2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件：第1章 1.4　1.4.1　第2课时　空间向量与垂直关系.ppt

1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.11.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系用空间向量研究直线、平面的位置关系 第第2 2课时课时 空间向量与垂直关系空间向量与垂直关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用平面法向量证明线面和 面面垂直(重点) 2能利用直线的方向向量和平面 的法向量判定并证明空间中的垂 直关系(重点、难点) 借助空间向量证明线面垂 直和面面垂直的学习，提升 学生的数学运算和逻辑推 理核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置， 那么我们就

2、可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线： 平面间 的平行和垂直问题 上节课我们研究了平行问题， 下面我们来研究一 下垂直问题 1空间中有关垂直的向量关系 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量_；直线 与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量_；平面与平 面垂直，就是两平面的法向量_ 垂直 平行 垂直 2空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直线 l1的方向向量为 u(a1，a2，a3)，直线 l2的方向向 量为 v(b1，b2，b3)，则 l1l2_ _ u v0 a1b1a2b2a3b30 线面 垂直 设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向

3、量 是 n(a2，b2，c2)，则 l_ _(R) 面面 垂直 设平面 的法向量 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量 n2 (a2，b2，c2)，则 _ _ un un (a1，b1，c1)(a2，b2，c2) n1n2 n1 n20 a1a2b1b2c1c20 思考： 若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量 共线，则这两个平面是否垂直？ 提示 垂直 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)同一个平面的法向量均为共线向量 ( ) (2)若 a，b 是平面 内的向量，且 n a0，n b0，那么 n 可以 作为平面 的一个法向量 ( ) (3)若点 A、B 是平面 上的

4、任意两点，n 是平面 的法向量，则 AB n0. ( ) 提示 (1) (2) (3) 2设直线 l 的方向向量 u(2,2，t)，平面 的一个法向量 v (6，6,12)，若直线 l平面 ，则实数 t 等于( ) A4 B4 C2 D2 B 因为直线 l平面 ，所以 uv，则2 6 2 6 t 12，解得 t 4，故选 B. 3若直线 l1的方向向量为 u1(1,3,2)，直线 l2上有两点 A(1,0， 1)，B(2，1,2)，则两直线的位置关系是_ l1l2 AB (1，1,1)，u1 AB 1131210， 因此 l1l2. 4若平面 ， 的法向量分别为 a(2，1,0)，b(1，2，

5、 0)，则 与 的位置关系是_ 垂直 由于 a b(2，1,0) (1，2,0)220，所以 . 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 利用空间向量证明线线垂直 【例 1】 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 为 AC 的中点求证： (1)BD1AC； (2)BD1EB1. 解 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1，则 B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E 1 2， 1 2，0 ，B1(1,1,1) (1)BD1 (1，1,1)，AC (1,1,0

6、)， BD1 AC (1)(1)(1)1100， BD1 AC ，即 BD1AC. (2)BD1 (1，1,1)，EB1 1 2， 1 2，1 ， BD1 EB1 (1)1 2(1) 1 2110， BD1 EB1 ， 即 BD1EB1. 利用向量法证明线线垂直的方法 用向量法证明空间中两条直线 l1，l2相互垂直，其主要思路是证 明两条直线的方向向量 a，b 相互垂直，只需证明 a b0 即可，具体 方法如下： (1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准 确地写出相关点的坐标， 表示出两条直线的方向向量， 计算出其数量 积为 0 即可 (2)基向量法：利用向量的加减运算，结合

7、图形，将要证明的两 条直线的方向向量用基向量表示出来， 利用数量积运算说明两向量的 数量积为 0. 跟进训练 1在棱长为 a 的正方体 OABC- O1A1B1C1中，E，F 分别是 AB， BC 上的动点，且 AEBF，求证：A1FC1E. 证明 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a) 设 AEBFx，则 E(a，x,0)， F(ax，a,0) A1F (x，a，a)，C1E (a，xa，a) A1F C1E (x，a，a) (a，xa，a)axaxa2a2 0， A1F C1E ，即 A1FC1E. 用空间向量证明线面垂直 探究问题 1利

8、用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？ 提示 利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都 是求直线的方向向量与平面的法向量共线 2证明线面垂直，能否不求平面的法向量？ 提示 可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个 不共线的向量的数量积为零即可 【例 2】 如图， 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， E， F 分别是 B1B， DC 的中点，求证：AE平面 A1D1F. 思路探究 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出 平面 A1D1F 的法向量，然后证明AE 与法向量共线 证明 如图，以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正 方体的棱长为 1， 则 A

9、(1,0,0)，E 1，1，1 2 ，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F 0，1 2，0 ， AE 0，1，1 2 ，A1D1 (1,0,0)，D1F 0，1 2，1 . 设平面 A1D1F 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n A1D1 0， n D1F 0， 即 x0， 1 2yz0， 解得 x0， y2z. 令 z1，得 y2，则 n(0,2,1)又AE 0，1，1 2 ， n2AE . nAE ，即 AE平面 A1D1F. 1把本例“正方体”改为“长方体”，其中，ABAD1，AA1 2，点 P 为 DD1的中点，如图，求证：直线 PB1平面 PAC. 证明 依题设，以 D

10、 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐 标系 D- xyz，则 C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)， 于是CA (1,1,0)，CP (1,0,1)，PB1 (1,1,1)， CA PB1 (1,1,0) (1,1,1)0， CP PB1 (1,0,1) (1,1,1)0， 故CP PB1 ，CA PB1 ，即 PB1CP，PB1CA， 又 CPCAC，且 CP平面 PAC，CA平面 PAC. 故直线 PB1平面 PAC. 2.在本例中，把 F 改为“是 B1D1的中点”，其他条件不变，求 证：EF平面 B1AC. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系， 令

11、正方体的棱长为 1， 则 A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1) E 1，1，1 2 ，F 1 2， 1 2，1 . AC (1,1,0)，AB1 (0,1,1)， EF 1 2， 1 2， 1 2 . 由AC EF 1 2 1 20， AB1 EF 1 2 1 20，得EF AC ，EF AB1 也就是 EFAC，EFAB1， 又因 AC，AB1面 AB1C，且 ACAB1A， 故 EF平面 AB1C. 1坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计

12、算两组向量的数量积，得到数量积为 0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行 2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二， 否则常常选用法一解决 利用空间向量证明面面垂直 【例 3】 如图所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABBC，AB BC2， BB11， E 为 BB1的中点， 证明： 平面 AEC1平面 AA1C1C. 思路探究 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可 证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量 n1，n2， 证明 n1 n20. 解

13、 由题意得 AB，BC，B1B 两两垂直以 B 为原点，BA，BC， BB1分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E 0，0，1 2 ， 则AA1 (0,0,1)， AC (2,2,0)， AC1 (2,2,1)， AE 2，0，1 2 . 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1) 则 n1 AA1 0， n1 AC 0 z10， 2x12y10. 令 x11，得 y11.n1(1,1,0) 设平面 AEC1的一个法向量为 n2(x2，y2，z2) 则 n2 AC1 0， n2

14、 AE 0 2x22y2z20， 2x21 2z20， 令 z24，得 x21，y21.n2(1，1,4) n1 n2111(1)040. n1n2，平面 AEC1平面 AA1C1C. 1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用 两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化 为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直， 得面面垂直 2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位 置关系， 恰当建系或用基向量表示后， 只需经过向量运算就可得到要 证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度 跟进训练 3.如图，在四棱锥 S- ABCD 中，底面

15、 ABCD 是正方形，AS底面 ABCD，且 ASAB，E 是 SC 的中点求证：平面 BDE平面 ABCD. 解 设 ASAB1，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E 1 2， 1 2， 1 2 . 法一：如图，连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OE，则点 O 的坐 标为 1 2， 1 2，0 .易知AS (0,0,1)，OE 0，0，1 2 ，OE 1 2 AS ， OEAS. 又 AS底面 ABCD， OE平面 ABCD. 又 OE平面 BDE， 平面 BDE平面 ABCD. 法二：设平面 BDE 的法

16、向量为 n1(x，y，z) 易知BD (1,1,0)，BE 1 2， 1 2， 1 2 ， 由 n1BD ， n1BE， 得 n1 BD xy0， n1 BE 1 2x 1 2y 1 2z0. 令 x1，可得平面 BDE 的一个法向量为 n1(1,1,0) AS底面 ABCD，平面 ABCD 的一个法向量为 n2AS (0,0,1) n1 n20，平面 BDE平面 ABCD. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 空间垂直关系的解决策略 几何法 向量法 线线 垂直 (1)证明两直线所成的角为 90 . (2)若直线与平面垂直，则此 直线与平面内所有直线垂直 两直线的方向向量互相垂 直 几何

17、法 向量法 线面 垂直 对于直线 l，m，n 和平面 (1)若 lm，ln，m，n ，m 与 n 相交，则 l. (2)若 lm，m，则 l (1)证明直线的方向向量分 别与平面内两条相交直线 的方向向量垂直 (2)证明直线的方向向量与 平面的法向量是平行向量 几何法 向量法 面面垂 直 对于直线 l，m 和平面 ， (1)若 l，l，则 . (2)若 l，m，lm，则 . (3)若平面 与 相交所成的二面角 为直角，则 证明两个平面的法 向量互相垂直 1已知直线 l1的方向向量 a(1,2，2)，直线 l2的方向向量 b (2,3，m)若 l1l2，则 m( ) A1 B2 C1 2 D3

18、B 由于 l1l2，所以 ab，故 a b262m0，即 m2. 2已知直线 l 与平面 垂直，直线 l 的一个方向向量为 u(1， 3，z)，向量 v(3，2,1)与平面 平行，则 z 等于( ) A3 B6 C9 D9 C l，v 与平面 平行，uv，即 u v0， 1332z10，z9. 3已知平面 和平面 的法向量分别为 a(1,2,3)，b(x， 2,3)，且 ，则 x_. 5 ，ab，a bx490，x5. 4已知 a(0,1,1)，b(1,1,0)，c(1,0,1)分别是平面 ， 的法向量，则 ， 三个平面中互相垂直的有_对 0 a b(0,1,1) (1,1,0)10， a c

19、(0,1,1) (1,0,1)10， b c (1,1,0) (1,0,1)10，a，b，c 中任意两个都不垂直，即 ， 中任意两个都不垂直 5如图所示，正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点 求证：AB1平面 A1BD. 证明 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO.因为 ABC 为正 三角形，所以 AOBC. 因为在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，平面 ABC平面 BCC1B1，所 以 AO平面 BCC1B1. 取 B1C1的中点 O1，以 O 为原点，以OB ，OO1 ，OA 分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 B(1，0，0)，D(1，1，0)，A1(0，2， 3)，A(0，0， 3)， B1(1，2，0) 所以AB1 (1，2， 3)，BA1 (1，2， 3)，BD (2，1， 0) 因为AB1 BA1 1 (1)2 2( 3) 30. AB1 BD 1 (2)2 1( 3) 00. 所以AB1 BA1 ，AB1 BD ，即 AB1BA1，AB1BD. 又因为 BA1BDB，所以 AB1平面 A1BD. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !