专题10 坐标平面上的直线（8年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 10 坐标平面上的直线坐标平面上的直线 阅读与思考阅读与思考 我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线 都是某个一次函数的图象呢？请读者思考. 一次函数、 二元一次方程、 直线三者有着紧密的联系， 我们既可以用函数的方法来处理方程的问题， 也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以 用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系. 数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容： （1）由数定形 即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置. （2）由形导数 即从给定

2、的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的 坐标等. 一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作 出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值. 一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛 的应用价值. 运用一次函数解题时应注意： 1. 一次函数的图象是一条直线. 2. 函数解析式ykxb中的系数符号，确定图象的大致位置及 y 随 x 变化的性质. OO x y O x yy x O y x (0,0)kb (0,0 )kb (0,0)kb (0,0)kb

3、 3. 确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件. 4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系，任意一个一次函数ykxb都可以看做是一个关于 x，y 的二元一次方程0kxyb；反过来，任意一个二元一次方程0axbyc，当0b 时，可化 为形如 ac yx bb 的函数形式. 例题与求解例题与求解 【例 1】（1） 如图， 已知 A 点坐标为(5,0)， 直线(0)yxb b与 y 轴交于点 B， 连接 AB，75， 则b . B A y xO （苏州市中考试题） （2）一次函数yaxb的图象 l1关于直线yx轴对称的图象 l2的函数解析式是 . （太原市竞赛试题） 解题思路解题思路： 对于

4、（1） ， 先求出相应函数解析式； 对于 （2） ， l1与 x 轴、 y 轴交点的坐标分别为(,0) b A a ， (0, )Bb，求出 A，B 两点分别关于直线yx对称点的坐标，这是解题的关键. 【例 2】已知0abc ，并且 abbcca p cab ，则直线ypxp一定通过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 （全国初中数学竞赛试题） 解题思路解题思路：求出 p 的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断. 【例 3】如图， AOB 为正三角形，点 B 的坐标为(2,0)，过点 C( 2,0)作直线 l 交 AO 于 D，交 AB 于

5、E，且使 ADE 和 DCO 的面积相等，求直线 l 的函数解析式. l E D CB A y xO （太原市竞赛试题） 解题思路解题思路：由 ADEDCO SS 得 AOBCBE SS ，设法求出 E 点的坐标. 【例 4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了 17 台、15 台同一种型号的检测设备，全部运往大运会 赛场 A，B 两馆，其中运往 A 馆 18 台、运往 B 馆 14 台. 运往 A，B 两馆的运费如下表： 出发地 目的地 甲地 乙地 A 馆 800 元/台 700 元/台 B 馆 500 元/台 600 元/台 （1）设甲地运往的设备有 x 台，请填写下表，并求出总运费 y（元）

6、与 x（台）的函数关系式； 出发地 目的地 甲地 乙地 A 馆 x（台） （台） B 馆 （台） （台） （2）要使总运费不高于 20200 元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当 x 为多少时，总运费最小，最小值是多少？ （深圳市中考试题） 解题思路解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解，为此需求出自变量的取值范围. 当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起. 求两交点坐标并能发掘隐含条 件是解相关综合题的基础. 当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点. 当一次函数自变量取值受限制时， 存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明

7、了. 【例 5】已知长方形 ABCO，O 为坐标原点，B 的坐标为(8,6)，A，C 分别在坐标轴上，P 是线段 BC 上的动点，设PCm，已知点 D 在第一象限且是直线26yx上的一点，若 APD 是等腰直角三角 形. （1）求点 D 的坐标； （2） 直线26yx向右平移 6 个单位后， 在该直线上是否存在点 D， 使 APD 是等腰直角三角形？ 若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由. （浙江省中考试题） 解题思路解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键. 例 5 颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点

8、，再计 算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、 数形结合等思想方法. 【例 6】如图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形 铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y（厘 米）与注水时间 x（分钟）之间的关系如图 2 所示根据图象提供的信息，解答下列问题： E C D B A 64 2 19 14 12 O x（分钟） y（厘米） 乙甲 （1）图 2 中折线 ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间

9、的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”） ，点 B 的纵坐标表示的实际意义 是 ； （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为 36 平方厘米（壁厚不计） ，求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计） （直接写出结果） （扬州市中考试题） 解题思路解题思路：观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，图象的“转折点”即对应容器的“水 面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定，图象与器具的对应关系. 对于（3） 、 （4） ，根据注水时间与注水 速度求解，而解题的关键是挖掘出隐含信息. 例 6 是图象信息题. 函数图象以直

10、观、形象的特征融合了显性与隐性的信息，解题的关键是获取数 据、数量关系信息，并能整合信息，还原到问题的情境之中. 能力训练能力训练 A 级 1. 已知 abcabcabc k cba ，且 2 596mnn，则关于自变量 x 的一次函数 ykxmn的图象一定经过第 象限. （湖北省黄冈市竞赛试题） 2. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李， 如果超过规定， 则需要购买行李票， 其图象如图所示，旅客最多可免费携带行李 千克. （南京市中考试题） 3. 如图，一次函数ykxb的图象经过 A，B 两点，则 AOC 的面积为 . B A C y Ox C （0,2）B A（2,4）

11、x y 行李重量 行 李 票 费 用 8060 10 6 0 x（千克） y（元） O （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） 4. 如图，直线 1 2 2 yx与两坐标轴分别交于 A，B 两点，直线 BC 与直线 AB 垂直，垂足为 B，则 直线 BC 所对应的函数解析式为 . 5. 某市为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费： （1）每户每月用水量不超过 20m3，则每立方米 水费 1.2 元； （2）每户每月用水量超过 20m3，则超过的部分每立方米水费 2 元. 设某户一个月所交水费 为 y（元） ，用水量为 x（m3） ，则 y 与 x 的函数关系用图象表示为（ ） 36 24

12、 12 3020 y (元) 0 x (m3) 1010 x (m3) 0 y (元) 20 30 12 24 36 10 x (m3) 0 y (元) 20 30 12 24 3636 24 12 3020 y (元) 0 x (m3) 10 A B C D （荆州市中考试题） 6. 下列图象中，不可能是关于 x 的一次函数(3)ymxm的图象是（ ） O y xO x y O y x O y x （北京市中考试题） 7. 如图，点 A，B，C 在一次函数2yxm的图象上，它们的横坐标依次为1、1、2，分别过 这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ） M 21-1

13、C B A y x0 A.1 B.3 C.3(1)m D. 3 (2) 2 m （宁波市中考试题） 8. 点( 4,0)A ，(2,0)B是坐标平面上两定点，C 是 1 2 2 yx的图象上的动点，则满足上述条件 的直角 ABC 可以画出（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 （北京市竞赛试题） 9. 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地 区入学儿童人数的变化趋势. 试用你学过的函数知识解决下列问题： x（年） 2000 2001 2002 入学儿童人数 y（人） 2520 2330 2140 （1）求入学儿童人数 y（人）与年份

14、x（年）的函数关系式； （2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过 1000 人. （沈阳市中考试题） 10. 已知直线26xyk 和341xyk，若它们的交点在第四象限. （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为非整数，点 A 的坐标为(2,0)，点 P 在直线26xyk 上，求使 PAO 为等腰三角 形的点 P 的坐标. （大连市中考试题） 11. 如图，已知直线2yx 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，另一直线(0)ykxb k经过点 (1,0)C，且把 AOB 分成两部分. x y C B AO （1）若 AOB 被分成的两部分面积相等，求 k 和

15、 b 的值； （2）若 AOB 被分成的两部分的面积比为1:5，求 k 和 b 的值. （厦门市中考试题） 12. 某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票. 经调查统计发现，每天开始售票时，约有 300 名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数 y（人）与售 票时间 x（分）的函数关系如图 1 所示；每个售票窗口票数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 2 所示. 某天售票厅排队等候购票的人数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 3 所示. 已知售票 的前 a 分钟开放了两个售票窗口，求： 240 a x / 分 y /人 300 OO

16、3 y /人 x / 分 11 x / 分 y /人 4 78O 图 1 图 2 图 3 （1）a 的值； （2）售票到第 60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数； （3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗 口. 若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购， 请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？ （咸宁市中考试题） 13. 2011 年 4 月 28 日，以“天人长安，创意自然城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览 会在西安隆重开园. 这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类，其中个人票设置

17、有三种： 票的种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票 100 张，其中 B 种票的张数是 A 种票张数的 3 倍还 多 8 张，设需购 A 种票张数为 x，C 种票张数为 y. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）设购票总费用为 w 元，求出 w（元）与 x（张）之间的函数关系式； （3）若每种票至少购买 1 张，其中购买 A 种票不少于 20 张，则有几种购票方案？并求出购票总费 用最少时，购买 A，B，C 三种票的张数. （陕西省中考试题） B 级 1. 如图， 在直角坐标系中

18、， 直角梯形 OABC 的顶点(3,0)A，(2,7)B， P 为线段 OC 上一点， 若过 B， P两 点 的 直 线 为 111 yk xb， 过A ， P两 点 的 直 线 为 222 yk xb， 且BPAP ， 则 1212 ()k k kk . （绍兴市竞赛试题） 2. 设直线(1)1kxky（k 是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为 S1，S2，S2000，则 122000 SSS . （湖北省选拔赛试题） C B 15,6() A y xOx y A B C OO C B A P y x （第 1 题） （第 3 题） （第 4 题） 3. 如图，直线210yx与 x 轴，y

19、 轴分别交于 A、B 两点，把 AOB 沿 AB 翻折，点 O 落在 C 处，则点 C 的坐标是 . （黄冈市竞赛试题） 4. 如图， 在直角坐标系中， 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为(15,6)， 直线 1 3 yxb恰好将矩形 OABC 分成面积相等的两部分，那么b . （全国初中数学竞赛试题） 5. 在直角坐标系中，有两点( 1,1)P 和(3,3)Q，M 是 x 轴上任意点，则PMQM的长度的最小值 是（ ） A.2 5 B.4 C.4 2 D.3 6. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量 x（kg）与其运费 y（元）由如图所示的一次函数 图象确定，那么旅客可携带的免费行李

20、的最大质量为（ ） 50 y 元() 900 300 30 x kg()O A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg （成都市中考试题） 7. 一个一次函数的图象与直线 595 44 yx平行，与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，并且过点 ( 1, 25) ，则在线段 AB 上（包括端点 A、B） ，横、纵坐标都是整数的点有（ ） A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 （全国初中数学竞赛试题） 8. 设ba，将一次函数ybxa与yaxb的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组 a，b 的取值，使得下列 4 幅图中正确的是（ ） a b a b a b b a y O

21、 x y Ox y OxO y x A B C D （全国初中数学联赛试题） 9. 求证：不论 k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0kxkyk的图象恒过一定点. （江苏省竞赛试题） 10. 已知四条直线3ymx，1y ，3y 和1x 所围成的四边形面积是 12，求 m 的值. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 11. 在直角坐标系 xOy 中， 一次函数2(0)ykxbk的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A， B，且使得3 OAB SOAOB . （1）用 b 表示 k； （2）求AOB 面积的最小值. （浙江省竞赛试题） 12. 如图，一次函数33yx 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为直角边在 第一象限内作 RtABC，且使ABC =30. y x P C B A O （1）求ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点 3 ( ,) 2 P m，试用含 m 的代数式表示四边形 AOPB 的面积，并求出当 ABP 与ABC 的面积相等时 m 的值； （3）是否存在使QAB 为等腰三角形并且在坐标轴上的点 Q？若存在，写出点 Q 所有可能的坐标； 若不存在，请说明理由. （ “希望杯”邀请赛试题）