2021年数学新教材人教A版选择性必修第一册课件：第3章 3.1　3.1.2　第1课时　椭圆的简单几何性质.ppt

1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 3.13.1 椭圆椭圆 3.1.23.1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第第1 1课时课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.根据椭圆的方程研究曲线的几 何性质，并正确地画出它的图 形(重点) 2根据几何条件求出曲线方程， 利用曲线的方程研究它的性质， 并 能画出相应的曲线(重点、难点) 1.通过椭圆性质的学习与应 用， 培养学生数学运算的核心 素养 2借助离心率问题的求解， 提升直观想象与逻辑推理的 核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 使用多媒体手段展示大小、 扁圆程度等不同的椭

2、圆， 体现椭圆形 状的美，然后分别从椭圆为封闭曲线，即范围入手讲出椭圆的范围， 对称性，离心率等问题 1椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准 方程 x2 a2 y2 b21(ab0) _(ab0) 范围 _ _ 对称性 对称轴为_，对称中心为_ y2 a2 x2 b21 axa且byb bxb且aya 坐标轴 原点 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长

3、 短轴长|B1B2|_，长轴长|A1A2|_ 焦点 _ _ 焦距 |F1F2|_ 2b 2a F1(c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，c) 2c 2.离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比_称为椭圆的_ (2)性质：离心率 e 的范围是_当 e 越接近于 1 时，椭圆 _；当 e 越接近于_时，椭圆就越接近于圆 c a 离心率 (0,1) 越扁 0 思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？ 提示 不是，离心率是比值，比值相同不代表 a，c 值相同， 它反映的是椭圆的扁圆程度 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴长等于

4、a. ( ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 ac. ( ) (3)椭圆的离心率 e 越小，椭圆越圆 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2经过点 P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为( ) Ax 2 9 y 2 4 1 By 2 9 x 2 4 1 Cx 2 9 y 2 4 1 Dy 2 9 x 2 4 1 A 由题易知点 P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端 点，故椭圆的焦点在 x 轴上，所以 a3，b2，故椭圆的标准方程 为x 2 9 y 2 4 1. 3椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，它的一个焦点为(0， 3)，则 椭圆的标准方程是_ x2y 2 4

5、 1 依题意得 2a4b，c 3，又 a2b2c2， a2，b1，故椭圆的标准方程为 x2y 2 4 1. 4设椭圆 x2 25 y2 b21(0b5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数 列，则离心率的值为_ 3 5 由条件知 252c4b，即 2bc5， 又 a2b2c2，a5 解得 b4，c3. 离心率 ec a 3 5. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 由椭圆方程研究几何性质 【例 1】 (1)椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)与椭圆 x2 a2 y2 b2(0 且 1)有( ) A相同的焦点 B相同的顶点 C相同的离心率 D相同的长、短轴 (2)求椭圆 9x216y2144

6、 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐 标和顶点坐标 (1)C 在两个方程的比较中，端点 a、b 均取值不同，故 A，B， D 都不对，而 a，b，c 虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变， 故应选 C. (2)解 把已知方程化成标准方程为 x2 16 y2 9 1， 所以 a4，b3，c 169 7， 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6； 离心率 ec a 7 4 ； 两个焦点坐标分别是( 7，0)，( 7，0)； 四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3) 1本例(1)中把方程“x 2 a2 y2 b2(0 且 1)”改为“ x2 a2 y2 b21(

7、0)”，结果会怎样呢？ A 由于 ab， 方程 x2 a2 y2 b21 中， c 2(a2)(b2) a2b2. 焦点与x 2 a2 y2 b21(ab0)的焦点完全相同而因长轴长，短轴 长发生了变化，所以 BCD 均不对，只有 A 正确 2本例(2)中，把方程改为“16x29y2144”，结果又会怎样 呢？ 解 把方程 16x29y2144 化为标准形式得 y2 16 x2 9 1. 知椭圆的焦点在 y 轴上， 这里 a216，b29，c21697， 所以椭圆 16x29y2144 的长轴长为 2a248， 短轴长为 2b 236， 离心率：ec a 7 4 ，焦点坐标： 0， 7， 顶点

8、坐标：(0，4)，(0,4)，(3,0)，(3,0) 由标准方程研究性质时的两点注意 (1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准 形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型 (2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2b2 c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、 焦距不是 a，b，c，而应是 2a,2b,2c. 由几何性质求椭圆的方程 【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率 e 6 3 ； (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦 距为 8； (3)经过点 M(1,2)，且与

9、椭圆 x2 12 y2 6 1 有相同的离心率 思路探究 (1)焦点位置不确定，分两种情况求解 (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解 (3)法一：先求离心率，根据离心率找到 a 与 b 的关系，再用待 定系数法求解 法二：设与椭圆 x2 12 y2 6 1 有相同离心率的椭圆方程为 x2 12 y2 6 k1(k10)或 y2 12 x2 6 k2(k20) 解 (1)若焦点在 x 轴上，则 a3， ec a 6 3 ，c 6，b2a2c2963. 椭圆的方程为x 2 9 y 2 3 1. 若焦点在 y 轴上，则 b3， ec a 1b 2 a2 1 9 a2 6 3 ，解得 a2

10、27. 椭圆的方程为 y2 27 x2 9 1. 所求椭圆的方程为x 2 9 y 2 3 1 或 y2 27 x2 9 1. (2)设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线(高)， 且|OF|c，|A1A2|2b， cb4，a2b2c232， 故所求椭圆的方程为 x2 32 y2 161. (3)法一：由题意知 e21b 2 a2 1 2，所以 b2 a2 1 2，即 a 22b2，设所 求椭圆的方程为 x2 2b2 y2 b21 或 y2 2b2 x2 b21. 将点 M(1,2)代入椭圆方程得 1 2b2 4 b

11、21 或 4 2b2 1 b21，解得 b 29 2或 b 23. 故所求椭圆的方程为x 2 9 y 2 9 2 1 或y 2 6 x 2 3 1. 法二： 设所求椭圆方程为 x2 12 y2 6 k1(k10)或 y2 12 x2 6 k2(k20)， 将 点 M 的坐标代入可得 1 12 4 6k1 或 4 12 1 6k2，解得 k1 3 4，k2 1 2，故 x2 12 y2 6 3 4或 y2 12 x2 6 1 2，即所求椭圆的标准方程为 x2 9 y 2 9 2 1 或y 2 6 x 2 3 1. 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通

12、常采用待定系 数法，其步骤是： 确定焦点位置； 设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有 两种标准方程)； 根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数， 列方程(组)时常用的关系式有 b2a2c2，ec a等 (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置， 因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两 个 提醒：与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)有相同离心率的椭圆方程为 x2 a2 y2 b2k1(k10，焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b2k2(k20，焦点在 y 轴上) 跟进训练 1已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，

13、且过点 A(3,0)，并且以 坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程 解 法一： 若椭圆的焦点在 x 轴上， 则设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)由题意得 2a3 2b， 9 a2 0 b21， 解得 a3， b1. 所以椭圆的 标准方程为x 2 9 y21. 若椭圆的焦点在 y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab 0) 由题意得 2a3 2b， 0 a2 9 b21， 解得 a9， b3. 所以椭圆的标准方程为 y2 81 x2 9 1. 综上所述，椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或 y2 81 x2 9 1. 法二：设椭圆方程为x 2 m y2 n

14、 1(m0，n0，mn)， 则由题意得 9 m1， 2 m3 2 n 或 9 m1， 2 n3 2 m， 解得 m9 n1 或 m9， n81. 所以椭圆的标准方程为x 2 9 y21 或 y2 81 x2 9 1. 求椭圆的离心率 探究问题 1椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 提示 离心率 ec a，假设 a 固定，当 e0 时，c0，因 a 2 c2b2，则 ba，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁 2已知b a的值能求出离心率吗？ 提示 可以ec a a2b2 a2 1 b a 2. 3已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上的顶点，P 是

15、椭圆上的一点，且 PFx 轴，OPAB，怎 样求椭圆的离心率？ 提示 如图，设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，P(c，m) OPAB， PFOBOA， c a m b ， 又 P(c，m)在椭圆上， c 2 a2 m2 b2 1. 将代入，得2c 2 a2 1， 即 e21 2，e 2 2 . 【例 3】 设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的两焦点为 F1，F2，若在 椭圆上存在一点 P，使PF1 PF2 0，求椭圆的离心率 e 的取值范围 思路探究 由条件PF1 PF2 0，知 PF1PF2，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上， 也在椭圆上， 利用圆与椭圆有公共

16、点的条件建立 不等式求解 解 由题意知 PF1PF2，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上， 即在圆 x2y2c2上 又点 P 在椭圆上，所以圆 x2y2c2与椭圆x 2 a2 y2 b21 有公共点 连接 OP(图略)，则易知 0bca， 所以 b2c2a2，即 a2c2c2a2. 所以a 2 2 c2a2，所以 2 2 e1.所以 e 2 2 ，1 . 1本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且PF1F2为 等边三角形”，求椭圆的离心率 解 当PF1F2为等边三角形时， 即|PF1|PF2|F1F2|， 又|PF1| a，a2c，故离心率 ec a 1 2. 2本例中，把条件改为“

17、点 P 与短轴端点重合，且PF1F2为 等腰直角三角形”，求椭圆的离心率 解 当PF1F2为等腰直角三角形时，F1PF290 ， 这时|F1F2| 2|PF1|， 即 2c 2a， 离心率 ec a 2 2 . 3把本例中条件“使PF1 PF2 0”改为“使F1PF2为钝角”， 求离心率的取值范围 解 由题意，知 cb，c2b2. 又 b2a2c2，c2a2c2，即 2c2a2.e2c 2 a2 1 2， e 2 2 .故椭圆的离心率的取值范围为 2 2 ，1 . 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法： 若已知 a， c 可直接利用 ec a求解 若已知 a， b 或 b， c 可借助于

18、 a2b2c2求出 c 或 a，再代入公式 ec a求解 (2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的 齐次关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不 等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方 程或不等式，即可求得 e 的值或范围 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1对椭圆几何性质的几点解释 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率 决定椭圆的扁平程度， 对称性是椭圆的重要特征， 顶点是椭圆与对称 轴的交点， 是椭圆重要的特殊点 若已知椭圆的标准方程， 则根据 a， b 的值可确定其性质 (2

19、)如图所示，在OF2B2中，a，b，c，e 对应的线段或有关量为 a|F2B2|，b|OB2|，c|OF2|，ec a |OF2| |F2B2|cosOF2B2. (3)若椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则椭圆与 x 轴的交 点 A1，A2到焦点 F2的距离分别为最大和最小，且|A1F2|ac，|A2F2| ac. 2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路 是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量 中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、 短轴长、离心率 e、焦距 1焦点在 x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶

20、点的 距离为 3 的椭圆的标准方程是( ) Ax 2 4 y 2 3 1 Bx 2 4 y21 Cy 2 4 x 2 3 1 Dx2y 2 4 1 A 依题意，得 a2，ac3，故 c1，b 2212 3，故 所求椭圆的标准方程是x 2 4 y 2 3 1. 2 已知实数 1， m，9 成等比数列， 则椭圆x 2 my 21 的离心率为( ) A 6 3 B 2 2 C 6 3 或 2 2 D 2 2 或 3 2 A 1，m，9 成等比数列，m29. 即 m3 或 m3(舍)，这时 c2312，即 c 2. 离心率 ec a 2 3 6 3 .故选 A. 焦点坐标分别为(0,6)，(0，6)

21、3若焦点在 y 轴上的椭圆x 2 m y2 2 1 的离心率为1 2，则 m 的值为 _ 3 2 由题意知 0m2，且 e 21b 2 a21 m 2 1 4. 所以 m3 2. 4比较椭圆x29y236 与x 2 9 y 2 5 1 的形状，则_ 更扁(填序号) 把x29y236化为标准形式 x2 36 y2 4 1， 离心率e1 364 6 2 2 3 ， 而x 2 9 y 2 5 1 的离心率 e2 95 3 2 3， 这里 e2e1， 故更扁 5已知椭圆 C1： x2 100 y2 641，设椭圆 C2 与椭圆 C1的长轴长、 短轴长分别相等，且椭圆 C2的焦点在 y 轴上 (1)求椭

22、圆 C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆 C2的方程，并研究其性质 解 (1)由椭圆 C1： x2 100 y2 641 可得其长半轴长为 10，短半轴 长为 8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率 e3 5. (2)椭圆 C2： y2 100 x2 641. 性质：范围：8x8，10y10； 对称性：关于 x 轴、y 轴、原点对称； 顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)； 离心率：e3 5. 焦点坐标分别为(0,6)，(0，6) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !