专题26 奇偶分析（7年级数学 培优新帮手）.doc

1、 专题专题 26 奇偶分析奇偶分析 阅读与思考阅读与思考 整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属 性，即奇数偶数 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性 来解决问题的方法叫奇偶分析 运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质： 1. .奇数偶数. 2. .奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数 的和为偶数，若干个偶数的和是偶数. 3. .若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数. 4. .若a是整数，则a与a，a， n a（n为自然数）有相同的奇偶性

2、. 5. .设a，b是整数，则ba ，ba ，ba，ba都有相同的奇偶数. 6. .偶数的平方是 4 的倍数，奇数的平方是 4 的倍数加 1. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是：前两个数是 1，从第三个数 开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前 2 004 个数中 共有_个偶数 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律. 【例【例 2】 如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则cb a2 ) 1(3是( ). A只当c为奇数时，其

3、值为奇数 B只当c为偶数时，其值为奇数 C只当c为 3 的倍数时，其值为奇数 D无论c为任意正整数时，其值均为奇数 （五城市联赛试题） 解题思路解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择 【例【例 3】 能否找到自然数a和b，使 22 2002ba. （ “华罗庚金杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：假设存在自然数a和b，使等式成立，则2002)(baba，从ba ，ba 的奇偶 性展开推理 【例【例 4】 在 6 张纸片的正面分别写上整数 1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它 们的反面也随意写上 16 这 6 个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出 6

4、 个 数，请你证明：所得的 6 个数中至少有两个是相同的. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：从反面入手，即设这 6 个数两两都不相等，利用 ii ba 与 iii cba =1，2，3，4，5，6 的奇偶性相同，引入字母进行推理证明. 【例【例 5】 表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行 4 个字母同时改变，或者使某一列 4 个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即 A 变 成 B，B 变成 C最后字母 Z 变成 A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变 化过程，如不能，说明理由. S O B R K B

5、D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表甲 表乙 （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙（可以试一试） ，看是否能 成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化” ，挖掘操作变化过程中 的不变量或不变性. 【例【例 6】 设 1 x， 2 x， n x为1 或1，并且 nnnn xxxxxxxxxxxxxxxx 123654354324321 0 321211112 xxxxxxxxxxxx nnnnnn .证明n能被 4 整除. 解题思路：

6、解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易 能力训练能力训练 1若按奇偶分类，则 2011321 2011321是_数. 2已知a是质数，b是奇数，且2001 2 ba，则ba_. （江苏省竞赛试题） 3若质数m，n满足12975 nm，则nm的值为_. （河北省竞赛试题） 4在 12，22，32，952这 95 个数中，十位数字为奇数的数共有_个. （全国初中数学联赛试题） 5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和 都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有( )种. A.2 B.3 C.4 D.5 6

7、设a，b为整数，给出下列四个结论 （1）若ba5是偶数，则ba3是偶数 （2）若ba5是偶数，则ba3是奇数 （3）若ba5是奇数，则ba3是偶数 （4）若ba5是奇数，则ba3是奇数 其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.1 或 3 （ “五羊杯”竞赛试题） 7如果a，b，c是三个任意整数，那么 2 ba ， 2 cb ， 2 ac ( ) A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数 （ “T1 杯”全国竞赛试题） 8 将 1 000 到 1 997 这 998 个自然数任意排成一行， 然后依次地求出三个相邻数的和， 在这些和中， 奇数的个数

8、至多有( ) A.499 个 B.496 个 C.996 个 D.995 个 9 设 1 a， 2 a， 1 9 9 9 a是 1， 2， 3， ， 1999 的一个排列， 求证：)1999()2() 1( 199921 aaa 为偶数. 10在黑板上记上数 1，2，3，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样 的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不可能为零 （数学奥林匹克竞赛试题） 11你能找到三个整数a，b，c，使得关系式3388)()()()(acbcbacbacba成 立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由. （ “希望杯”邀请赛试题） 12设标有 A，B，C，D，E，F，G 记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在 A，C， E，G 四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯 A 开始，顺次拉动开关，即从 A 到 G，再从 A 开始顺 次拉动开关，即又从 A 到 G，他这样拉动了 1 999 次开关后，问哪几盏是开的？