1、 专题 17 等腰三角形的判定 例 1 延长 MF，BA 交于 E，延长 FM 至点 P，使 MP=MF，连 BP，则BMPCMF，BP=CF. AD 平分BAC，ADFM，BAD=DAC=MFC=AFE=E=P，AE=AF，BE=BP，即 AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，CF= 1 2 (AB+AC)= 1 2 (7+11)=9. 例 2 D 例 3 提示：EMC 为等腰直角三角形，连 AM，易证：ADEBAC.AD=AB， 又DAB=90.又M 为 BD 中点，AMDB 且 DM=BM=AM. 又MDE=MAC=105， EDMCAM. EM=MC，DME=AMC ， DM
2、E+EMA=AMC +EMA=90. EMC 为等腰直角三角形. 例 4 延长 AD 至 G，使 DG=AD，连接 BG. 由ADCGDB，得 AC=BG，ACBG. BE=AC，BE=BG，得BED=BGD， FAE=BGD=BED=AEF， 故 AF=EF. 例 5 提示：结合图 1，给出解答过程. 由图形的轴对称性知： ABOACO， BAO=CAO=10， ABO=ACO=20， AOB= AOC=150.又BO=BC=CO= AD， ACDCAO， AOC=CDA=150， 故BDC=30. A 级 1.90或 75或 15 2.72 3.2 4.37 5.D 6.D 提示：将三式相
3、加 7.D 8.C 9.先证ACDCBF，CAD=BCF.又CAD+CDG=BCF+CDG=90， CGD=90，ADCF. ACF 为等腰三角形. 10.提示：延长 DB 至 E，使 BE=AB，连结 AE，证明E=C，AC=AE. 11. 提示：证明DCAECB、DCMECN，NCM=60. 12. 提示：先证明CEF=CFE. 作 EGAC 于 G，证明CEGBED，可得 CE= BE，又 CF=CE，BE=CF. B 级 1.2:1 2.110 3.10 4.D 5.C 提示：在五边形内作等边三角形 ABF，则 E、F、C 在一条直线上. 6.B 7. 提示：2 3 在 BB上取点 P
4、，使BPC=120，再在 PB上取点 E 使 PE=PC，连结 A B C G D E F CE. 则由PCE 为等边三角形，可得：PC=CE，PCE=60，CEB=120 ACB为正三角形，可证：ACPBCE. APC=BEC=120，PA=EB. APC=BPC=CPA=120，P 为ABC 的费马点. BB过ABC 的 P，且 BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC. 8. 提示：延长 AB 至 M，使 BM=BP，连结 PM，则 AB+BP=AM，可证明 BQ=QC. AQ+QB=AQ+QC=AC，又由AMPACP 得 AM=AC，故 AB+BP=AQ+BQ. 9. 提示：延长 FM
5、 至 P，使 PM=FM，连结 BP，则BMPCMF，AE=AF，BE=BP. 10. 提示：当 D 为 BC 的端点，显见AED 是等边三角形；当 D 为 BC 边的中点，取 AC 的中点 F， 连接 DF，易证CDF 为等边三角形，又ADFEDC，故ADE 为等边三角形猜测：当 D 为 BC 上任意点时，ADE 也为等边三角形 11 （1） 1 4 2 yx ； （2）过点 C 作 CHy 轴于 H，证明AOBBHC 即可； （3）符合条件的 P 点共有 5 个，分别为 8 4, 12 ,4,4,8 ,4, 4 ,4,4 3 12提示： （1）B(8，0)； （2）如图 a，过 A 作 ASOB 于 S，过 D 作 DTx 轴于 T OAB 为等腰直角三角形， OS=AS=BS，再由ASCCTD，可得：AS=CT，SC=TD CT=AS=OS，OT=CS=TD TOD=45，则AOD=90； （3）等式成立，理由如下：如图 b， 在 AM 上截取 AS=OF，连 ES，可证EASEOF，可得：ES=EF，AES=OEF SEF=AEO=90，FEM=SEM=45 又EM=EM，EFMESM，FM=SM， AM=AS+SM=OF+FM， 1 AMFM OF x y TS A BO D C x y C S F A M H O G E 图 a 图 b
