=6+4=10,AC=6, AB=8=8x,x=1. 在RtACF中,AF=3,AC=6, CF=3,即O的直径长为3. BE EC BG GF 2 3 22 10 -6 22 3655 1.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M.若AB=12,OMMD=58,则 O的周长为 ( ) A.26 B.13 C. D. 96 5 39 10 5 教师专用题组 考点一 圆的有关概念、垂径定理 答案答案 B 连接OA,设OM=5x(x0),则MD=8x,OA=O

13、D=13x,又AB=12,ABCD,AM=6.在RtAOM 中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=(舍负),半径OA=,O的周长为13. 1 2 13 2 方法规律方法规律 如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则+d2=r2,h=r-d或h=r+d.已知 其中任意两个量即可求出其余两个量. 2 2 a 2.(2018山东枣庄,8,3分)如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,APC=30,则CD的长为 ( ) A. B.2 C.2 D.8 15515 答案答案 C 作OHCD于H,连接OC,如图,OHCD,HC=HD,AP=2,BP=6,AB=

14、8,OA=4,OP= OA-AP=2,在RtOPH中,OPH=APC=30,OH=OP=1,在RtOHC中,OC=4,OH=1,CH= =,CD=2CH=2.故选C. 1 2 22 -OC OH 22 4 -11515 3.(2017广东广州,9,3分)如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD,垂足为E,连接CO,AD,BAD=20,则 下列说法中正确的是( ) A.AD=2OB B.CE=EO C.OCE=40 D.BOC=2BAD 答案答案 D AB为O的直径, AB=2OB, 又ABAD,AD=2OB不正确,即A不正确; 连接OD,则BOD=2BAD=40, OC=OD,OBCD,

15、BOC=BOD=40, OCE=50,EOCE, B不正确,C不正确; BOC=40,BAD=20, BOC=2BAD, D正确,故选D. 4.(2018浙江衢州,10,3分)如图,AC是O的直径,弦BDAO于E,连接BC,过点O作OFBC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( ) A.3 cm B. cm C.2.5 cm D. cm 6 5 答案答案 D 连接OB, AC是O的直径,弦BDAO于E,BD=8 cm, BE=BD=4 cm, 在RtOEB中,OE2+BE2=OB2, 即OE2+42=(OE+2)2, 解得OE=3 cm,OB=3+2=5 cm, EC=5+3

16、=8 cm. 在RtEBC中,BC=4 cm. OFBC,OFC=CEB=90. C=C,OFCBEC,=,即=, 解得OF= cm.故选D. 1 2 22 BEEC 22 485 OF BE OC BC4 OF5 4 5 5 5.(2020宁夏,12,3分)我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆 材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”意思是:今有一圆柱形木材,埋在墙壁 中,不知其大小.用锯去锯这木材,锯口深ED=1寸,锯道长AB=1尺(1尺=10寸).这根圆柱形木材的直径是 寸. 答案答案 26 解析解析 由垂径定理可知OE垂直平分AB

17、,AD=5寸,设半径OA=x寸,则OD=(x-1)寸.在RtAOD中,AD2+ OD2=OA2,52+(x-1)2=x2,解得x=13,直径为26寸. 6.(2019浙江嘉兴,14,4分)如图,在O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CDOC交O于 点D,则CD的最大值为 . 1 2 答案答案 解析解析 连接OD,如图. 设O的半径为r. CDOC, CD=, 当OC的值最小时,CD的值最大, 又当OCAB时,OC最小,此时OC=, CD的最大值为=AB=1=. 22 -OD OC 22 -r OC 2 2 1 - 2 rAB 222 1 - 4 rrAB 1 2 1 2 1

18、2 7.(2019安徽,19,10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在农政全 书中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在 水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,OAB=41.3.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直 于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.30.66,cos 41.30.75,tan 41.30.88) 图1 图2 解析解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CDAB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在 直线的距离即为线段CD的长. 在RtA

19、OD中,AD=AB=3,OAD=41.3, OD=AD tan 41.330.882.64,OA=4, CD=CO+OD=AO+OD4+2.646.64. 答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.(10分) 其他运算途径得到的正确结果也可赋分 1 2 cos41.3? AD3 0.75 考点二 圆周角与圆内接四边形 1.(2020福建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,A为的中点,BDC=60,则ADB等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 BD 答案答案 A 连接OA,OB,OC, AB=CD,A为的中点, =. BDC=60,BOC=26

20、0=120, AOB=(360-120)3=80. ADB=40. BD AB CD AD 方法指导方法指导 圆中,弧所对的圆心角度数与弧的度数相同,弧所对的圆周角度数是弧的度数的一半. 2.(2020浙江杭州,9,3分)如图,已知BC是O的直径,半径OABC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C重合), BD与OA交于点E.设AED=,AOD=,则( ) A.3+=180 B.2+=180 C.3-=90 D.2-=90 答案答案 D 如图,连接AB,则DBA=DOA=,DEA=DBA+OAB=.OA=OB,BOA=90, OAB=45,=+45,2-=90,故选D. 1 2 1 2 1 2 思

21、路分析思路分析 连接AB,利用一条弦所对的圆周角等于圆心角的一半,可得到DBA=,利用三角形外角的 性质,可得DBA+OAB=,再证明OAB=45,进而可得和之间的关系式. 1 2 方法总结方法总结 圆中求角度的问题,优先考虑运用圆周角定理及其推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆 周角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.此外还应注意题干中的一些隐含条件,一般会涉及等腰三角 形的性质,三角形内角和定理,三角形外角的性质等. 3.(2019甘肃兰州,6,4分)如图,四边形ABCD内接于O,若A=40,则C=( ) A.110 B.120 C.135 D.140 答案答案 D 由圆的内接四边形的性质

22、可得A+C=180,又A=40,C=180-40=140,故选D. 4.(2017山东潍坊,10,3分)如图,四边形ABCD为O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AOCD,垂足 为E,连接BD,GBC=50,则DBC的度数为( ) A.50 B.60 C.80 D.85 答案答案 C 由圆内接四边形的性质,得ADC+ABC=180,又ABC+GBC=180,ADC=GBC= 50,又AOCD,DAE=40.延长AE交O于点F.由垂径定理,得=,DBC=2DAF=80. DF CF 5.(2020河南,15,3分)如图,在扇形BOC中,BOC=60,OD平分BOC交于点D,点E为半径OB上

23、一动 点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 . BC 答案答案 2+ 2 3 解析解析 如图,作点D关于OB的对称点A,连接AC,交OB于点E,连接OA,则OA=OB=2.当点E位于E时,阴影部 分周长取得最小值,BOC=60,OD平分BOC,BOD=COD=30,AOB=30,AOC=90, 在RtAOC中,AC=2,即DE+EC的最小值为2,又的长为=,阴影部分 周长的最小值为2+. 22 AOOC22CD 302 180 3 2 3 思路分析思路分析 作出点D关于OB的对称点A,连接AC,OA,则AC的长即为CE+DE的最小值,分别求得AC的长 和的长,相加可得阴影部分周长的最小值.

24、 CD 6.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则 CD的长为 . 答案答案 2 解析解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB, COB为等边三角形,BC=2.CBA=45,CDAB, CB=CD,CD=. 22 解题关键解题关键 连接OC、OB,得到COB是等边三角形是解答本题的关键. 7.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是O上的四个点,=.若AOB=58,则BDC= 度. AB BC 答案答案 29 解析解析 连接OC,=,AOB=BOC=58,又点D在圆上,BDC=BOC=2

25、9. AB BC 1 2 8.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD= 6,则AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD= 30,因为=cos 30,所以AB=4. 在RtABC中,AC=ABcos 60=4=2. AD AB 6 3 2 3 3 1 2 3 9.(2019内蒙古包头,24,10分)如图,在O中,B是O上一点,ABC=120,弦AC=2,弦BM平分ABC交 AC于点D,连接MA,MC. (1)求O半径的长; (2)求证

26、:AB+BC=BM. 3 解析解析 (1)ABC=120,BM平分ABC, MBA=MBC=ABC=60. 易知ACM=ABM=60,MAC=MBC=60, AMC是等边三角形. 如图,连接OA,OC, AO=CO,AOC=2AMC=120, OAC=OCA=30.作OHAC于点H, AH=CH=AC=. 在RtAOH中,cosOAH=, 即=,AO=2. O半径的长为2.(4分) 1 2 1 2 3 AH AO 3 AO 3 2 (2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE, MBC=60,BE=BC,EBC为等边三角形, CE=CB=BE,BCE=60, BCD+DCE=60. ACM=6

27、0,ECM+DCE=60,ECM=BCD. AMC为等边三角形,AC=MC,ACBMCE,AB=ME. ME+EB=BM,AB+BC=BM.(10分) 10.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是的中点,则DF的长为 ; 取的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形. BD BD AE 解析解析 (1)证明:BA=BC,ABC=90, CAB=C=45. AB为半圆O

28、的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD.(3分) DAF和DBG都是所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG.(5分) (2)4-2.(7分) 30(注:若填30,不扣分).(9分) 详解:如图,过F作FMAB于M,点E是的中点, DE 2 BD BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45=, =,即BF=FD. AB=4, BD=4cos 45=2, FM BF 2 2 FD BF 2 2 2 2 BF+FD=2,即(+1)FD=2, FD=4-2. 连接OH,EH,点H是的中点, OHAE, AEB=90, BEA

29、E, BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB=AB, sinEAB=, EAB=30. 222 2 2 21 2 AE 1 2 BE AB 1 2 一、选择题(每小题3分,共18分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:44分 1.(2020保定莲池一模,5)如图,弦AB和CD相交于点P,B=30,APD=80,则A等于( ) A.30 B.50 C.70 D.100 答案答案 C BPC=APD=80,B=30,C=180-BPC-B=180-80-30=70,根据同弧所对的 圆周角相等可得A=C=70.故选C. 2.(2020唐山滦州一模,13)如图,

30、AB是O的直径,C,D是O上AB两侧的点,若D=30,则tanABC的值 为( ) A. B. C. D. 1 2 3 2 3 3 3 答案答案 C 根据同弧所对的圆周角相等可得A=D=30,AB是O的直径,ACB=90,ABC+ A=90,ABC=60,tanABC=,故选C. 3 3.(2020唐山路北一模,12)如图,点A,B,C,D,E都是O上的点,=,B=122,则D=( ) A.58 B.116 C.122 D.128 AC AE 答案答案 B 连接AC、CE, 四边形ABCE内接于O,AEC+B=180, B=122, AEC=180-122=58,=,ACE=AEC=58, C

31、AE=180-ACE-AEC=180-58-58=64,四边形ACDE内接于O,D+CAE=180, D=180-64=116,故选B. AC AE 4.(2019唐山滦南一模,10)如图,圆上有两点A,B,连接AB,分别以A,B为圆心,AB的长为半径画弧,两弧相交 于点C,D,CD交AB于点E,交于点F.若EF=1,AB=6,则该圆的半径是( ) A.10 B.6 C.5 D.4 AB 答案答案 C 由尺规作图知ABCD且CD平分AB,AE=BE=AB=3, 设该圆的半径为r, 则r2=(r-1)2+32, 解得r=5,即该圆的半径是5,故选C. 1 2 5.(2019保定一模,3)如图,B

32、C是O的直径,A是O上一点,OAC=32,则B的度数是( ) A.58 B.60 C.64 D.68 答案答案 A OA=OC,C=OAC=32, BC是O的直径,BAC=90,B=90-32=58,故选A. 6.(2019唐山路南期末,14)如图,AB是O的直径,点C在O上,BAC=30,点P在线段OB上运动,设ACP =x,则x的取值范围是( ) A.x90 B.x30 C.30x90 D.30 x90 答案答案 D 当点P位于O点时,ACP=CAB=30,此时x的值最小; 当点P位于B点时,根据直径所对的圆周角是90可得ACP=90,此时x的值最大. 于是30 x90.故选D. 二、填空

33、题(每小题3分,共6分) 7.(2020承德模拟改编)如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标 为(-3,2),则该圆弧所在圆的圆心坐标是 . 答案答案 (-2,-1) 解析解析 作AC与AB的垂直平分线,相交于点M,则点M即是该圆弧所在圆的圆心.点A的坐标为(-3,2), 点M的坐标为(-2,-1). 8.(2019石家庄新华一模改编)如图,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长度 为 . 答案答案 2 3 解析解析 过O作ODAB,交圆O于点D,交AB于点C,连接OA,则C为AB的中点,即AC=BC, 由折叠得到CD=OC=OD=

34、1, 在RtAOC中,由AC2+OC2=OA2,得AC2+12=22, 解得AC=(舍去负值),则AB=2AC=2. 1 2 33 三、解答题(共20分) 9.(2020唐山路北期末,21)如图,在RtABC中,C=90,B=30. (1)用直尺和圆规作O,使圆心O在BC边上,且O经过A,B两点(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接AO,求证:AO平分CAB. 解析解析 (1)如图,O即为所作. (2)证明:OA=OB,B=30,OAB=B=30,C=90, CAB=90-B=60,CAO=BAO=30,AO平分CAB. 10.(2018秦皇岛卢龙期末,24)如图,AB是O的直径,CD是O的

35、一条弦,且CDAB于点E. (1)求证:BCO=D; (2)若CD=4,AE=2,求O的半径. 2 解析解析 (1)证明:OC=OB,BCO=B. B=D,BCO=D. (2)AB是O的直径,且CDAB于点E, CE=CD=4=2. 在RtOCE中,OC2=CE2+OE2, 设O的半径为r,则OC=r,OE=OA-AE=r-2, r2=(2)2+(r-2)2,解得r=3.O的半径为3. 1 2 1 2 22 2 一、选择题(每小题3分,共18分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:35分钟 分值:47分 1.(2020保定定州期末,12)如图,AB是半圆O的直径,AC为弦,ODAC于

36、点D,过点O作OEAC交半圆O于 点E,过点E作EFAB于点F.若AC=2,则OF的长为( ) A. B. C.1 D.2 1 2 3 4 答案答案 C ODAC,AC=2,AD=AC=1, OEAC,DAO=FOE, ODAC,EFAB,ADO=OFE=90, 又AO=OE,ADOOFE,OF=AD=1,故选C. 1 2 2.(2020石家庄十八县模拟,13)已知锐角AOB如图. (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交于点M,N; (3)连接OM,MN. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错

37、误的是 ( ) PQ PQ A.COM=COD B.若OM=MN,则AOB=20 C.MNCD D.MN=3CD 答案答案 D 连接CM,DN,ON,由作图知CM=CD=DN,COM=COD=DON,选项A正确; 若OM=MN,易得OMN是等边三角形, MON=60,AOB=60=20,选项B正确; 设MN与OA交于点E,与OB交于点F,易证MOENOF, OE=OF,又OC=OD,OEF=OFE=OCD=ODC, MNCD,选项C正确; MC=CD=DN,MC+CD+DN=3CD.根据两点之间线段最短可知MNMC+CD+DN,即MN3CD,选项D 错误.故选D. 1 3 3.(2019唐山迁

38、安期末,8)如图,点A、B、C在O上,ACB=40,点D在上,M为半径OD上一点,则 AMB的度数不可能为 ( ) A.45 B.60 C.75 D.85 ACB 答案答案 D 连接OA,OB,AD,BD. AOB=2ACB=80,ADB=ACB=40, ADBAMBAOB,40AMB80,故选D. 思路分析思路分析 连接OA,OB,AD,BD.根据ADBAMBAOB,可得40AMB80,由此即可判断. 4.(2019保定一模,10)如图,以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD,其中ACB=90.连 接CD,当CD的长度最大时,CAB的大小是( ) A.75 B.45 C.30

39、 D.15 答案答案 B AB的长一定,ACB=90,点C在以AB为直径的圆上. 只有C点到AB的距离最大时,CD的长度最大, 即当点C为半圆的中点时,CD的长度最大,此时AC=BC, CAB的大小是45.故选B. 5.(2018张家口桥东一模,12)如图,半径为5的A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是BAC,EAD,若ED= 6,BAC+EAD=180,则弦BC的长等于( ) A.8 B.10 C.11 D.12 答案答案 A 过点A作AGBC,垂足为G, 过点A作AHDE,垂足为H, AC=AB,CG=BG,BAG=CAG=BAC, 同理DH=EH=DE,EAH=DAH=DAE. BAC+

40、EAD=180, BAC+EAD=90, CAG+DAH=90, CAG+ACB=90,ACB=DAH. ACGDAH,DH=AG, DE=6,DH=DE=3,AG=3, 在RtACG中,CG=4, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 -AC AG 22 5 -3 BC=2CG=8,故选A. 6.(2018唐山丰南一模,7)已知AOB,作图.步骤1:在OB上任取一点M,以点M为圆心,MO长为半径画半圆, 分别交OA,OB于点P,Q; 步骤2:过点M作PQ的垂线交于点C; 步骤3:画射线OC. 则下列判断:=;MCOA;OP=PQ;OC平分AOB,其中正确的个数为( ) A.1

41、 B.2 C.3 D.4 PQ PC CQ 答案答案 C MCPQ,=,正确; OQ为M的直径,OPPQ, MCPQ,MCOA,正确; AOB没有强调是45, OP不一定与PQ相等,错误; MCOA,AOC=OCM, OM=CM,OCM=COM, AOC=COM,即OC平分AOB,正确,故选C. PC CQ 解题关键解题关键 熟练掌握垂径定理是解题的关键. 二、填空题(每小题3分,共9分) 7.(2020廊坊广阳一模,11)如图,在ABC中,A=60,BC=5 cm,能够将ABC完全覆盖的最小圆形纸片的 直径是 . 答案答案 cm 10 3 3 解析解析 能够将ABC完全覆盖的最小圆是ABC的

42、外接圆,设圆的圆心为点O,连接OB,OC,作ODBC于 点D,则ODB=90, A=60,BOC=120, 又OB=OC,BC=5 cm,BOD=BOC=60,BD= cm,OB= cm,2OB= cm, 即能够将ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm. 1 2 5 2 5 2 sin60? 5 3 3 10 3 3 10 3 3 解后反思解后反思 将ABC完全覆盖的最小圆形纸片一定经过ABC的三个顶点,也就意味着圆心到这三个 点的距离相等.解答本题的关键是明确题意,作出合适的辅助线. 8.(2020石家庄线上模拟改编)如图,已知点O是ABC的外心,连接AO并延长交BC于点D,若B=40,

43、C =68,则ADC的度数为 . 答案答案 62 解析解析 以O为圆心,OA长为半径画圆, 点O是ABC的外心,B,C,A三点共圆. 延长AD交圆于点E,连接CE,则ACE=90, B=40,ACB=68, E=B=40,ECD=90-68=22, ADC=E+ECD=40+22=62. 解题关键解题关键 正确作出辅助线,画出三角形的外接圆是解题的关键. 9.(2020廊坊霸州期末改编)如图,O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,点M为劣弧FG的 中点.若FM=4,则点O到FM的距离是 . 2 答案答案 2 6 解析解析 连接OM,作OHMF于点H,六边形OABCDE是正六边

44、形,AOE=120, 点M为劣弧FG的中点,AOM=60, 又OHMF,OF=OM,HM=FM=2,OMF=60, OH=HM=2.点O到FM的距离为2. 1 2 2 366 三、解答题(共20分) 10.(2020唐山路北二模,23)在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,AD上的点,过点F作EF的垂线交DC于点H,以 EF为直径作半圆O. (1)填空:点A (填“在”或“不在”)O上; 当=时,tanAEF的值是 ; (2)如图1,在EFH中,当FE=FH时,求证:AD=AE+DH; (3)如图2,当EFH的顶点F是边AD的中点时,请直接写出EH、AE、DH三条线段的数量关系. AE AF

45、解析解析 (1)在;1. 四边形ABCD为矩形,A=90,点A在O上. =,AE=AF,AEF=45,tanAEF=1. (2)证明:EFFH,EFH=90, 在矩形ABCD中,A=D=90, AEF+AFE=90,AFE+DFH=90, AEF=DFH, 又FE=FH,AEFDFH(AAS), AF=DH,AE=DF, AD=AF+DF=DH+AE. (3)EH=AE+DH. 提示:延长HF交BA的延长线于点G.则AFG=DFH, FAG=D=90,AF=DF,AFG=DFH, AGFDHF(ASA), AE AF AG=DH,FG=FH,EFG=EFH=90,EG=EH, EH=EG=AE

46、+AG=AE+DH. 解后反思解后反思 判断线段之间的关系时,常常利用勾股定理或三角形相似(全等)等知识进行分析. 11.(2019秦皇岛卢龙期末,24)已知ABC,以AB为直径的O交AC于D,交BC于E,连接ED.若ED=EC. (1)求证:AB=AC; (2)若AB=4,BC=2,求CD的长. 3 解析解析 (1)证明:ED=EC, CDE=C, 又四边形ABED是O的内接四边形, CDE=B, B=C, AB=AC.(4分) (2)连接AE, 易知AEBC, BE=EC=BC, 在ABC与EDC中, C=C,CDE=B, ABCEDC,(6分) =,即DC=, 由AB=4,BC=2,得DC=.(8分) 1 2 AB DE BC DC BC DE AB 2 2 BC AB 3 2 (2 3) 24 3 2