2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件：第1章 1.2　空间向量基本定理.ppt

1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.21.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不 共面的向量作为基底表示其他向量的 方法(重点) 1.通过基底概念的学习，培 养学生数学抽象的核心素养. 2.借助基底的判断及应用， 提升逻辑推理、直观想象及 数学运算的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得pxayb. (2)共面向量

2、定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件 是存在有序实数对(x，y)，使得MP xMA yMB ，或对于空间任意 一定点O，有OP xOM yOA zOB (xyz1) 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公 式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理 1空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存 在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p_. 其中a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做基向量空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 xay bzc 基底 思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2

3、)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ 提示 (1)不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面 (2)唯一确定 2正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_，且长度都是 _，那么这个基底叫做单位正交基底常用i，j，k表示 (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个_的向量，叫做把空间向量 进行正交分解 两两垂直 1 两两垂直 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则O，A，B， C四点共面 ( ) (2)若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量 ( ) (3)

4、只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量pab， qab构成基底的向量是( ) Aa Bb Ca2b Da2c 答案 D 3在长方体ABCD- A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的 是( ) AAB ，AC ，AD BAB ，AA1 ，AB1 CD1A1 ，D1C1 ，D1D DAC1 ，A1C ，CC1 C 由题意知，D1A1 ，D1C1 ，D1D 不共面，可以作为空间向量 的一个基底 4已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxayb c，若m与n共线，则x_，y_. 1 1 由m与n

5、共线，得1 x 1 y 1 1， x1，y1. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 基底的判断 【例1】 (1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空 间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z， b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的 向量组有( ) A1个 B2个 C3个 D4个 (2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且 OA e12e2e3， OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA ，OB ，OC 能否 作为空间的一个基底 (1)C 如图所示，令aAB ，bAA1 ，cAD ， 则xAB1 ，yAD1 ，zAC ， abcAC1 .

6、由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y， z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选C. (2)解 假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知， 存在实数x，y，使OA xOB yOC 成立， e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)， 即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3 e1，e2，e3是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面 y3x1， xy2， 2xy1， 此方程组无解 即不存在实数x，y使得OA xOB yOC ， 所以OA ，OB ，OC 不共面 所以OA ，OB ，OC 能作为空间的一个基底 基底判断的基本思路

7、及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构 成基底；若不共面，则能构成基底 (2)方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存 在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设a b c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解， 则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 跟进训练 1设向量a，b，c是空间一个基底，则一定可以与向量pa b，qab，构成空间的另一个基底的向量是( ) Aa Bb Cc Da或b C 由题意和空间向量的共面定理， 结合pq(ab)(ab)2a， 得a与p，q是共面向量， 同理b与p，q是共面向量， 所以a与b不能

8、与p，q构成空间的一个基底； 又c与a和b不共面， 所以c与p，q构成空间的一个基底 用基底表示向量 【例2】 如图，四棱锥P- OABC的底面为一矩形，PO平面 OABC，设OA a，OC b，OP c，E，F分别是PC，PB的中点， 试用a，b，c表示：BF ，BE ，AE ，EF . 思路探究 利用图形寻找待求向 量与a，b，c的关系 利利用向量运 算进行分拆 直至向量用 a，b，c表示 解 连接BO(图略)，则BF 1 2BP 1 2(BO OP )1 2(cba) 1 2a 1 2b 1 2c. BE BC CE BC 1 2CP BC 1 2(CO OP )a1 2b 1 2c.

9、AE AP PE AO OP 1 2(PO OC )ac1 2(cb) a1 2b 1 2c.EF 1 2CB 1 2OA 1 2a. 基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作 为基底 (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公 共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易 求的向量共线，可用数乘 跟进训练 2点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，M， N分别是PC，PD上的点，且PM 2 3PC ，PN ND ，则满足MN xAB yAD zAP 的实数x，y，z的值分别为( ) A2 3， 1 6， 1

10、 6 B2 3， 1 6， 1 6 C2 3， 1 6， 1 6 D2 3， 1 6， 1 6 D 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则MN EN EM 1 2 CD (PM PE )1 2CD 2 3PC 1 2PC 1 2CD 1 6PC 1 2AB 1 6(AP AB AD )2 3AB 1 6AD 1 6AP ，比较知x2 3，y 1 6，z 1 6， 故选D. 正交分解在立体几何中的应用 探究问题 1取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？ 提示 若取单位正交基底i，j，k，那么|i|j|k|1.且i j j ki k0，这是其他一般基底所没有的 2正方体ABCD- ABCD中，O

11、1，O2，O3分别是AC，AB，AD 的中点，以AO1 ，AO2 ，AO3 为基底，如何表示向量AC. 提示 AC AB AD AA 1 2(AB AD )1 2(AD AA )1 2(AB AA )AO1 AO2 AO3 . 【例3】 如图，已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且A1ABA1AD 120 ，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值 思路探究 取基底AB ，AD ，AA1 用基底表示向量BD1 和AC 求|BD1 |，|AC |和BD1 AC 求BD1 与AC 的夹角余弦值得异面直线所成角的余弦值 解 AB ，AD ，A

12、A1 可以作为空间的一个基底，且|AB |a， |AD |a，|AA1 |b， AB ，AD 90 ，AA1 ，AB 120 ，AA1 ，AD 120 . 又BD1 AD AA1 AB ，AC AB AD ， |BD1 |2|AD |2|AA1 |2|AB |22AD AA1 2AD AB 2AA1 AB a2b2a22abcos 120 02abcos 120 2a2b2， |AC |2|AB |22AB AD |AD |22a2， |BD1 | 2a2b2，|AC | 2a. BD1 AC (AD AA1 AB ) (AB AD )AD AB |AD |2 AA1 AB AA1 AD |A

13、B |2AB AD 0a2abcos 120 abcos 120 a20ab. |cosBD1 ，AC |BD1 AC | |BD1 |AC | |ab| 2a2b2 2a b 4a22b2. 异面直线BD1和AC所成角的余弦值为 b 4a22b2. 1变结论在本例条件不变的前提下，求|AC1 |. 解 由条件可知|AB |AD |a，|AA1 |b， 且AB ，AA1 AD ，AA1 120 ，AB AD . |AC1 |2|AB AD AA1 |2 AB 2AD2AA 1 22AB AD 2AB AA1 2AD AA1 a2a2b204abcos 120 2a2b22ab. |AC1 |

14、2a2b22ab. 2变结论在本例条件不变的前提下，证明BD面AA1C1C. 解 由条件知，BD AD AB ， BD AA1 AA1 (AD AB )AA1 AD AA1 AB abcos 120 abcos 120 0. BDAA1. 又因四边形ABCD为正方形， ACBD.BD面AA1C1C. 基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量 (2)用基向量表示出直线的方向向量 (3)用|a|a a 求长度，用a b0ab，用cos a b |a|b| 求夹 角 (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1基底中不能有零向量因零向量与任

15、意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量 2空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向 量组a，b，c可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一 的 3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的 运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法 则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示 1若a，b，c为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底 的一组向量是( ) Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b C 空间基底必须不共面A中a1 2 abab，不可为基 底；B中b

16、1 2 (ab)(ab)，不可为基底；D中 3 2 (ab) 1 2 (ab) a2b，不可为基底 2O，A，B，C为空间四点，且向 量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基 底，则( ) AOA ，OB ，OC 共线 BOA ，OB 共线 COB ，OC 共线 DO，A，B，C四点共面 D 由题意知，向量 OA ，OB ，OC 共面，从而 O，A，B，C四点共面 3若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得 xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_ xyz0 由于a，b，c是空间的一个基底，所以当xayb zc0时，xyz0. 4正方体ABCD- A1B1C1D1中，取A

17、B ，AD ，AA1 为基底，若G 为面BCC1B1的中心，且 AG x AB y AD z AA1 ，则xyz _. 2 如图，AG AB BG AB 1 2BC1 AB 1 2(BC BB1 )AB 1 2AD 1 2AA1 . 由条件知x1，y1 2，z 1 2. xyz11 2 1 22. 5若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca 能否作为空间的一个基底 解 假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab (bc)(ca)，即abab()c. a，b，c是空间的一个基底，a，b，c不共面 1， 1， 0， 此方程组无解 即不存在实数，使得ab(bc)(ca)， ab，bc，ca不共面 故ab，bc，ca能作为空间的一个基底 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !