2021年北京中考数学复习练习课件：§5.3　解直角三角形.pptx

1、 中考数学 （北京专用） 5.3 解直角三角形 北京中考题组 (2018北京,22,5分)如图,AB是O的直径,过O外一点P作O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接 OP,CD. (1)求证:OPCD; (2)连接AD,BC,若DAB=50,CBA=70,OA=2,求OP的长. 解析解析 (1)证明:PC,PD是O的两条切线, PD=PC,OPD=OPC, OPCD. (2)设OP与CD交于点Q,连接OD. OD=OA, ODA=OAD=50, CBA=70, ADC=110,ODC=60. 又OPCD,OQD=90, OQ=OD sin 60=2=,DQ=OD cos 60=1. P

2、D是切线,PDO=90,PDC=30, PQ=DQ tan 30=1=.OP=PQ+QO=. 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 思路分析思路分析 本题第(1)问可以通过切线的相关定理和等腰三角形“三线合一”来解决.本题第(2)问需要 添加辅助线构造三角形来推导角的度数,借助特殊角的三角函数解决问题. 思路分析思路分析 先利用cos A的值和勾股定理求出BC的长,再利用cosDBC=cos A=求出BD的长. 4 5 教师专用题组 考点一 锐角三角函数 1.(2020安徽,8,4分)如图,RtABC中,C=90,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cos A=,则BD的长度为 ( ) A

3、. B. C. D.4 4 5 9 4 12 5 15 4 答案答案 C 在RtABC中,C=90,AC=4,cos A=,AB=5,BC=3,DBC=A, cosDBC=,BD=,故选C. AC AB 4 5 22 ABAC BC BD 4 5 15 4 2.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,D是AB的中点,BECD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2,则BE的长为( ) A. B. C. D. 2 2 6 3 6 2 32 答案答案 A 在RtABC中,AB=2, sinABC=, D是AB的中点,CD=BD,DCB=ABC, 在RtBCE中,s

4、inECB=,=, 解得BE=. 22 ACBC 22 2(2 2) 3 AC AB 2 2 3 3 3 BE BC2 2 BE 2 2 BE3 3 2 6 3 3.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 13 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=.故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26 26 4.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,

5、且每个小正方形的边长都为1,则tanBAC的值为 ( ) A. B.1 C. D. 1 2 3 3 3 答案答案 B 如图,连接BC. 在ABD和BCE中, ABDBCE(SAS), AB=BC,ABD=BCE. BCE+CBE=90, ABD+CBE=90,即ABC=90, tanBAC=1,故选B. , 90 , , ADBE ADBBEC BDCE BC AB 5.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地 面夹角的正切值等于( ) A. B. C. D. 5 13 12 13 5 12 13 12 答案答案 C 在直角

6、三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的 正切值等于=,故选C. 50 120 5 12 思路分析思路分析 先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值. 6.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是上一点(不与A,B重合), 连接OP,设POB=,则点P的坐标是( ) A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos ) C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos ) AB 答案答案 C 过P作PQOB,交OB于点Q, 在RtOPQ中,OP=1,POQ=, sin =,cos =,即PQ

7、=sin ,OQ=cos , 点P的坐标为(cos ,sin ).故选C. PQ OP OQ OP 7.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时 针旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 . 答案答案 1 解析解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE =AC,AEC=55,DEC=100-55=45,tanDEC=1. 18070 2 解题关键解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键. 8.(2017四

8、川绵阳,18,3分)如图,过锐角ABC的顶点A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC 的延长线于点F,在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,AMH的面积是 ,则的值是 . 1 3 1 12 1 tanACH 答案答案 8- 15 解析解析 过H作HGAC于点G,如图. AF平分EAC,EAF=CAF. DEBF,EAF=AFC, CAF=AFC,CF=CA=2. AM=AF,AMMF=12. DEBF,=, 1 3 AH CF HM MC AM MF 1 2 AH=1,SAHC=3SAHM=, 2GH=,GH=, 在RtAHG中,AG=, G

9、C=AC-AG=2-=, =8-. 1 4 1 2 1 4 1 4 22 AHGH 15 4 15 4 815 4 1 tanACH GC GH 15 解题思路解题思路 过H作HGAC于点G,构造直角三角形,再分别求出相应的边即可. 9.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次 海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80 海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正 南方向的D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:si

10、n 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75) 解析解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD=,0.34, CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD=,0.75, BD20.4. 答:还需要航行的距离BD的长约为20.4海里. CD AC80 CD BD CD27.2 BD 考点二 解直角三角形 1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A处测得直立 于地面的大树顶端C的仰角为36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走

11、13米至坡顶B处,再沿水平方向行走6 米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=12.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73)( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米 答案答案 A 作BFAE于F,如图所示, 易知四边形BDEF为矩形, 则FE=BD=6米,DE=BF, 斜面AB的坡度i=12.4, AF=2.4BF, 设BF=x米,则AF=2.4x米, 在RtABF中,x2+(2.4x)2=132, 解得x=5, DE=BF=5米,AF=12米, AE=AF+FE=18米, 在RtACE中,CE=

12、AE tan 36180.73=13.14米, CD=CE-DE=13.14-58.1米,故选A. 2.(2020江西,20,8分)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是 其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑 板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位) (1)若DCB=80,CDE=60,求点A到直线DE的距离; (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在

13、直 线DE上即可,求CD旋转的角度. (参考数据:sin 400.,cos 400.766,tan 400.839,sin 26.60.448,cos 26.60.894,tan 26.60. 50 0, 1.732) 3 解析解析 (1)如图1,过点C作CHDE于点H. CD=80,CDE=60, sin 60=, CH=40401.732=69.28. 图1 作AMDE交ED的延长线于点M,CNAM于点N,则四边形NMHC是矩形. MN=CH=40,NCMH,NCD=CDE=60. DCB=80, ACN=180-80-60=40. CH CD80 CH3 2 3 sinACN=,AC=8

14、0, AN=80sin 40800.643=51.44. AM=AN+NM=51.44+69.28120.7. 答:点A到直线DE的距离为120.7 mm. (2)解法一: AB绕着点C逆时针旋转10, DCB=90.如图2.连接BD. DC=80,CB=40,tanCDB=0.5. CDB26.6. BDE60-26.6=33.4. 答:CD旋转的度数约为33.4. AN AC CB CD 40 80 解法二: 当点B落在DE上时,如图3. 在RtBCD中,BC=40,CD=80,(DCB=90,同解法一) tanBDC=0.5. BDC26.6. CDC=BDC-BDC60-26.6=33

15、.4. 答:CD旋转的度数约为33.4. BC CD 40 80 图3 思路分析思路分析 (1)分别作CHDE,AMED,CNAM,构造RtCDH、RtCAN,然后利用sinCDH=sin 60 =和sinACN=sin 40=求出CH和AN,而NM=CH,问题解决;(2)两种解法:根据AB绕点C逆时针 旋转10可判断DCB=90,连接BD构造直角三角形DCB,利用tanCDB求出CDB,再利用BDE= CDE-CDB求出BDE,问题解决;当点B落在DE上时,在RtBCD中利用tanBDC求出BDC,再根 据CDC=BDC-BDC即可求出CD旋转的度数. CH CD AN AC 图2 3.(2

16、019四川成都,18,8分)2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都 市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35,底 部D的俯角为45,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70) 解析解析 如图,作CEAB于点E,AEC=CEB=90, 由题意得CDB=EBD=90,1=35,2=45. 四边形CDBE为矩形. CD=BE,CE=DB. 在RtABD中,BD=AB=20米, CE=20米. 在RtACE

17、中,AE=CE tan1. BE=AB-AE=20-20 tan 356米. CD6米. 答:起点拱门CD的高度约为6米. 解题关键解题关键 本题为解直角三角形的实际问题,过点C作CEAB构造出直角三角形和矩形是解题关键. 4.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH; 在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=120,EF=10,直接写出线段MN的长

18、. 3 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示). 解析解析 性质探究 .(2分) 理解运用 (1)4.(3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG.(5分) EFG+EHG=EGF+EGH=FGH.(6分) 5.(7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120, EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120. 连接FH. 3 3 3 EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH=EF. 又EF=10,FH=10. M,N为FG和GH的中点, MN为FHG的中

19、位线, MN=FH=5. 类比拓展 2sin .(8分) 3 3 1 2 3 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 5.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平 桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE, 经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D

20、到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60) 解析解析 (1)160. 如图,延长OA交BC于点F, AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm, sinB=, AF=AB sinB=30 sin 70300.94=28.20(cm). AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). 答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm. AF

21、 AB (2)如图,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC=, sinHBC=0.6. sin 36.80.60,HBC36.8, ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2. HC BC 21 35 解后反思解后反思 解决此类解直角三角形问题的一般思路:将实际问题抽象成解直角三角形问题.弄清题目中 各量之间的关系,如果题目中有直角三角形,则根据边角的关系进行计算,若图中没有直角三角形,可通过 添加辅助线构造直角三角形来解决. 6.(2018安徽,19

22、,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地 面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰 好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8 米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.02) 解析解析 解法一:由题意知,AEB=FED=45, AEF=90. 在RtAEF中,=tanAFE=tan 84.3, 在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED, AB

23、EFDE,=tan 84.3, AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618. 答:旗杆AB的高度约为18米. 解法二:作FGAB于点G, AE FE AB FD AE FE 由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形, AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=1.8+AB,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8. 在RtAFG中,=tanAFG=tan 39.3, 即=tan 39.3, AG FG 1.8 1.8 AB AB 解得AB=18.218. 答:旗杆AB的高度约为18米. 思路分析思路分析 思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFD

24、E,最后由相似三角形中对应边 的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三 角形AFG中由锐角三角函数求出AB. 7.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值. 2 5 5 3 5 AD AC 2 5 解析解析 (1)证明:M=N=ABC=90,

25、 MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC,ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB.=tanPAC=, 设PN=2t,则AB=t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BP BC,(t)2=BP (BP+4t), BP=t,BC=5t,tan C=. PN AB PM AP 2 5 5 5 5 5 5 (3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=. 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE

26、, =, 同(1)的方法得,ABGBCH, =, BC AC 3 5 BC AB 3 4 GH EG AC AD 5 2 BG CH AG BH AB BC 4 3 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, =,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB=. GH EG 43 4 mn m 5 2 CH EH 3 14 思路分析思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,

27、得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出 ABPCBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设 BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论. PN AB PM AP 2 5 5 5 GH EG AC AD 5 2 BG CH AG BH AB BC 4 3 A组 20182020年模拟基础题组 考点一 锐角三角函数 1.(2018北京燕山一模,6)如图,在RtABC中,ACB=90,CD是AB边上的中线,AC=8,BC=6,

28、则ACD的正 切值是( ) A. B. C. D. 4 3 3 5 5 3 3 4 答案答案 D ACB=90,CD是AB边上的中线,AD=CD,ACD=A,tanACD=tanA=. BC AC 6 8 3 4 2.(2020北京海淀一模,10)如图,在RtABC中,C=90,BC=2,且tan A=,则AC= . 1 3 答案答案 6 解析解析 tan A=,=,即=.解得AC=6. 1 3 BC AC 1 3 2 AC 1 3 3.(2020北京门头沟一模,10)如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C是网格线交点,那么CAB CBA(填“”“ 解析解析 设正方形网格中的小正方形的边长为

29、1, 作CDAB于点D, 在RtACD中,tanCAB=1, 在RtBCD中,tanCBA=, 1,tanCABtanCBA,CABCBA. CD AD CD BD 2 3 2 3 一题多解一题多解 本题直接借助量角器度量,比较两个角的度数也可以得到CABCBA. 4.(2020北京东城二模,15)如图,在54的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC的顶点都在这 些小正方形的顶点上,则sinBAC的值为 . 答案答案 4 5 解析解析 过点C作CDAB于点D,则CD=4,AD=3,由勾股定理可得AC=5,sinBAC=sinDAC=. CD AC 4 5 考点二 解直角三角形 1.(2

30、019北京东城二模,7)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上). 为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地起飞,垂直上升1 000米到达C处,在C处观察B地的俯 角为,则A、B两地之间的距离约为( ) A.1 000sin 米 B.1 000tan 米 C. 米 D. 米 1 000 tan 1 000 sin 答案答案 C 由题意可知AC=1 000米,ABC=. tanABC=,AB= 米.故选C. AC ABtan AC 1 000 tan 2.(2018北京海淀二模,6)我国古代有一种通过测量日影长度来确定时间的仪器,称为圭表.下图是一个根

31、据北京的地理位置设计的圭表,其中,立柱AC的高为a.已知,冬至时北京的正午日光入射角ABC约为26. 5,则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为( ) A.asin 26.5 B. tan26.5 a C.acos 26.5 D. cos26.5 a 答案答案 B tanABC=,BC=.故选B. AC BCtan AC ABCtan26.5 AC tan26.5 a 3.(2020北京密云二模,14)如图,小军在A时测量某树的影长,日照的光线与地面的夹角恰好是60,当他在 B时测量该树的影长,日照的光线与地面的夹角是30,若两次测得的影长之差DE为4 m,则树的高度约为 m.(结果

32、精确到0.1,参考数据:1.414,1.732) 23 答案答案 3.5 解析解析 由题意可知DOE=E=30,OD=DE=4米. OC=ODsin 60=221.732=3.4643.5米.故树的高度约为3.5米. 3 4.(2020北京密云一模,14)为做好疫情宣传巡查工作,各地积极借助科技手段加大防控力度.如图,亮亮在 外出期间被无人机隔空通知“戴上口罩,赶紧回家”.据测量,无人机与亮亮的水平距离是15米,当他抬头 仰视无人机时,仰角恰好为30,若亮亮的身高为1.70米,则无人机距离地面的高度约为 米. 答案答案 10.4 解析解析 无人机所在位置记作A,眼睛所在位置记作B. 过点A作垂

33、直于地面的直线AC, 过点B作BDAC于点D. BD=15米,CD=1.7米.tan 30=, AD=58.66米. 8.66+1.710.4米. 故无人机距离地面的高度约为10.4米. AD BD 3 3 3 5.(2019北京平谷一模,15)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC,交BC于点D,过点D作DEAB于点 E,若CD=2,BD=4,则AE的长是 . 答案答案 2 3 解析解析 AD平分BAC,DEAB,C=90, DE=CD=2. BD=4,sin B=. B=30.DAE=30. AE=BE=2. 1 2 3 6.(2018北京平谷二模,14)如图,一名滑雪运动员沿着倾

34、斜角为34的斜坡从A滑行至B,已知AB=500米,则 这名滑雪运动员的高度下降了约 米.(参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67) 答案答案 280 解析解析 AC=AB sin 345000.56=280米. 7.(2019北京门头沟二模,21)如图,在ABCD中,点E是BC边的一点,将边AD延长至点F,使得AFC= DEC,连接CF,DE. (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)如果AB=13,DF=14,tanDCB=,求CF的长. 12 5 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC.(1分) ADE=DEC.AFC=DE

35、C, AFC=ADE,DEFC. 四边形DECF是平行四边形.(2分) (2)如图,过点D作DHBC于点H,(3分) 四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=13,tanBCD=,CD=13,DH=12,CH=5.(4分) DF=14,CE=14.EH=9.DE=15.CF=DE=15.(5分) 12 5 22 912 B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:40分 一、选择题(每小题2分,共4分) 1.(2020北京海淀一模,8)如图,在平面直角坐标系xOy中,AB,CD,EF,GH是正方形OPQR边上的线段,点M 在其中某条线段上,若射线OM与x轴正半轴的夹角为,且si

36、n cos ,则点M所在的线段可以是( ) A.AB和CD B.AB和EF C.CD和GH D.EF和GH 答案答案 D 如图,当点M在线段AB上时,连接OM. sin =,cos =,OPPM, sin cos . 同理可证,点M在CD上时,sin cos . 如图,当点M在EF上时, 作MJOP于J.连接OM. PM OM OP OM sin =,cos =,OJcos .同理可证,点M在GH上时,sin cos ,故选D. MJ OM OJ OM 一题多解一题多解 本题可以借助锐角三角函数的性质,当45时,sin cos ,进而可以在坐标系中画出直线y= x,直线左上方的位置符合题意.故

37、选D. 2.(2019北京怀柔二模,7)下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容: 题目 测量树顶端到地面的高度 测量目标 示意图 相关数据 AB=10 m,=45,=56 设树顶端到地面的高度DC为x m,根据以上条件,可以列出求树高的方程为( ) A.x=(x-10)cos 56 B.x=(x-10)tan 56 C.x-10=xtan 56 D.x=(x+10)sin 56 答案答案 B =45,AC=DC. tan =,DC=tan 56 BC=tan 56 (AC-AB). AB=10,x=(x-10) tan 56.故选B. DC BC 解题关键解题关键 解决本题的关键是通过线段的差

38、及解直角三角形用另一种含x的代数式表示DC. 二、填空题(每小题2分,共8分) 3.(2020北京顺义一模,16)如图,在正方形ABCD中,AB=4,E、F是对角线AC上的两个动点,且EF=2,P是正 方形四边上的任意一点.若PEF是等边三角形,则符合条件的P点共有 个,此时AE的长为 或 . 答案答案 4;4-1;-1 233 解析解析 如图,当点P在AD上时,过点P作PHEF于H, PEF是等边三角形,PHEF, PEF=60,PE=PF=EF=2,EH=FH=1. PH=.四边形ABCD是正方形,AB=4, DAC=45,AC=AB=4. PHAC,APH=PAH=45.AH=PH=.

39、AE=-1. 同理可得当点P在AB上时,AE=-1,当点P在CD或BC上时,AE=4-2-(-1)=4-1. 故符合条件的P点共有4个,此时AE的长为4-1或-1. 3 22 3 3 3 2323 233 解题关键解题关键 解决本题的关键是先画出示意图,从而利用等边三角形、正方形的性质,并借助解直角三角 形来解决.同时要关注图形的对称性. 4.(2018北京石景山一模,15)在距办公楼20 m的点B处,用高为0.8 m的测角仪测得办公楼顶点C的仰角为6 3,则办公楼CD的高约为 m. (精确到0.1 m,sin 630.89,cos 630.45,tan 631.96) 答案答案 40.0 解

40、析解析 过点A作AEBD交CD于E, tanCAE=, 1.96,CE39.2米, CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0米. CE AE CE BD 20 CE 5.(2018北京朝阳二模,11)2017年5月5日我国自主研发的大型飞机C919成功首飞.下图是一种机翼的示 意图,用含有m、n的式子表示AB的长: . 答案答案 m+n-n 3 3 解析解析 过点C作CE垂直BA,交BA的延长线于点E,则四边形CFBE为长方形, 且CF=BE=m+n,CE=FB=n.ACE=45,CEA为等腰直角三角形, EA=CE=n,AB的长为m+n-n. 3 3 3 3 6.(2018北京丰台二模,

41、15)如图,一辆小汽车与墙平行停放,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米, 小汽车车门的宽AO为1.2米,当车门打开的角度AOB为40时,车门是否会碰到墙? (填“是” 或“否”);请简述你的理由 . (参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84) 答案答案 否;求出点A到直线OB的距离,通过计算可得,此距离小于0.8,所以车门不会碰到墙 解析解析 过点A作ACOB,AC=AO sin 401.20.64=0.7680.8,所以车门不会碰到墙. 三、解答题(共28分) 7.(2020北京海淀一模,21)如图,在ABCD中,ABC=60,BAD的平分线交C

42、D于点E,交BC的延长线于 点F,连接DF. (1)求证:ABF是等边三角形; (2)若CDF=45,CF=2,求AB的长度. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,DAB+ABC=180, ABC=60,DAB=120,AF平分DAB,FAB=60, FAB=ABF=60,FAB=ABF=AFB=60, ABF是等边三角形. (2)作FGDC于点G, 四边形ABCD是平行四边形,ABC=60,DCAB,DC=AB, FCG=ABC=60,GFC=30, CF=2,FGC=90,CG=1,FG=, FDG=45,FGD=90,FDG=DFG=45,DG=FG=, 3 3

43、 DC=DG+CG=+1,AB=+1, 即AB的长度是+1. 33 3 思路分析思路分析 (1)根据在ABCD中,ABC=60,可以得到DAB的度数,然后根据AF平分DAB,可以得到 FAB的度数,然后利用等边三角形的判定方法即可证明.(2)需要借助45角构造直角三角形,进而借助 解直角三角形相关知识解决. 8.(2020北京丰台一模,22)如图,在ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)ADB的平分线DE交AB于点E,当AD=3,tanCAB=时,求AE的长. 3 4 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, AC=2AO,BD=2

44、BO. AO=BO,AC=BD. ABCD为矩形. (2)过点E作EGBD于点G, DE为ADB的平分线,且DAB=90, EG=EA. AO=BO,CAB=ABD. AD=3,tanCAB=, tanCAB=tanABD=.AB=4. BD=5. sinCAB=sinABD=. 设AE=x,1则BE=4-x, 在BEG中,BGE=90,sin EBG=sin ABD=, =.解得x=. 3 4 AD AB 3 4 22 ADAB AD BD 3 5 3 5 4 x x 3 5 3 2 故AE的长为. 3 2 9.(2019北京房山二模,21)如图,菱形ABCD的两条对角线交于点O,DFAC,

45、CFBD. (1)求证:四边形OCFD是矩形; (2)若AD=5,BD=8,计算tanDCF的值. 解析解析 (1)证明:DFAC,CFBD, 四边形OCFD是平行四边形, 四边形ABCD是菱形,ACBD, DOC=90, 四边形OCFD是矩形. (2)四边形ABCD是菱形,AD=CD, AD=5,CD=5. 菱形ABCD两条对角线交于点O, OD=OB=BD,OD=4, 四边形OCFD是矩形, OD=CF, 在RtCFD中,CF2+DF2=CD2, DF=3, 1 2 tanDCF=. DF CF 3 4 10.(2019北京平谷一模,22)如图,在ABC中,AB=AC,点D是BC边的中点,连接AD,分别过点A,C作AE BC,CEAD,AE,CE交于点E,连接DE,交AC于点O. (1)求证:四边形ADCE是矩形; (2)若AB=10,sinCOE=,求CE的长. 4 5 解析解析 (1)证明:AB=AC,点D是BC边的中点, ADBC于点D. AEBC,CEAD, 四边形ADCE是平行四边形. 平行四边形ADCE是矩形. (2)过点E作EFAC于F. AB=10,AC=10. 对角线AC,DE交于点O, DE=AC=10.OE=5.sinCOE=, EF=4,OF=3.OE=OC=5,CF=2.CE=2. 4 5 5