6.3.2角的比较与运算 （课件）人教版（2024）数学七年级上册.pptx

1、6 63 3角角6 63.23.2角的比较与运算角的比较与运算第六章第六章 几何图形初步几何图形初步知识点知识点角的大小比较角的大小比较知知1 1讲讲1方法方法具体操作具体操作示例示例度量度量法法用量角器量出角用量角器量出角的度数，然后比的度数，然后比较它们的大小较它们的大小如量得如量得 AOB=36，ECF=60，则，则 AOB ECF知知1 1讲讲方法方法具体操作具体操作示例示例叠合叠合法法把要比较的两个角的顶把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条点重合，把它们的一条边叠合在一起，另一边边叠合在一起，另一边放在叠合边的同侧，通放在叠合边的同侧，通过观察另一条边的位置过观察另一条边的位置来

2、比较两个角的大小来比较两个角的大小知知1 1讲讲特别解读特别解读1.度量法是从度量法是从“数数”的的角度角度比较大小，叠合法比较大小，叠合法是从是从“形形”的角度比较大小的角度比较大小.2.比较角的大小也比较角的大小也可用估测可用估测法：直接通过法：直接通过观察观察，比较，比较角的大小，角的大小，此方法此方法较为直观，但不较为直观，但不精准精准，仅适用，仅适用于角度于角度差别较大差别较大的角的大小比较的角的大小比较.知知1 1讲讲特别提醒特别提醒使用叠合法比较角的使用叠合法比较角的大小大小时要注意两点：时要注意两点：(1)重合，即顶点重合重合，即顶点重合，一，一条边重合；条边重合；(2)同侧，

3、即另一条同侧，即另一条边放边放在重合边的同一侧在重合边的同一侧.知知1 1练练例 1根据根据图图6.311，完成下列操作：，完成下列操作：解题秘方：解题秘方：利用利用角的两种比角的两种比较大小的方法较大小的方法比较比较角的大小角的大小.知知1 1练练(1)比较比较FOD与与BOD的大小的大小；解解：FOD 与与 BOD 有重合边和重合顶点，且有重合边和重合顶点，且射线射线OF 在在 BOD 的内部，根据叠合法可知的内部，根据叠合法可知 FOD BOD.知知1 1练练(3)借助量角器比较借助量角器比较 AOE 与与DOF的大小的大小.解：解：用量角器量得用量角器量得 AOE=3 0，DOF=3

4、0，所以所以 AOE=DOF.知知1 1练练方法点拨：方法点拨：比较比较角的大小的方法：用叠合法比较角角的大小的方法：用叠合法比较角的的大小时大小时，一定要将两个角的另一边落在重合边的，一定要将两个角的另一边落在重合边的同侧两边都同侧两边都不重合不重合，或有一边重合但另，或有一边重合但另边在重边在重合边的异侧的两角，可合边的异侧的两角，可通过通过度量法比较大小度量法比较大小.知知1 1练练1-1.如图，用同样如图，用同样大小的大小的三角板比较三角板比较 A 和和 B 的大小，的大小，下列下列判断正确判断正确的是的是()A A BB A BC A BD没有量角器，无法没有量角器，无法确定确定B知

5、知2 2讲讲知识点知识点角的和、差角的和、差2文字描述文字描述数学语言数学语言图示图示角的角的和和 AOC 是是 AOB与与 BOC 的和的和 AOC=AOB BOC 角的角的差差 AOB 是是 AOC与与 COB 的差的差AOB=AOC COB知知2 2讲讲特别解读特别解读1.两个角的和或差，两个角的和或差，仍然是仍然是一个角，角的和或一个角，角的和或差的差的度数，度数，就是它们就是它们度数的度数的和或差和或差.2.在在计算两个角的和计算两个角的和或差或差时要将度与度、分时要将度与度、分与分与分、秒与、秒与秒分别相加秒分别相加或相减或相减，分、秒相加时，分、秒相加时逢逢60 要进位，相减要进

6、位，相减时时要借要借1 当当60.知知2 2练练计算：计算：(1)27265348；(2)9079186.解题秘方：解题秘方：利用利用有理数的运算法则，结合角的单位有理数的运算法则，结合角的单位的的换算方法换算方法和进制进行计算和进制进行计算.例 2解：解：(1)2 72 65 34 8=8 074=8114.(2)9079186=89596079186=104 15 4.知知2 2练练21.计算：计算：(1)33 1628 244637(2)180(35542133)解解：3316282446375762655835；180(35542133)17960572712233.知知2 2练练如图

7、如图6.312，回答下列问题，回答下列问题.解题秘方：解题秘方：根据根据图中角的位置图中角的位置关系得到角的和差关系关系得到角的和差关系.例 3知知2 2练练(1)AOC 是哪两个角的和是哪两个角的和？解解：AOC=AOB BOC.(2)AOB 是哪两个角的差是哪两个角的差？AOB=AOD BOD=AOC BOC.知知2 2练练(3)如果如果 AOB=COD，那么，那么 AOC 与与DOB相等相等吗？为什么？吗？为什么？解：解：相等相等.因为因为 AOB=COD，所以所以 AOB BOC=COD BOC，即即 AOC=DOB.知知2 2练练3-1.在所给的：在所给的：15，65，75，135，

8、145角中，可以用一角中，可以用一副三角尺副三角尺画出来的是画出来的是()A.B.C.D.D知知2 2练练如图如图6.313，将两块直角三角尺的直角顶点，将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放叠放在一起在一起.解题秘方：解题秘方：此此题考查角的计算题考查角的计算问题，关键是记忆三角尺问题，关键是记忆三角尺各角各角的度数，把所求的角转化为已的度数，把所求的角转化为已知角的和与差知角的和与差.例 4知知2 2练练(1)若若 DCE=35，求，求 ACB 的度数的度数；解：解：由由题意得，题意得，ACD=9 0，ECB=9 0.因为因为 DCE=35，ACE=ACD DCE.所以所以 ACE=55.又又

9、因为因为 ACB=ACE ECB，所以所以 ACB=5590=145.知知2 2练练(2)若若 ACB=140，求，求 DCE 的度数的度数.解：解：因为因为 ACB=DCB ACD=140，所以所以DCB=14090=50.又因为又因为DCE=ECB DCB，所以所以DCE=9050=40.知知2 2练练4-1.如图，已知如图，已知 AOC=BOD=90，AOD=150，则则 BOC 的的度数度数为为()A30 B45C50 D60A知知3 3讲讲知识点知识点角平分线角平分线31.角平分线角平分线文字语言文字语言一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的一般地，从一个角的顶点出发

10、，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线射线，叫作这个角的平分线图形语言图形语言几何语言几何语言判定方法判定方法知知3 3讲讲2.角的角的n 等分线等分线类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分类似角的平分线，从角的顶点引出的射线，将角分成成相等相等的的n 个角，叫作角的个角，叫作角的n 等分线，例如角的三等分等分线，例如角的三等分线、四线、四等分线等分线等等.知知3 3讲讲特别解读特别解读1.角平分线的角平分线的“三要素三要素”：(1)是从角的顶点是从角的顶点引出引出的射线；的射线；(2)在角的内部；在角的内部；(3)将已知角平分将已知角平分.2.角的平分线只有一条角的平分线

11、只有一条，而，而角的角的n 等分线等分线有有(n1)条条.知知3 3练练如图如图6.314，OC 是是 AOD 的平分线，的平分线，OE 是是 BOD的的平分线平分线.例 5解题秘方：解题秘方：利用利用角平分线的定义及角平分线的定义及角的和差关系，将角的和差关系，将要求要求的角向已知的角向已知的角进行转化，找出它们之间的数的角进行转化，找出它们之间的数量关系量关系进行解答进行解答.知知3 3练练(1)如果如果 AOB=130，那么，那么 COE 是多少度是多少度？知知3 3练练(2)在在(1)的条件下，如果的条件下，如果DOC=20，那么，那么 BOE 是是多多少少度？度？解：解：由由(1)可

12、知可知 COE=6 5.因为因为DOC=20，所以所以DOE=COE DOC=45.因为因为OE 平分平分 BOD，所以，所以 BOE=DOE=4 5.知知3 3练练5-1.期末期末北京东城区北京东城区如如图，图，OC 是是 AOB 的平分的平分线，线，COD=20.知知3 3练练(1)若若 AOD=30，求，求 AOB 的度数的度数；解解：因为：因为COD20，AOD30，所以所以AOCCODAOD203050.因为因为OC是是AOB的平分线，的平分线，所以所以AOB2AOC100.知知3 3练练(2)若若BOD=2 AOD，求，求AOB的度数的度数.知知3 3练练如图如图6.315，O 为

13、直线为直线AB 上一点，上一点，AOC=50，OD平分平分 AOC，EOD=90例 6知知3 3练练(1)求求BOD的度数的度数；解题秘方：解题秘方：利用利用 BOD=BOC DOC 求解即可；求解即可；知知3 3练练(2)小明发现小明发现OE 平分平分 BOC，请你，请你通过计算通过计算说明理由说明理由.解题秘方：解题秘方：分别求出分别求出 COE 和和 BOE 的度数即可的度数即可.解：解：因为因为 DOE=90，DOC=25，所以所以COE=DOE DOC=9025=65.又因为又因为BOE=BODDOE=15590=65，所以所以 COE=BOE，即，即OE 平分平分 BOC.知知3

14、3练练6-1.如图，如图，1=2，3=4，则下列，则下列结论正确结论正确的的有有()AD 平分平分 BAE；AF 平分平分 EAC；AE 平分平分 DAF；AF 平分平分 BAC；AE 平分平分 BAC.A.4 个个 B.3 个个 C.2 个个 D.1 个个C知知3 3练练计算计算：(1)6224174；(2)107455例 7解解：62241 7 4=248966 8 =249378.107455=(107 5)(455)=21.49=210.46 09=2133 知知3 3练练7-1.计算：计算：(1)24 31 4 6210；(2)64 15 512253.解：原解：原式式9612462

15、10341143554；原式原式12513715506.角的比较与运算角的比较与运算角的角的比较比较与运与运算算角的比较角的比较角角的运算的运算度量法度量法叠合法叠合法角的和差角的和差角的平分线角的平分线如图如图6.316，已知，已知 BOC=2 AOC，OD 平分平分 AOB 且且 AOC=40，求，求COD的度数的度数.方法方法直接利用和差倍分关系计算角的度数直接利用和差倍分关系计算角的度数1例 8思路思路引导：引导：方法点拨方法点拨角之间的和差倍角之间的和差倍分的分的度数，就是它们度数，就是它们度度数的数的和差倍分和差倍分.期中期中 烟台莱州市烟台莱州市下列各小题中，都有下列各小题中，都

16、有OE 平分平分 AOC，OF 平分平分 BOC方法方法利用整体思想求角的度数利用整体思想求角的度数2思路引导：思路引导：例 9(1)如如图图6.317，若点若点A，O，B 在一在一条直线上条直线上，EOF=_.90(4)如图如图6.317，若，若OA 在在 BOC 的内部，的内部，AOB 和和 EOF 还存在上述的数量关系吗？请简单说明理由还存在上述的数量关系吗？请简单说明理由.存在存在解题策略解题策略在求角度的过程中在求角度的过程中，若，若发现该角分成的发现该角分成的几几个角个角的度数无法直接求的度数无法直接求出出(或直接求出非常或直接求出非常复杂复杂)，可，可考虑用整体思想，考虑用整体思

17、想，分析分析要求的角度要求的角度整体上整体上与已知与已知的角度存在的的角度存在的数量关系数量关系.模型解读模型解读双角平分线模型双角平分线模型：双角平分线和型双角平分线和型双角平分线差型双角平分线差型OC 是是 AOB 内一条射线内一条射线 OC 是是 AOB 外一条射线外一条射线OD，OE 分别为分别为 AOC，BOC 的平分线的平分线 期末期末 烟台栖霞市烟台栖霞市如图如图6.318，已，已知知 AOC BOC=1 3，AOD：BOD=5 7，若，若COD=15，求求 AOB 的度数的度数方法方法利用方程思想求角的度数利用方程思想求角的度数3解题秘方：解题秘方：根据根据 AOD AOC=C

18、OD=1 5 设设出出合适合适未知数，列方程求解未知数，列方程求解.例 10解题策略解题策略当很难直接找到当很难直接找到已知已知角和所求角的联系角和所求角的联系时时，可以，可以考虑逆向思维，考虑逆向思维，设出设出其中关键角的其中关键角的度数，度数，以某个以某个已知角的度数已知角的度数作为作为“桥梁桥梁”，写出相等关系写出相等关系，建立，建立方程模型来方程模型来解决问题解决问题.期末期末 新乡长垣市新乡长垣市已知已知O 是直线是直线AB 上的一点上的一点，COD是直角，是直角，OE 平分平分 BOC方法方法利用代数思想探究角的规律利用代数思想探究角的规律4思路引导：思路引导：例 11初步尝试：初

19、步尝试：(1)如图如图6.319，若，若 AOC 30，求，求DOE的的度数度数.类比探究：类比探究：(2)在图在图6.319 中，若中，若AOC，求求DOE的的度数度数(用含用含 的代数式表示的代数式表示).解决问题：解决问题：(3)如图如图6.319，O 是直线是直线AB 上的一点，上的一点，COD 是直角，是直角，OE 平分平分 BOC，探究，探究 AOC 和和 DOE 的的度数度数之间的数量关系之间的数量关系.解：解：因为因为OE 平分平分 BOC，所以，所以 COB=2 COE，所以所以 AOC=180 COB=180 2 COE=2(90 COE).因为因为 COD 是是直角，所以

20、直角，所以 DOE=90 COE，所以，所以 AOC=2 DOE方法点拨方法点拨所谓所谓“代数思想代数思想”，如，如本题在探究几何本题在探究几何问题时问题时，运用角平分线的，运用角平分线的定义定义及角的和差关及角的和差关系系直接探究直接探究较复杂，而将角的较复杂，而将角的和差和差关系转化关系转化为代数中为代数中的整式的整式运算去解决则运算去解决则变得很变得很简单，简单，我们把这种我们把这种解题解题思想称为思想称为“代数思想代数思想”.易错点易错点忽视角的位置关系而出错忽视角的位置关系而出错在平面内，已知在平面内，已知 AOB=70，BOC=40，求，求 AOC 的度数的度数.例12错解：错解：

21、AOC=AOBBOC=7040=11 0.正解：正解：分两种情况进行讨论：分两种情况进行讨论：(1)当当 BOC 在在 AOB 的外部时，的外部时，如图如图6.320，AOC=AOB BOC=70 40=110；(2)当当 BOC 在在 AOB 的内部时，的内部时，如图如图6.320，AOC=AOB BOC=7 0 4 0=3 0.综上，综上，AOC 的度数为的度数为110或或3 0.诊误区：诊误区：1.通常具有公共通常具有公共边的边的两个不相等两个不相等的角的角的位置关系的位置关系有两种有两种：(1)较小的角在较小的角在较大的较大的角的内部；角的内部；(2)较小的角在较小的角在较大较大的角的

22、外部的角的外部.2.在无图的题中，在无图的题中，画图画图时切记要考虑时切记要考虑图形图形可能出现的可能出现的各种各种情形情形.考法考法利用角平分线求角的度数利用角平分线求角的度数1中考中考乐山乐山如图如图6.321，点，点O在直线在直线AB 上，上，OD 是是 BOC 的平分线的平分线，若，若 AOC=140，则，则 BOD 的的度数度数为为_.20例13试题评析：试题评析：本题本题考查角的运算，考查角的运算，掌握平角掌握平角及角平分及角平分线定义是解题关键线定义是解题关键.考法考法利用方程思想求角的度数利用方程思想求角的度数2例14试题评析：试题评析：本题考查利用方程本题考查利用方程思想求思

23、想求角的度数，解角的度数，解题的关键是利用图形题的关键是利用图形中角中角的关系列出方程的关系列出方程.1.期末期末泰安岱岳区泰安岱岳区在在 AOB 内取内取一点一点C，作射线，作射线OC，则下列结论一定则下列结论一定成立的成立的是是()A.AOC=BOCB.AOC BOCC.BOC AOCD.AOB AOCD2.期末期末 襄阳襄城区襄阳襄城区如图，点如图，点O 在在直线直线AB 上，上，射线射线OC 平分平分 DOB.若若 COB=35，则，则 AOD 等于等于()A.110 B.145C.35 D.70A3.如图，将一副三角尺的直角顶点如图，将一副三角尺的直角顶点重合重合放置于放置于A 点处

24、点处(两两块三角尺看成块三角尺看成在同在同一平面内一平面内)，下列结论一定成立，下列结论一定成立的的是是()A.BAE CAD=90B.EAC BADC.BAD=CAED.BAE CAD=90C4.期末期末南京秦淮区南京秦淮区如图，将三个如图，将三个大小相同大小相同的正方形的一的正方形的一个顶点重合个顶点重合放置放置，则，则，三个角的数量三个角的数量关系为关系为()A.=9 0B.=9 0C.=9 0D.2 =9 0C5.如图，已知如图，已知M是直线是直线AB 上一点上一点，AMC=54 48，BMD=64 19，则则CMD=_.6053457.计算：计算：(1)5339 38 2628 17

25、；(2)5325 35.解解：53393826281780755；5325355352553526512515267515.8.如图，如图，OD，OE 分别是分别是 AOC 和和 BOC 的平分线，且的平分线，且 DOE=90，请问，请问：A，O，B 三点在同一条直线三点在同一条直线上上吗吗？为什么？为什么？解：解：A，O，B三点在同一条直线上理由如下：三点在同一条直线上理由如下：因为因为OD，OE分别平分分别平分AOC和和BOC，所以所以AOC2COD，BOC2COE.因为因为DOEDOCEOC90，所以所以AOBAOCBOC2DOC2EOC2DOE180.所以所以A，O，B三点在同一条直线

26、上三点在同一条直线上10.如图，如图，O 为直线为直线AB 上一点，将上一点，将直角三角尺直角三角尺的直角顶点的直角顶点放在点放在点O 处处.已知已知 AOC 的度数比的度数比 BOD 的度数的的度数的3倍倍多多10.(1)求求 BOD 的度数的度数；解解：设：设BODx，则，则AOC3x10.因为因为BODCODAOC180，所以所以x903x10180.所以所以x20.所以所以BOD20.(2)若若OE，OF分别平分分别平分BOD，BOC，求，求 EOF 的度的度数数(写出必要的写出必要的推理过程推理过程)11.如图，如图，AOB是直角，是直角，AOC=40，ON 是是 AOC 的平分线，的平分线，OM 是是 BOC 的平分线的平分线.(1)求求 MON 的大小；的大小；(2)当当锐角锐角 AOC 的大小发生改变时的大小发生改变时，MON 的大小是的大小是否发生改变否发生改变？为什么？为什么？