《现代光纤通信》课件第2章.ppt

1、第2章 光纤传输基本理论第2章 光纤传输基本理论2.1 光纤传输基本方程及解2.2 多模光纤的光传输特性2.3 单模光纤的光传输特性2.4 光纤传输中的非线性现象第2章 光纤传输基本理论2.1 光纤传输基本方程及解光纤传输基本方程及解由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析光纤中光的传输特性。2.1.1 麦克斯韦方程与波动方程麦克斯韦方程与波动方程光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写为(2-1-1)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0ffB r tE r ttD r tH r t

2、Jr ttD r tr tB r t 第2章 光纤传输基本理论式中，E(r，t)、H(r，t)分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D(r，t)、B(r，t)分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；Jf(r，t)为电流密度矢量，f(r，t)为电荷密度分布，是电磁场的源。当介质内传输的电磁场强度E(r，t)和H(r，t)增大时，电位移矢量D(r，t)和磁感应强度矢量B(r，t)也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来(2-1-2)D(r，t)=0E(r，t)+P(r，t)B(r，t)=0H(r，t)+M(r，t)第2章 光纤传输基本理论式中，0为真空中的介电常数，0为真空中的磁导率，P(r，t)、M(r

3、，t)分别为感应电极化强度和磁极化强度。对光纤这种无自由电荷的非磁性介质，Jf(r，t)=0，f(r，t)=0，M=0，感应电极化强度可表示为(2-1-3)P(r，t)=PL(r，t)+PNL(r，t)式中，PL为电极化强度的线性部分，PNL为电极化强度的非线性部分，它们与电场强度的关系为(2-1-4)00123123123(,)()(,)d(,)(,)(,)(,)(,)dddNNLPr tttE r ttPr ttt tt ttE r t E r tE r tttt第2章 光纤传输基本理论在本节，我们只考虑光纤为线性介质的情况，非线性问题留在本章第4节中讨论。假设光纤为各向同性介质，则(2-

4、1-5)D(r，t)=E(r，t)=0(1+(1)E(r，t)B(r，t)=H(r，t)考虑上面所提到的光纤的一些特性，光信号在光纤中传输的麦克斯韦方程可简化为(2-1-6)(,)(,)(,)(,)(,)0(,)0H r tE r ttE r tH r ttE r tH r t 第2章 光纤传输基本理论考察输入为单色光的情况，光纤中任一点上的光信号的场强分布可表示为)exp()(),()exp()(),(trHtrHtrEtrE(2-1-7)将上式代入式(2-1-6)，并作适当的变换可得(2-1-8)220220()()0()()()0E rE rEHH rH r 实际使用的光纤一般是弱导光纤

5、，即纤芯和包层的折射率非常接近，在一个波长的空间范围内的变化非常缓慢，上式中的/可以忽略不计，则有 第2章 光纤传输基本理论(2-1-9a)(2-1-9b)22202220()()0()()0E rk n E rH rk n H r其中，k0=2/是自由空间波数，是波长，n=()1/2是介质的折射率。这就是描述光纤中光场分布的基本方程，称为波动方程或亥姆霍兹方程，这是一个矢量方程，n只有在均匀介质中才是常数。第2章 光纤传输基本理论2.1.2 波动方程的近似解波动方程的近似解1.标量场方程标量场方程由于假定了弱导波光纤中的横向场的极化方向保持不变，采用直角坐标系来表示场分量比较方便，因此，分析

6、问题时将同时采用直角坐标系和圆柱坐标系，如图2-1-1所示。假定折射率为n2的包层无限大，在后面我们将看出该假设的合理性。选横向场的极化方向与y轴一致，即电场只有y分量，x分量为零，则式(2-1-9a)变为(2-1-10)2220()()0yyErk n Er第2章 光纤传输基本理论图2-1-1 光纤坐标第2章 光纤传输基本理论解此方程并满足纤芯、包层交界面上的边界条件，就可得到光纤的标量解。将式(2-1-10)写到圆柱坐标系中，得到(2-1-11)2222202222()()()()11()0yyyyyErErErErk n Errrrr根据光纤截面折射率分布的圆柱对称性和轴向平移不变性，在

7、以光纤轴线为轴的柱坐标系统中，光纤中光场的分布应有下列形式Ey(r，z)=R(r)cosmexp(jzt)(2-1-12)这里z是z方向的传播常数，如果z方向有能量损失，则z是复数，虚数部分代表单位距离的损失，实数部分代表单位距离相位的传播。将式(2-1-12)代入式(2-1-11)，整理后得第2章 光纤传输基本理论 222220122222220222d()1 d()()()0()ddd()1 d()()()0()ddzzR rR rmk nR rrarrrrR rR rmk nR rrarrrr(2-1-13)上式中第一个式子是m阶贝塞尔方程，第二个式子是变质的贝塞尔方程，m、z对应着方程

8、的某一种解，表示光场的某种特定分布，这种特定分布通常称为某种模式。为了方便起见，引入两个有用的参量，令(2-1-14)22222102222220()()zzuan kan k第2章 光纤传输基本理论u叫做导波的径向归一化相位常数，w叫做导波的径向归一化衰减常数。它们各表示在纤芯和包层中导波场沿径向的变化情况。下面分析场方程的解。在纤芯内，R(r)的解应是贝塞尔函数的组合()()()mmuuR rAJrBYraa(2-1-15)其中，Jm为贝塞尔函数，Ym为聂曼函数。R(r)在纤芯处应为驻波解，由于Ym(0)为无穷大，与场的实际情况不符，因此B为0。在包层内，R(r)的解应是修正贝塞尔函数的组

9、合(2-1-16)()()()mmR rCIrDKraa第2章 光纤传输基本理论其中，Im和Km分别为第一类和第二类修正的贝塞尔函数，R(r)在包层中随r的增加应减小，是衰减解，而Im在r趋近无穷时也趋于无穷，所以C应为0，于是R(r)可写为(2-1-17)()()()mmuAJrraaR rDKrraa J与K两种函数的曲线示于图2-1-2中。第2章 光纤传输基本理论图2-1-2 贝塞尔函数和修正的贝塞尔函数图形第2章 光纤传输基本理论利用上式，光纤中Ey的表示式可写成j()()(,)esin()()zmmzymmuJraraJuErzAnKraraK(2-1-18)在推导上式中利用了纤芯界

10、面上的边界条件，简化了一个常数。横向磁场只包含Hx分量，根据Ey可写成12EE(2-1-19)j110j220()esin()(,)()esin()zzmyzmxmyzmuJrEnaAmraZZJuHrzKrEnaAmraZZK 第2章 光纤传输基本理论从麦克斯韦方程，可求出Ez和Hz的表示式为1111j01122()()cos(1)cos(1)()()j(,)e2()()cos(1)cos(1)()()zmmmmzzmmmmuuJrJruuaammranJunJuAE rzuK aKrKraammranKunK11j0011()()sin(1)sin(1)()()j(,)e2()()sin(

11、1)sin(1)()()zmmmmzzmmmmuuJrJraaumumraJuJuAHrzK aZKrKraammraKK第2章 光纤传输基本理论比较场的轴向和横向分量的大小，可以发现，弱导波光纤的轴向分量比横向分量的值小得多。因为轴向分量的表示式中含有u/(aK0)和w/(aK0)，而(2-1-22)2221022120022220221200zza n kunnaKaKan knnaKaK它们都在数量级。所以合成场基本在光纤横截面上，近似一个TEM波。第2章 光纤传输基本理论2.标量解的特征方程标量解的特征方程根据边界条件可以导出特征方程，前面在求解场的横向分量的表示式时已用了纤芯界面上场

12、的角向分量连续的条件，现在再用界面上轴向分量连续的条件。在r=a处，,则11111122()()sin(1)sin(1)()()()()sin(1)sin(1)()()mmmmmmmmJuJuuummnJunJuKKummnKnKu(2-1-23)11111()()()()()()()()mmmmmmmmJuKunJuKJuKuJuK 12zzEE(2-1-24)利用弱导条件，上式可写成下面两个式子第2章 光纤传输基本理论1)LPmn模的截止条件我们先简单分析一下光纤中传输的导行波的特性。考察包层中的电场，我们有(2-1-25)()YmEKrarayaECer2222220()0zan k根据

13、修正贝塞尔函数的特性，上式近似为(2-1-26)式中，C为比例常数。从式(2-1-26)可以看出，当0时(即为实数时)，场在纤芯外呈指数衰减型，在r相当大处，E(r)趋于零，这时光波封闭在光纤中传输，对应为传导模。根据式(2-1-14)，若(2-1-27)第2章 光纤传输基本理论成为虚数，包层中的场将成振荡型，而振幅不减小，意味着光能向外辐射，这时的光场为辐射模式。显然，=0刚好是传导模和辐射模的分界处，将c=0定义为传导模的截止条件。下面考察截止这种极端情况下特征方程的解。首先我们引入一个有用的参量归一化频率，定义为(2-1-28)2222222012()Vua knn它与光纤的参数和传导光

14、波的波长有关，在c=0时，vc=uc,分别称为归一化截止频率和归一化截止相位常数。显然，在截止条件下得到的特征函数的解uc就是所对应模式的截止条件vc。在截止条件下，=0，Km()近似为第2章 光纤传输基本理论(2-1-29)02()ln012()()(1)!()02mmmKmKKmm 11()0()()0cmcmcmcu JuJuJu可以证明，特征方程(2-1-23)的右端在任何值时都为零。于是，截止时有(2-1-30)(2-1-31)当uc不为0时这就是截止情况下的特征方程，由此可以解出uc，确定截止条件。uc是m1阶贝塞尔函数的根。第2章 光纤传输基本理论当m=0时，J1(uc)=J1(

15、uc)=0，可解出uc=1，n1=0，3.831 71，7.015 59，10.173 47，这里1，n1是一阶贝塞尔函数的第n1个根，n=1，2，3，。显然，LP01模的截止频率为0，LP02模的截止频率为3.831 71，这意味着当归一化频率V小于3.831 71时，LP02模不能在光纤中传输，而LP01模总是可以在光纤中传输的。当m0时，Jm1(uc)=0，可解出uc=m1，n，它是m1阶贝塞尔函数的第n个根，n=1，2，3，。对于m=1，uc=0n=2.404 83，5.520 08，8.653 73，。表2-1-1列出了较低阶LPmn模截止时的uc值。第2章 光纤传输基本理论第2章

16、光纤传输基本理论2)LPmn模远离截止时的解及其物理意义从上面对模式截止条件的分析可以看出，在光纤中，随着归一化频率V的增大，它所截止的模式的阶数也增加，即传播的模式增加。现在我们分析另一种极端情况：远离截止时的情况。随着光纤归一化频率的增加，导波的径向归一化衰减常数越来越大，这意味着导波在包层中径向衰减加快，导波能量往光纤纤芯中集中，当V和足够大时，除靠近V的几个高阶模外，导波能量基本集中在光纤纤芯当中，我们把这种状态称为远离截止的情况。第2章 光纤传输基本理论根据V的定义，当V时，比值a/，于是那些远离截止的较低阶模的衰减常数，这时Km()可用大宗量下的近似式表示(2-1-32)()e2m

17、K11()()()()mmmmuJuKJuK 将上式代入特征方程(2-1-24)可得(2-1-33)因而远离截止时的特征方程可简化为(2-1-34)Jm(u)=0 远离截止时的特征值是m阶贝塞尔函数的根mn(n=1，2，3，)。表2-1-2中列出了mn较低阶的值。第2章 光纤传输基本理论第2章 光纤传输基本理论综上所述，LPmn模的u值在截止时为m1阶贝塞尔函数的第n个根，在远离截止时为m阶贝塞尔函数的第n个根，在一般情况下应在这两者之间变化。由特征方程式(2-1-24)并结合V的定义，用数值方法可作出一般情况下uV的关系曲线，如图2-1-3所示。由该图可清楚地看出各模式的截止条件和允许的u值

18、的范围。第2章 光纤传输基本理论图2-1-3 uV关系曲线第2章 光纤传输基本理论上面讨论了沿y方向极化的LP模，并假定它沿圆周方向呈cosm变化，实际上还存在着与Ey垂直的x方向的极化场Ex，这两种极化波又都有选取sinm和cosm的自由。尽管它们有形式上的差别，但在弱导近似下的传播常数是相同的，可用同一组标号m、n表征，统称为LPmn模，又称之为简并模。每一个LPmn模一般有四重简并。当m=0时，sinm=0，LP0n模只有两重简并。图2-1-4给出了LP01模和LP11模的各种可能分布。第2章 光纤传输基本理论图2-1-4 LP01和LP11模电场的可能分布第2章 光纤传输基本理论在LP

19、模分析法中，各LPmn模的标号m、n有明确的物理意义，它们表示对应模场在光纤横截面上的分布规律。由式(2-1-18)可知，LPmn模在纤芯中的横向电场分布为(2-1-35)()(,)sin()mymuJraErAmJu()sin()cos()()mmmuR rJra (2-1-36)它沿圆周及半径方向的分布规律分别为显然，光场在圆周方向上的变化情况与m有关，当m=0时(2-1-37)(2-1-38)0,()1,(正弦规律)(余弦规律)第2章 光纤传输基本理论说明在圆周方向上无光场变化，在圆周方向上出现最大值的个数为0。当m=1时sin()cos(2-1-39)由式(2-1-37)可见，光场沿径

20、向的变化与n有关，下面以m=0为例加以说明。这时LP0n 模的场沿径向按零阶贝塞尔函数的规律变化，在远离截止的情况下，对LP01模 u=01=2.404 83，它沿径向的变化规律为(2-1-40)2.40483()()mR rJra第2章 光纤传输基本理论在r=0处，R(0)=1；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2-1-5(a)所示。对LP02模u=02=5.520 08，它沿径向的变化规律为2LA(2-1-41)在r=0处，R(0)=1；在r=0.4357处，R(r)=0；在r=a处，R(a)=0，它沿r的变化情况如图2-1-5(b)所示，沿半径有两个最大值，可见，n表示沿半径

21、最大值的个数。第2章 光纤传输基本理论图2-1-5 LP0n模的电场强度径向分布第2章 光纤传输基本理论2.1.3 标量场模的光功率分布标量场模的光功率分布计算各模式在纤芯和包层中的功率分布是有实际意义的，首先，从计算结果可以看出功率在纤芯中的集中程度；另外，实际光纤中存在损耗，这些损耗分别产生在纤芯、包层及两者的分界面上，而各部分的衰减与各部分的传输功率成正比。因此，为了计算损耗也需知道功率在光纤中的分布情况。将轴向玻印亭矢量分别在纤芯和包层横截面上积分，就可求出纤芯和包层中传输的功率分别为(2-1-42)(2-1-43)2core002001d d21d d2ayxclyxPE H rrr

22、aPE H rrra 第2章 光纤传输基本理论将式(2-1-18)和式(2-1-19)代入式(2-1-42)得到纤芯中传输的功率为(2-1-44)2core0022111201d d2()()14()ayxmmmPE H rrJu Jun a AZJu 222111220()()14()mmclmJu Jun a AuPZJu类似地，可得包层中的传输功率为(2-1-45)对弱导光纤，n1n2=n，并令，则2204a ACZ(2-1-46)211totalcore22()()()mmclmJu JuVPPPCJu 第2章 光纤传输基本理论光纤纤芯中光功率与总功率之比为22core2total11

23、2222211()1()()()1()()mmmmmmPJuPVJu JuKuVKu Ku(2-1-47)在推导上式时利用了特征函数。光纤包层中光功率与总功率之比为(2-1-48)222total11()11()()clmmmPJuPVJu Ju利用上式可求得包层中光功率与V的关系曲线，如图2-1-6所示。第2章 光纤传输基本理论图2-1-6 各模的包层功率与V值的关系第2章 光纤传输基本理论下面我们讨论V和V逐渐减小两种情况下的光功率分布。V时，LPmn模的u值对应m阶贝塞尔函数的根。Jm(u)=0，且V，所以Pcore/Ptotal=1说明光功率完全集中在纤芯中。随着V值减小，高的模次逐渐

24、截止，即0，则2coretotal11()()()mmmPKPKK(2-1-49)上式可进一步表示成(2-1-50)coretotal0001111mPmPmm第2章 光纤传输基本理论2.1.4 单模与多模光纤的分类及处理方法单模与多模光纤的分类及处理方法上面我们在两种极端情况下对光纤的传输特性进行了分析，可以看出，光纤中传输的模式数由归一化频率决定，当归一化频率确定后，光纤中所传输的模式数和模式分布也就确定了。一般情况下，光纤中有许多模式，每一模式有其特定的传播常数，由于模式之间的传播常数不同，各模式之间将有色散，这种色散称为模间色散。光纤的传输特性由所有能够传输的模式叠加后确定。第2章 光

25、纤传输基本理论根据前面的分析，当光纤的归一化频率小于LP11模的截止频率时，光纤中将只有LP01模能够运行，我们将Vn2。通过这种光纤的光线有两种：子午光线和斜射光线，如图2-2-1所示。所谓子午光线是那些在光纤内的两次全反射中通过光纤轴线的光线，而斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平行，也不相交的光线，这两种光线在光纤传输过程中具有不同的性质。第2章 光纤传输基本理论图2-2-1 子午光线和斜射光线第2章 光纤传输基本理论1.阶跃光纤中子午光线的传输特性阶跃光纤中子午光线的传输特性在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面，而位于子午面内的光线就是子午光线。子午面有无限多个，它在光纤端面上

26、的投影即为光纤端面上的直径。根据光的反射定律，如果光纤是一个均匀的直圆柱体，子午线将始终位于一个子午面内，且在光纤入端的入射角等于光纤出端的出射角，所以，对子午光线的研究可在子午平面内进行。如图2-2-1(a)所示，假定在某子午面内，光线以入射角入射到光纤端面中心再射入到光纤中，在光纤内，此光线与轴线的夹角为0。由式(2-2-1)可以导出，在两均匀介质的分界面处有n0 sin=n1 sin0 (2-2-2)第2章 光纤传输基本理论上式为描述光在两介质截面上折射行为的斯涅尔定律，其中n0为空气中的折射率，其值一般取1。如果要该光线能够在光纤中传播而不折射出去，则必须满足在纤芯、包层界面上产生全反

27、射的条件，即201sincosnn(2-2-3)将上式代入式(2-2-2)就得到入射子午光线传播的条件(2-2-4)2212sinnn第2章 光纤传输基本理论在上式中，当等号成立时对应的入射角称为最大入射角，以max表示，也就是说只有在光纤端面入射角max的光线才能在光纤中传播。对光纤而言，这个可能的最大的入射角叫做光纤的接受角，它仅与n1、n2有关。习惯上，我们将接受角的正弦值定义为光纤的数值孔径，用NA表示22max121sin2NAnnn(2-2-5)式中，为芯包间相对折射率差，表示为(2-2-6)2212122112nnnnnn第2章 光纤传输基本理论由于以小于光纤接受角进入光纤中的子

28、午光线都可以在光纤中传输，而这些光线所走的路径不同，这些光线之间将出现色散，这就是我们在上节中提到的模间色散。下面我们计算轨迹不同的光线到达光纤输出端产生的传输时间差及相应的色散。在图2-2-1(a)中，=0时的入射光线传播时间最短，而传播时间最长的光线对应于max 表示为(2-2-7)(2-2-8)22max12arcsinnn1max00000max2111cosnn 通常用沿光纤单位长度传播时间内所产生的信号时延展宽来度量模间色散，用0和max分别表示为0和max两条光线沿光纤单位长度传播的时间，则时延展宽为第2章 光纤传输基本理论显然，时延展宽与成正比。对多模光纤而言，一般为1%左右。

29、设纤芯折射率为 n1=1.5，则0=n1/c=5 s/km，当=1%时，可算得=50 ns/km，对应的传输带宽仅为 20 MHz/km。第2章 光纤传输基本理论2.阶跃光纤中斜射光线的传输特性阶跃光纤中斜射光线的传输特性入射到光纤端面的光束除了子午光线外，还有很多斜射光线。斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平行，也不相交的光线，它们和光轴是异面直线，所以对于斜射光线的讨论必须在三维空间中以矢量方法进行。由于斜射光线与光纤中心轴不在一个平面，斜射光线在光纤内进行一次全反射，平面的方位就要改变一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，其端面上的投影如图2-2-1所示，它可以是左旋折线，也可以是右旋折线，并

30、且这些螺旋折线和光轴是等距离的。第2章 光纤传输基本理论在图2-2-2中，方向矢量为S0=L0i+M0j+N0k的光线入射到光纤端面的位置 P0=x0i+y0j上(i、j、k为单位矢量)。设m为表示第m次反射点的径向矢量，而Sm为紧接第m次反射前的光线方向矢量，根据反射前后光线共面的条件有(2-2-9)(SmSm+1)m=0再由入射角等于反射角的条件有(2-2-10)(Sm+Sm+1)m=0 第2章 光纤传输基本理论图2-2-2 均匀光纤中的斜射光线第2章 光纤传输基本理论此外，在纤芯、包层交界面发生全反射的条件为(2-2-11)22121mmmnnSn22001122200L xM ynnn

31、xy12222001002200L xM ynLMNAxy为了研究在光纤入射端什么样的斜射光线可以在光纤中传播，我们将S0和P0代入式(2-2-11)得(2-2-12)稍作变化，上式可写成第2章 光纤传输基本理论这就是说，满足上式的入射端的入射光线，都可以成为斜射光线在光纤中传输。如果入射光线在x0=a，y0=0处入射，则(2-2-14)n1L0NA 第2章 光纤传输基本理论2.2.2 梯度光纤的传输特性梯度光纤的传输特性1.梯度折射率光纤中的光线梯度折射率光纤中的光线与阶跃折射率分布光纤一样，梯度光纤中的光线也分子午光线和斜射光线两种。由于梯度光纤中纤芯折射率分布是随r变化的，光纤中子午光线

32、不是直线传播，而是曲线传播的，如图2-2-3(a)所示，光线的弯曲是遵循折射定律的。为了说明问题，我们将沿径向r方向连续变化的折射率分为不连续变化的若干层表示，如图2-2-3(b)所示。假定一射线以入射角射向光纤端面的K点，进入纤芯后，它先是从光密介质向光疏介质传播，这时，每经过一个界面，它将折离法线，其轴向角将逐渐减小，在某一半径r=rm处，射线与光轴平行；在此以后，光线将由光疏介质向光密介质传播，每经过一个界面，它将折向法线，其轴向角逐渐增大，这样就形成了周期变化的子午线轨迹。显然，折射率分布不同的光纤，有不同的射线轨迹，同一光纤中，以不同角度入射的光线的轨迹也将不同。第2章 光纤传输基本

33、理论图2-2-3 子午光线在光纤中传播第2章 光纤传输基本理论斜射光线是不经过光纤轴心的空间曲线，射线轨迹同样按照折射定律发生弯曲，形状比较复杂，图2-2-4中示出了不同光线在光纤端面上的投影。显然，斜射光线被限制在两个圆柱面之间，这两个圆柱面被称为焦散面，若两个焦散面重合，就得到螺旋线，它在端面上的投影为一个圆。斜射线情况很复杂，既不容易激励，也不容易传播(衰减大)，实际上传播的光线都是子午光线，下面的讨论仅限于子午光线。第2章 光纤传输基本理论图2-2-4 梯度光纤中的光线在端面上的投影第2章 光纤传输基本理论2.子午光线的轨迹方程子午光线的轨迹方程对非均匀折射率介质中光线轨迹的分析一般要

34、利用式(2-2-1)给出的射线方程，但是，采用该方程所做的分析在数学上却非常复杂。为了容易理解，在本问题中我们直接应用折射定律给出一种简洁的分析。图2-2-5给出了梯度光纤中的一个子午面，纤芯折射率分布n(r)随半径r的增加而减小，子午光线的轨迹由n(r)决定。由于射线是弯曲的，它的轴向角z随坐标而变化。在z=0处，射线离光纤轴的距离是r0，轴向角为z0，光纤在该点的折射率是n0，r0、n0、z0表示射线的起始状态。根据折射定律，该射线满足下列条件n(r)cosz=n0 cosz0 (2-2-15)第2章 光纤传输基本理论图2-2-5 梯度光纤中子午光射线轨迹剖析第2章 光纤传输基本理论上式表

35、明，射线上任一点轴向角的余弦与该点的折射率的乘积等于一个常数n0 cosz0。令N0=cosz0，则 n(r)cosz=n0N0 (2-2-16)若在图2-2-5中射线的轨迹上任取一单元长度ds，则(2-2-17)(2-2-18)2222dddddcosdddsszrzzszr代入式(2-2-16)得(2-2-19)(2-2-20)0022()dddn rzn Nzr0022200dd()n Nzrnrn N经整理得第2章 光纤传输基本理论这就是代表射线变化规律的微分方程。当光纤的折射率分布及初始条件n0、N0给定时，对该方程积分就可求得射线的轨迹为(2-2-21)00022200d()rrn

36、 NZrnrn N第2章 光纤传输基本理论3.光纤的最佳折射率分布光纤的最佳折射率分布自聚焦光纤自聚焦光纤研制梯度折射率光纤的目的是降低多模光纤的模间色散，那么，折射率分布n(r)为怎样的函数时，才能使多模光纤的模间色散最小呢?当然，最好的分布应该使各射线在Z方向的传播速度一样，从而实现自聚焦。只要所有的子午光线都具有相同的空间周期长度，就说明这些子午光线能够自聚焦。人们已经证明，双曲正割型折射率分布能够实现自聚焦，即(2-2-22)(0)()(0)seccosnn rnhArAr第2章 光纤传输基本理论式中，A是常数；n(0)是纤芯中心处折射率。将n(r)代入式(2-2-21)就可求出子午光

37、线的轨迹方程为(2-2-23)00002222220000cos1darcsin(0)(0)cosn Nn NArZrCAnnn Nn NAr从上式可得(2-2-24)0022200sinsin()(0)n NArA ZCnn N2LA(2-2-25)由此可知，射线的轨迹是Z的周期函数。设射线的空间周期长度为L，则从上式可得第2章 光纤传输基本理论由于A是表示光纤分布的参数，与初始条件无关，因此L也与初始条件无关。这说明当折射率分布为双曲正割型分布时，不同初始条件入射的子午光线有相同的轴向速度，能得到自聚焦。第2章 光纤传输基本理论4.抛物线分布光纤的传输特性抛物线分布光纤的传输特性由于理想的

38、双曲正割分布是难以实现的，人们设想用平方律分布去近似它，当把双曲正割函数展开时，发现它与平方律分布很接近。2421()(0)sec15(0)1()()22411()2n rnhArnArArnAr(2-2-26)(因为Ar96%，这表明高斯近似法是好的。在0.8/c2的范围内，0/a 能以优于1%的准确度近似为(2-3-26)3/2603/260.650.43()0.0149()0.651.6192.879ccaVV第2章 光纤传输基本理论图2-3-8 0/a，与/c、V的关系曲线第2章 光纤传输基本理论用高斯场来等效精确场的最大限制是不能用它来等效光纤包层中的场，这是因为精确场的衰减比高斯场

39、缓慢，因而包层中的场要寻找另外的近似方法。当r/a2时，包层中的场可用下式近似 11220()()()exp()2arKrara20201 exp 2()exp 2()coretotalcltotalPaPPaP 此式的准确度优于5%。利用高斯近似法我们来计算LP01模在光纤中的功率分布，在高斯近似下，它们具有简单的形式(2-3-27)(2-3-28)(2-3-29)第2章 光纤传输基本理论图2-3-9 Pcore/Ptotal与/c的关系曲线第2章 光纤传输基本理论图2-3-9示出了两种公式计算的功率比与/c的函数关系，由图可以看出，除大的/c值外，高斯近似法得到的准确度是可以接受的。第2章

40、 光纤传输基本理论2.3.4 非均匀单模光纤的近似分析非均匀单模光纤的近似分析以上我们所做的分析都是在阶跃光纤中进行的，实际使用的光纤有时并不是均匀的。即使是名义上均匀的光纤，由于在制造过程中出现的不完善，其折射率也将是随半径变化的非均匀光纤，因此需对非均匀单模光纤进行研究。有实际意义的折射率分布有两种，一种是在光纤纤芯和包层交界面附近，纤芯中的折射率下降，如图2-3-10所示，这是由于在制造过程中，纤芯材料与包层材料互相向对方扩散而形成的。另一种情况是光纤轴线上折射率下降，如图2-3-11所示，这是MCVD制造方法所引起的一种典型缺陷。第2章 光纤传输基本理论图2-3-10 梯度折射率分布剖

41、面形状第2章 光纤传输基本理论图2-3-11 中心凹陷梯度分布剖面形状第2章 光纤传输基本理论这两种折射率分布可统一用下式表示(2-3-30)222()12rnrnfa式中，f(r/a)是折射率分布形状函数。在ra时f(r/a)=0。对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况有(2-3-31)()1()(0)arrfraaa()1(1)(0)arrfraaa 对折射率中心凹陷情况有(2-3-32)是中心下降的相对深度。第2章 光纤传输基本理论对于这样的非均匀光纤，有各种近似解法，其中之一是将它等效为一个均匀光纤来进行分析。这种方法是基于以下两个事实为基础的：第一，非均匀光纤的场型与均匀光纤的场型非常相

42、近；第二，均匀光纤的特性已知。对于一个已知折射率分布的非均匀光纤，只要找出其等效的均匀光纤，便可用前面已讨论过的均匀光纤来描述它。寻找等效均匀光纤时常假定其包层折射率就等于真实光纤包层的折射率，因而需要决定的是其等效半径、等效相对折射率差、等效的归一化频率。求等效均匀光纤要经过比较复杂的数学运算，这里从略，只给出一种精确度可以接受的近似结果。第2章 光纤传输基本理论对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况有(2-3-33)12()223eeVVaa对折射率中心凹陷情况有(2-3-34)122(1)(1)(2)(1)(2)(3)6(3)(1)(2)2 eeVVaa2eeeVaVa在这两种情况下均有(2

43、-3-35)第2章 光纤传输基本理论如前所述，单模光纤的主要问题之一是求出LP11模的归一化截止频率Vc。对折射率在纤芯、包层界面梯度化情况，由式(2-3-33)可得(2-3-36)122(1)eVV1222.4048(1)V(2-3-37)由于等效阶跃光纤的LP11模的归一化截止频率Vec=2.4048，因此实际光纤LP11模的归一化截止频率为这样，就可确定光纤制造不完善对单模光纤工作范围的影响。折射率中心凹陷也将影响LP11模的归一化截止频率，但由于LP11模在光纤轴心处为零，因此造成的影响很小。第2章 光纤传输基本理论2.3.5 单模光纤中的偏振态传输特性单模光纤中的偏振态传输特性单模光

44、纤中，有极化方向互相垂直的两个基模LPy01和LPx01，它们的电场各沿y、x方向极化。因而单模光纤实际上传输着两个模式。在理想光纤中，光纤横截面的形状及折射率分布是均匀对称的，LPy01和LPx01的传播常数相等，即这两个模式是完全简并的。但实际光纤总带有某种程度的不完善，例如纤芯几何形状的椭圆变形，光纤内部的残余应力，光纤的弯曲、扭转等引起的折射率的各项异性，都将使LPy01和LPx01模的简并受到破坏，它们的传播常数x和y不再相等，这种现象叫做双折射现象，=xy是表明双折射程度的物理量，叫做单模光纤的双折射。双折射在单模光纤中引起一系列复杂的效应，影响到单模光纤的传输特性，双折射对单模光

45、纤传输特性的影响主要表现在两个方面，一是引起极化色散，二是使光波的极化状态沿光纤的长度而变化，这两种现象的分析比较复杂，下面只作简单介绍。第2章 光纤传输基本理论1.极化色散极化色散由于LPy01和LPx01模的传播常数x和y不同，因此引起这两个模式传输的不同步，从而形成色散，这种色散叫做极化色散。极化色散是模间色散的一种，但它与多模光纤中的模间色散不同，在完善光纤中它不存在。极化色散用LPy01和LPx01两个模式的单位长度上的时延差来表示。这两个模式传输单位长度所用时间各为tpx、tpy，于是(2-3-38)ddddddyxppxpytt第2章 光纤传输基本理论若用nx和ny分别表示两个双

46、折射轴的折射率，则,d()d()1ddyxxyxyxyxypnnccnnnnnnccc(2-3-39)对石英光纤，上式时延差中第二项远小于第一项，所以极化色散可简化为(2-3-40)xypnnc可见，极化色散与光纤双折射成正比。第2章 光纤传输基本理论2.单模光纤极化状态的变化单模光纤极化状态的变化由于LPy01和LPx01两个模式的相位常数x和y不同，这两个模式在传输过程中的相位差将沿光纤发生变化，这就引起总的电场和磁场的极化方向沿光纤发生变化。这种效应在某些应用场合必须加以考虑。比如，在集成光学器件中，输入光场必须保持一定的极化方向才能得到高的耦合效率；再如在相干光通信中，从单模光纤输出的

47、光场要与本地的光场叠加后送到探测器中去检测，这要求两光场的极化方向保持恒定。下面我们介绍光纤中光场的一些基本极化特性。第2章 光纤传输基本理论讨论一种简单情况，即单一频率的线极化波激励具有均匀双折射的单模光纤的情况。具有均匀双折射的单模光纤有两个互相垂直的特定轴，当LP01的电场沿这两个方向极化时，将分别得到最大和最小的相位常数，这两个轴称为双折射轴。我们使用直角坐标系，并使Ox轴和Oy轴与光纤的双折射轴重合，如图2-3-12所示。第2章 光纤传输基本理论图2-3-12 单模光纤双折射图第2章 光纤传输基本理论沿这两个方向极化的电磁波的相位常数分别为x和y。今有一频率为，电场强度幅度为E0的线

48、极化波与Ox轴成角(叫做输入极化角)对该单模光纤进行激励，如图2-3-12所示。将E0分解在两个轴上，其对应分量的幅度为(2-3-41)00cossinxyaEaE这两个分量即LPx01、LPy01模。设在输入端它们的相位是相同的，如光纤中没有衰减，则在沿光纤的任意点z处，LPx01、LPy01模的瞬时值表示为(2-3-42)Ex=ax cos(txz)=E0 cosj cos(txz)Ey=ay cos(tyz)=E0 sinj cos(tyz)第2章 光纤传输基本理论这两个模式之间的相位差为=(xy)z，它是随z变化的。这样两个模互相垂直、幅度不等、相位差为的线极化波合成为一个椭圆极化波，

49、因两波的相位差是随 z 变化的，所以其极化状态也随 z 变化。为了说明椭圆极化波的性质，引入两个参数：输出极化角和极化椭圆度。沿光纤的椭圆极化波的长轴一般并不与光纤的双折射轴重合，设它与Ox轴成角，如图2-3-12所示，这一角度称为输出极化角。设极化椭圆的长轴和短轴方向的电场幅度各为amax及amin，相应的光强为Imax及Imin，则椭圆极化度的定义为(2-3-43)22maxminmaxmin22maxminmaxminIIaaPIIaa第2章 光纤传输基本理论当极化椭圆度P=0时，amax=amin，此时极化椭圆长轴和短轴相等，椭圆极化波成为圆极化波；当P=1时，amin=0，此时椭圆极

50、化波变为线极化波。P在01之间变化。(2-3-44)22tan2tan2 cos1 sin 2 sinP可见，单模光纤的输出极化角与输出极化椭圆度P都与输入极化角及LPx01、LPy01模在z点的相位差有关。在不同的地点，不同，因而极化状态随z变化，图2-3-13给出了光波的极化状态随变化的情况。可以看出，单模光纤中光波的极化状态是沿z做周期性变化的，当经过一段长度L后，两模式的相位差变化2，则极化方向也旋转2的角度，又恢复到原来的情况，这个长度L叫做单模光纤的拍长。第2章 光纤传输基本理论由于(2-3-45)22xyL(2-3-46)L(xy)=2 所以可以看出，拍长越短，双折射越严重。第2