2021年北京中考数学复习练习课件：§4.2　三角形及其全等.pptx

1、 中考数学 （北京专用） 4.2 三角形及其全等 北京中考题组 1.(2020北京,3,2分)如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是( ) A.1=2 B.2=3 C.14+5 D.23,同理2是 COB的外角,25,选项B、D错误;1是COB的外角,所以1=4+5,选项C错误.故选A. 2.(2020北京,14,2分)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 ABDACD,这个条件可以是 (写出一个即可). 答案答案 答案不唯一,如:D是BC的中点 解析解析 根据题意可知AB=AC,B=C, 若根据“边角边”判定ABDACD, 可以添加

2、BD=CD(D是BC的中点); 若根据“角边角”判定ABDACD, 可以添加BAD=CAD(AD平分BAC); 若根据“角角边”判定ABDACD, 可以添加BDA=CDA(ADBC或ADC=90),答案不唯一. 3.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位 小数) 答案答案 2.6 解析解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得ABC的面积约为2.6 cm2. 4.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交 点). 答案答案 45

3、解析解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等腰直角三角形,CPB=45.PAB+PBA=45. 5.(2016北京,14,3分)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m.已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m. 答案答案 3 解析解析 如图,由题意可知,B=C=45,ADBC,BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6,AD=3.即路 灯的高为3 m. 6.(2018北京,17,5分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P.求作:直

4、线PQ,使得PQl.作法:如图, 在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B; 在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AB= ,CB= , PQl( )(填推理的依据). 解析解析 (1)补全图形,如图所示: (2)AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边. 7.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36

5、,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC. 证明证明 AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36, ABD=A,AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC. 8.(2017北京,20,3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作 两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利 用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证. (以上材料来源于古证复原的原则吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽) 请根据上图完成这个推论的证明过程. 证明:S矩形NF

6、GD=SADC-(SANF+SFGC), S矩形EBMF=SABC-( + ). 易知,SADC=SABC, = , = . 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF. 解析解析 SAEF;SFMC;SANF;SAEF;SFGC;SFMC. 9.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN, BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长. 解析解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点,BM=AC. N为CD的中点, MN=AD.AC=AD,BM=MN. (

7、2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN=1. 在RtBMN中,BN=. 1 2 1 2 22 BMMN2 思路分析思路分析 (1)本题要考虑中点的作用,中点+直角三角形要想到斜边中线等于斜边一半;双中点要想到 中位线定理.(2)由(1)证明BMN=90,再应用勾股定理计算. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要明确中点和特殊角的作用,同时要把已知条件放在三角形中来解决. 教师专用题组 考点一 三角形的相关概念与性质 1.(2020河北

8、,6,3分)如图1,已知ABC,用尺规作它的角平分线. 如图2,步骤如下, 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E; 第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在ABC内部交于点P; 第三步:画射线BP.射线BP即为所求. 图1 下列正确的是( ) A.a,b均无限制 B.a0,bDE的长 C.a有最小限制,b无限制 D.a0,b0,bDE的长,故选B. 1 2 2.(2020广西北部湾经济区,11,3分)九章算术是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读k n,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推

9、开双门,双 门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是( ) 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 答案答案 C 如图,过O作OECD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC=1寸. 设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=(x-1)寸, 在RtADF中,AD2=AF2+DF2, 即x2=(x-1)2+102, 解得x=,故AB=2x=101寸,故选C. 1 2 101 2 3.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种

10、 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 答案答案 B 围成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长, 根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正 方形纸片的面积, 所以选项C不符合题意. 其他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1; B选项中,直角三角形的面积为; D选项中,直角三角形的面积为1, 所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积

11、最大,故选B. 6 2 解题关键解题关键 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键. 4.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC 于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若 BG=1,AC=4,则ACG的面积是( ) A.1 B. C.2 D. 1 2 3 2 5 2 答案答案 C 由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是 14=2.故选C. 1 2 思路分析思路分析 先判断A

12、F是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的 距离,最后根据三角形面积公式求解即可. 5.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于 AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 ( ) A.2 B.4 C.3 D. 1 2 210 答案答案 A 连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,AF=CF,AB=CB,易得1=2, ADBC,2=3,1=3,AB=AF,BC=CF=AF=3,FD=AD-AF=1.在Rt

13、DCF中,由勾股定 理得CD=2,故选A. 22 FCDF2 6.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分 别以点B,D为圆心,大于BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC 的长度是( ) A.2 B.3 C. D. 1 2 35 答案答案 D 由作图叙述可知CEAB, AE=2,BE=1, AB=AC=3,在RtACE中,CE=,故选D. 22 325 7.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,

14、AD =AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案答案 D AB=AC,B=C. B=180-(C+BAC)=35,C=35. DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45, EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 8.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60 ,C=25,则BAD为( ) A.50 B.70 C.75 D.80 答案答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线, 所以AD=DC, 所以DAC=C=25, 所以ADC=180-(25+2

15、5)=130. 因为ADC=B+BAD, 所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B. 9.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁 剪线长度所标的数据(单位:cm)的是( ) 不正确 答案答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10,因为10A+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180, ABC的内角和等于180. (3)证明:原式可变形为=, a acb2 acb c (a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2

16、=2ac,a2+c2=b2,ABC是以B为直角的直角三角形. 考点二 全等三角形 1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC 答案答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定 定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C. 2.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边

17、BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长 为 . 答案答案 9 解析解析 AB=AC,B=C.又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9. 3.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中: ABC=ADC; AC与BD互相平分; AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角; 四边形ABCD的面积S=AC BD. 正确的是 .(填写所有正确结论的序号) 1 2 答案答案 解析解析 在ABC和ADC中, ABCADC(SSS), ABC=ADC,正确. ABCADC,BAC=DAC, 在ABO和ADO中,

18、ABOADO. 同理,CBOCDO. OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90,ACBD, AO与OC不一定相等,不正确. ABCADC,BAC=DAC,ACB=ACD, , , , ABAD BCDC ACAC , , , ABAD BACDAC AOAO ABD和CBD不一定相等,不正确. ACBD, 四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=BD AO+BD CO=BD (AO+CO)=AC BD,正确. 1 2 1 2 1 2 1 2 解题关键解题关键 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 4.(2020福建,18,8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,

19、且BE=DF. 求证:BAE=DAF. 证明证明 本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几 何直观. 四边形ABCD是菱形,B=D,AB=AD. 在ABE和ADF中, ABEADF,BAE=DAF. 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. , , , ABAD BD BEDF 5.(2019河南,17(1),5分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.求证:ADFBDG. BD 证明证明 BA=BC,ABC=90, CAB=C

20、=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD.(3分) DAF和DBG都是所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG.(5分) DE 6.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不 与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值. 备用图 解析解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE,

21、ABCADE.(3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE.(4分) (2)PD=6-x.(5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大. B=30,AB=6,x=AB=6=3. PD的最大值为3.(7分) (3)m=105,n=150.(9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=ACP,所以AIC=180-PAC-ACP= 90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+B=105, 随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150, 即105AIC15

22、0,所以m=105,n=150. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得 PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC= 90+ APC,可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AICAC)的中线,该线段是( ) A.线段GH B.线段AD C.线段AE D.线段AF 答案答案 B 通过观察可知,点D为线段BC的中点,则线段AD符合题意.故选B. 3.(2020

23、北京大兴一模,13)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边的中点,若DE=2,则BC边的长为 . 答案答案 4 解析解析 D、E分别为AB、AC边的中点,DE是ABC的中位线.BC=2DE=4. 4.(2019北京西城一模,9)如图,在线段AD,AE,AF中,ABC的高是线段 . 答案答案 AF 解析解析 因为AFBC,所以ABC的高是线段AF. 5.(2019北京密云一模,9)如图所示的网格是正方形网格,则线段AB和CD的长度关系为:AB CD (填“”“”或“=”). 答案答案 解析解析 设网格小正方形的边长为1,由勾股定理可得,AB=,CD=,即ABCD. 510510 6.(202

24、0北京朝阳一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,ADBC于点D,DEAC于点E. 求证:BAD=CDE. 证明证明 AB=AC,B=C. ADBC,ADB=90. BAD+B=90. DEAC,DEC=90. CDE+C=90. BAD=CDE. 7.(2018北京海淀一模,19)如图,ABC中,ACB=90,D为AB的中点,连接CD,过点B作CD的平行线EF,求 证:BC平分ABF. 证明证明 ACB=90,D为AB的中点, CD=AB=BD,ABC=DCB. DCEF,CBF=DCB, CBF=ABC,BC平分ABF. 1 2 8.(2018北京朝阳一模,19)如图,在ACB中,AC=

25、BC,AD为ACB的高线,CE为ACB的中线.求证:DAB =ACE. 证明证明 AC=BC,CE为ACB的中线, CAB=B,CEAB,CAB+ACE=90, B+ACE=90. AD为ACB的高线,D=90, DAB+B=90,DAB=ACE. 考点二 全等三角形 1.(2019北京平谷一模,12)如图,在ABC中,射线AD交BC于点D,BEAD于E,CFAD于F,请补充一个条 件,使BEDCFD,你补充的条件是 (填出一个即可). 答案答案 答案不唯一,如BD=CD 解析解析 由已知条件可知BDE=CDF,BED=CFD=90,所以只需要添加一对边相等的条件,如BD= CD,答案不唯一.

26、 2.(2020北京海淀一模,19)如图,已知等边三角形ABC,延长BA至点D,延长AC至点E,使AD=CE,连接CD,BE. 求证:ACDCBE. 证明证明 ABC是等边三角形, AC=BC,CAB=ACB=60. CAD=BCE=120. 在ACD和CBE中, ACDCBE(SAS). , , , ADCE CADBCE ACCB 3.(2020北京丰台一模,19)如图,在ABC中,CAB=CBA,ADBC于点D,BEAC于点E.求证:AD=BE. 证明证明 CAB=CBA,CA=CB. ADBC于点D,BEAC于点E, SABC=BC AD=AC BE,AD=BE. 1 2 1 2 一题

27、多解一题多解 CAB=CBA,CA=CB. ADBC于点D,BEAC于点E, ADC=BEC=90, ACD=BCE, ADCBEC(AAS). AD=BE. 4.(2018北京丰台二模,19)如图,E,C是线段BF上的两点,BE=FC,ABDE,A=D,AC=6,求DF的长. 解析解析 ABDE,ABC=DEF. BE=FC,BE+EC=FC+EC,BC=EF. 又A=D,ABCDEF,AC=DF. 又AC=6,DF=6. 一、选择题(每小题2分,共8分) B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:40分 1.(2020北京东城一模,6)已知锐角AOB,如图, (1)在射线

28、OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,两弧交于点P,连接CP,DP; (3)作射线OP交CD于点Q. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ) A.CPOB B.CP=2QC C.AOP=BOP D.CDOP MN 答案答案 A 由作图可知:射线OP即为AOB的平分线, AOP=BOP. 故C结论正确,不符合题意; 由作图(1)、(2)可知:OC=OD,CP=DP, OP是CD的垂直平分线.CDOP. 故D结论正确,不符合题意; 由作图(2)可知:CD=CP=PD,CDP是等边三角形. CDOP,C

29、P=2CQ. 故B结论正确,不符合题意; AOP=BOP,当OC=CP时,AOP=CPO, CPO=BOP.CPOB. 故A结论错误.故选A. 思路分析思路分析 由作图知OC=OD,CD=CP=DP,根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和 判定、角平分线的基本作图,逐一判断可得. 解题关键解题关键 解决本题的关键是熟悉常见的图形性质和判定等知识,同时掌握作图方法. 2.(2020北京平谷一模,5)已知锐角AOB如图, (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作弧DE,交射线OB于点F,连接CF; (2)以点F为圆心,CF长为半径作弧,交弧DE于点G; (3)连接FG,

30、CG.作射线OG. 根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是( ) A.BOG=AOB B.若CG=OC,则AOB=30 C.OF垂直平分CG D.CG=2FG 答案答案 D 由作图可得,OC=OG,FC=FG, 又OF=OF, OCFOGF(SSS). BOG=AOB.故选项A结论正确; 若CG=OC,则CG=OC=OG, 则OCG是等边三角形,COG=60. AOB=COG=30. 故选项B结论正确;OC=OG,FC=FG,OF垂直平分CG.故选项C结论正确;CG=2MG2FG,故选项D结 论错误.故选D. 1 2 3.(2019北京门头沟一模,4)如图,ABC为等边三角形,如果沿图

31、中虚线剪去B,那么1+2等于( ) A.120 B.135 C.240 D.315 答案答案 C 如图,3+4=180-B=120.1+3=180,2+4=180,1+2=360-120=240. 故选C. 4.(2018北京海淀一模,1)用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是( ) 答案答案 A 由高线的定义可知选项A符合题意.故选A. 二、填空题(每小题2分,共8分) 5.(2020北京西城一模,14)如图,ABC的顶点A,B,C都在边长为1的正方形网格的格点上,BDAC于点D, 则AC的长为 ,BD的长为 . 答案答案 5;3 解析解析 过点A作AEBC交BC于点E

32、,在直角三角形AEC中,AE=3,EC=4,则AC=5.于是有BCAE= ACBD,其中BC=AC,则BD=AE=3. 1 2 1 2 6.(2020北京房山一模,12)如图所示的网格是正方形网格,则PAB-PCD= .(点A,B,C,D,P是网 格线交点) 答案答案 45 解析解析 连接AE,PE, 则EAB=PCD, 故PAB-PCD=PAB-EAB=PAE, 设正方形网格的边长为a,则PA=a,PE=a,AE=a, PA2+PE2=5a2+5a2=10a2=AE2, APE是直角三角形,APE=90,又PA=PE,PAE=PEA=45,PAB-PCD=45. 22 (2 )aa55 22

33、 (3 )aa10 思路分析思路分析 本题可以借助勾股定理的逆定理判断三角形的形状,进而得到特殊的直角三角形. 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过添加辅助线,在网格中借助勾股定理及其逆定理得到等腰直角三角 形,从而得到PAB-PCD的度数. 7.(2019北京顺义一模,14)如图,DE为ABC的中位线,点F在DE上,且AFB=90,若AB=6,BC=8,则EF的 长为 . 答案答案 1 解析解析 DE为ABC的中位线,DE=BC=4. AB=6,AFB=90,DF=AB=3. EF=DE-DF=1. 1 2 1 2 8.(2018北京东城一模,13)含30角的直角三角板与直线l1,l2的位

34、置关系如图所示,已知l1l2,1=60.以下 三个结论中正确的是 (只填序号).AC=2BC;BCD为正三角形;AD=BD. 答案答案 解析解析 由l1l2,1=60,可得CDB=60,又CBD=60,所以BCD为正三角形;ACD=A=30,所以 AD=CD=BD.所以正确的结论是. 三、解答题(共24分) 9.(2018北京东城一模,19)如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于点D.BF平分ABC,交AD于点E,交AC 于点F.求证:AE=AF. 证明证明 BAC=90,FBA+AFB=90. ADBC,DBE+DEB=90. BF平分ABC,DBE=FBA, AFB=DEB, 又DEB

35、=FEA,AFB=FEA,AE=AF. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要借助等角的余角相等,通过等量代换解决. 10.(2019北京石景山二模,21)如图,AB平分CAD,ACB+ADB=180. (1)求证:BC=BD; (2)若BD=10,cosADB=,求AD-AC的值. 2 5 解析解析 (1)证明:在AD上截取AE,使得AE=AC,连接BE. AB平分CAD,CAB=EAB. AB=AB,ACBAEB, BC=BE,ACB=AEB. ACB+ADB=180,AEB+BED=180, ADB=BED,BE=BD.BC=BD. (2)作BFAD于点F,由(1)知BE=BD,EF=DF

36、, 在RtBFD中,BD=10,cosADB=, DF=4,DE=8,AD-AC=AD-AE=DE=8. 2 5 11.(2019北京房山一模,27)已知:RtABC中,ACB=90,AC=BC. (1)如图1,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点B作BEAD,交AD的延长线于点E,连接CE. 若BAD=,求DBE的大小(用含的式子表示); (2)如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BEAD,垂足E在线段AD上,连接CE. 依题意补全图2; 用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)依题意,CAB=45, BAD=, CAD=45-. ACB=90,BEAD,ADC=BDE, DBE=CAD=45-.(2分) (2)补全图形如图,(4分) 猜想:当D在BC边的延长线上时,EB-EA=EC.(5分) 证明:过点C作CFCE, 2 交AD的延长线于点F. ACB=90, ACF=BCE. CA=CB,CAF=CBE, ACFBCE.(6分) AF=BE,CF=CE. ECF=90, EF=EC. 即AF-EA=EC. EB-EA=EC.(7分) 2 2 2 解题关键解题关键 解决本题的关键是借助等腰直角三角形,发现“共点等线段”,进而通过全等三角形的判定 与性质寻找线段等量关系.