6.3.3余角和补角 （课件）人教版（2024）数学七年级上册.pptx

1、6 63 3角角6 63.33.3余角和补角余角和补角第六章第六章 几何图形初步几何图形初步知识点知识点余角和补角的定义余角和补角的定义知知1 1讲讲1名称名称定义定义图例图例数学语言数学语言余角余角如果两个角的和等于如果两个角的和等于90(直角直角)，就说这两，就说这两个角互为余角，个角互为余角，简称这简称这两个角互余两个角互余.其中一个其中一个角是另一个角的余角角是另一个角的余角如果如果1 2=90，就，就说说1 和和2 互互余，或余，或1是是2 的余角，或的余角，或2 是是1 的余角的余角知知1 1讲讲名称名称定义定义图例图例数学语言数学语言补角补角如果两个角的和等于如果两个角的和等于1

2、80(平角平角)，就说这两，就说这两个角互为补角，简称这个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个两个角互补，其中一个角是另一个角的补角角是另一个角的补角如果如果3 4=180，就，就说说3 和和4 互互补，或补，或3是是4 的补角，或的补角，或4 是是3 的补角的补角知知1 1讲讲特别解读特别解读1.互余、互补是指互余、互补是指两个两个角之间角之间的数量关系的数量关系，它们是它们是成成对出现的对出现的.2.互余、互补只互余、互补只与与数量有关数量有关，与位置无关，与位置无关.互互余和互余和互补揭示的补揭示的是两是两个角之间的个角之间的数量关系数量关系：一个锐角的：一个锐角的余角余角为为90，补

3、角，补角为为180.因此因此，一个角的，一个角的余余(补补)角可以有多个角可以有多个.知知1 1练练例 1 已知一个角的补角比这个角的余角的已知一个角的补角比这个角的余角的3 倍大倍大10，求这个求这个角的度数角的度数.解题秘方：解题秘方：紧紧扣余角和补角的定义结合数量关系列扣余角和补角的定义结合数量关系列方程方程解答解答.解：设这个角的度数为解：设这个角的度数为x，则这个角的补角，则这个角的补角为为(180 x)，余角，余角为为(90 x).根据题意，得根据题意，得(180 x)3(9 0 x)=1 0，解得解得x=5 0.所以所以这个角的度数为这个角的度数为5 0.知知1 1练练1-1.如

4、图如图，AOC 与与BOC 互为补角互为补角，BOC 与与BOD 互为互为余角，余角，且且BOC=4 BOD.知知1 1练练(1)求求BOC 的度数的度数；知知1 1练练(2)若若OE 平分平分AOC，求，求BOE 的度数的度数.知知1 1练练如如图图6.323，O 为直线为直线AB 上一点，上一点，AOC=DOE=90.例 2解题秘方：解题秘方：从从图中找互余或互补的角，可从两个方图中找互余或互补的角，可从两个方面面进行进行：一个方面是从角的度数入手，和为：一个方面是从角的度数入手，和为9 0 的的两个角互余两个角互余，和，和为为180 的两个角互补；另一个方面的两个角互补；另一个方面是从整

5、体入手，将是从整体入手，将直角直角分成两个角，则这两个角互分成两个角，则这两个角互余，将平角分成两个角，则余，将平角分成两个角，则这两这两个角互补个角互补.知知1 1练练(1)图中互余的角有几对？分别是哪些图中互余的角有几对？分别是哪些？解解：因为：因为O 为直线为直线AB 上一点，上一点，所以所以BOC AOC=180，DOE 14=180.因为因为AOC=DOE=9 0，所以，所以12=90，23=90，BOC=34=90，14=90.所以图中互余的角有所以图中互余的角有4 对，分别对，分别是是1 和和2，2 和和3，3 和和4，1 和和4.知知1 1练练(2)图中互补的角有几对？分别是哪

6、些？图中互补的角有几对？分别是哪些？解：解：由已知由已知得得1 BOD=180，4 AOE=180.因为因为12=90，23=90，所以，所以1=3.所以所以3 BOD=1 80.因为因为34=90，23=90，所以，所以2=4.所以所以2AOE=1 8 0.知知1 1练练又又因为因为AOC BOC=180，AOC DOE=180，DOEBOC=1 8 0，所以图中互补的角有所以图中互补的角有7 对，分别对，分别是是1 和和BOD，4 和和AOE，3 和和BOD，2 和和AOE，AOC 和和BOC，AOC 和和DOE，DOE 和和BOC.知知1 1练练2-1.期末期末 襄阳襄阳 如图如图，已知

7、，已知A，O，B 三三点在点在同一直线上，且同一直线上，且OC平分平分BOD，OE 平分平分AOD，下列结论：，下列结论：BOC 与与AOE 互余互余；BOE 与与EOD 互补互补；图中互余的角有图中互余的角有4 对；对；图中互补的角有图中互补的角有5 对对.其中正确的有其中正确的有()A.1 个个 B.2 个个 C.3 个个 D.4 个个D知知2 2讲讲知识点知识点余角、补角的性质余角、补角的性质2内容内容几何语言几何语言余角的余角的性质性质同角的余角相等同角的余角相等因为因为1 2=90，1 3=90，所以所以2=3等角的余角相等等角的余角相等因为因为1 2=90，3 4=90，且且1=3

8、，所以，所以2=4补角的补角的性质性质同角的补角相等同角的补角相等因为因为1 2=180，1 3=180，所以，所以2=3等角的补角相等等角的补角相等因为因为1 2=180，3 4=180，且，且1=3，所以，所以2=4知知2 2讲讲特别解读特别解读1.如果互补的两个角相等如果互补的两个角相等，那么，那么这两个角这两个角都是直角都是直角.2.“同角同角”指同一个角指同一个角，“等角等角”指度数相等指度数相等的角的角，同角，同角一定是等角一定是等角，但，但等角不一定是同角等角不一定是同角.3.余角、补角的性质余角、补角的性质是说明是说明两个角相等的两个角相等的重要依据重要依据.知知2 2练练如图

9、如图6.324，直线，直线AB 与与COD的两边的两边OC，OD分别分别相交于点相交于点E，F，1 2=180.找出图中找出图中与与2 相等的角相等的角，并，并说明理由说明理由.例 3解题秘方：解题秘方：先找出先找出与与1 和和2 互补的角，然后利用互补的角，然后利用互补的互补的关系关系找出找出与与2 相等的角相等的角.知知2 2练练解：解：因为因为13=1 8 0，12=180，所以所以3=2.同理同理，4=2，2=6.所以图中与所以图中与2 相等的角相等的角有有3，4，6.知知2 2练练3-1.如图，如图，O 为直线为直线AB上上一点，一点，OC 平分平分AOB，DOE=90.知知2 2练

10、练(1)写出写出COD的余角的余角；解解：COD的余角有的余角有AOD，COE.知知2 2练练(2)AOD 和和COE相等吗？为什么？除相等吗？为什么？除90 的的角外，还有哪些相等的角？请说明理由角外，还有哪些相等的角？请说明理由；解：解：相等因为相等因为O为直线为直线AB上一点，上一点，OC平分平分AOB，所以所以AOCBOC90.所以所以AODCOD90.又因为又因为COECODDOE90，所以所以AODCOE.相等相等的角还有的角还有BOECOD.理由：因为理由：因为CODCOE90，BOECOEBOC90，所以，所以BOECOD.知知2 2练练(3)写出写出COD 的补角的补角.解：

11、解：COD的补角为的补角为AOE.知知2 2练练如图如图6.325，已知，已知O 是直线是直线AB 上的一点，上的一点，OC是一是一条射线条射线，OD平分平分AOC，DOE=90，OE 平分平分BOC 吗？吗？为什么为什么？例 4解题秘方：解题秘方：先紧先紧扣角平分线的定扣角平分线的定义，利用余角的性质说明义，利用余角的性质说明两个两个角角相等相等.知知2 2练练解：解：OE 平分平分BOC.理由如下：理由如下：因为因为DOE=9 0，所以所以DOC COE=9 0.又又因为因为AOB=180，所以所以AOD BOE=90.因为因为OD平分平分AOC，所以所以AOD=DOC.所以所以COE=B

12、OE，即，即OE 平分平分BOC.知知2 2练练4-1.期末期末厦门思明区厦门思明区如如图图，AOB=90，COD=90，OA 平分平分DOE，若若BOC=20，求求AOE 的度数的度数.解：解：因为因为AOBCOD90，BOCAOCAOB，AODCOACOD，所以，所以AODBOC20.因为因为OA平分平分DOE，所以所以AOEAOD20.余角和补角余角和补角余角和余角和补角补角余角余角补角补角定义定义性质性质题型题型利用互余、互补的定义识别余角、补角利用互余、互补的定义识别余角、补角1例 5解题秘方：解题秘方：分别计算分别计算2 与各选项的和，结果为与各选项的和，结果为9 0的的符合符合要

13、求要求.答案：答案：D方法点拨方法点拨识别两个角是否识别两个角是否互余互余，只需要计算两个，只需要计算两个角角的和的和是否等于是否等于90即可即可.新新视角视角 操作探究操作探究题题如如图图6.326，把一张长方形纸片，把一张长方形纸片的的一角一角任意折向长方形内，使点任意折向长方形内，使点B 落在点落在点B的位置的位置，折痕为折痕为EF，再沿，再沿GF 折叠，使点折叠，使点C 落在落在点点C的位置，如果的位置，如果CF 与与FB在在同同一一条直线条直线上，请你上，请你判断判断GFC与与EFB的的关系关系，并说明理由，并说明理由.题型题型利用角平分线的定义探究互余、互补利用角平分线的定义探究互

14、余、互补2例 6思路引导：思路引导：方法点拨方法点拨本题的解题本题的解题方法方法主要利用了主要利用了“一个特一个特点点”“三个定义三个定义”，一，一个特点是指折叠个特点是指折叠图形图形中中折痕的特点折痕的特点(折痕折痕所在所在的直线即角平分线的直线即角平分线所所在在的直线的直线)；三个定义；三个定义分别分别是指角平分线的定是指角平分线的定义义、余角、余角的定义和补角的定义和补角的定义的定义.荣德原创题荣德原创题两艘货轮从如图两艘货轮从如图6.327所所示的码头示的码头O 出发出发，货轮货轮G 向南偏西向南偏西20的的OA 的的方向行驶，货轮方向行驶，货轮F 向南偏向南偏东东70的的OB 方向航

15、行方向航行.例 7题型题型利用方位角的定义探究余角、补角利用方位角的定义探究余角、补角3思路引导：思路引导：通过计算通过计算各角的度数进行判断各角的度数进行判断.(1)分别画出射线分别画出射线OA，OB；解解：如：如图图6.328，射，射线线OA，OB 即为所求即为所求.(2)找出图中所有互余和互补及相等的角找出图中所有互余和互补及相等的角(小于小于180的角的角).解：解：互余的角有互余的角有WOA 与与SOA，WOA 与与EOB，AOS 与与BOS，BOS 与与EOB；互补的角有互补的角有WOA 与与EOA，WOB 与与EOB，NOA 与与SOA，NOB 与与SOB，WOA 与与NOB，B

16、OS 与与AOE，WOB 与与AOS，NOA 与与EOB.NOW，SOW，SOE，NOE 和和AOB 都是都是90，它们两，它们两两互补；相等的角有两互补；相等的角有NOW=SOW=SOE=NOE=AOB，WOA=SOB，SOA=EOB.解法提醒解法提醒1.以观测点为顶点，以观测点为顶点，南北方向南北方向线和东西方向线和东西方向线各自线各自形成平形成平角，可以角，可以解决解决互补问题互补问题.2.以观测点为顶点，以观测点为顶点，南北南北方向线和东西方方向线和东西方向线向线相交形成直相交形成直角，角，可以解决可以解决互余问题互余问题.3.利用角度计算或同利用角度计算或同角角(或等角或等角)的余角

17、的余角、补角、补角相等，解决相等，解决等角问题等角问题.如图如图6.329 所示，将一副三角尺的直角顶点重合所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点在点 处处.题型题型利用角的和差关系及余角的性质探究两角利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系之间的关系4例 8思路引导：思路引导：紧紧扣要判定的角和扣要判定的角和两个两个90 角的关系角的关系进行分析进行分析.(1)()AOD和和BOC 相等吗？请说明理由相等吗？请说明理由.解解：()AOD=BOC.理由如下：理由如下：因为因为AOB=COD=9 0，所以所以AOB BOD=COD BOD，即即AOD=BOC.()AOC 和和BOD在数量上有

18、何关系？请说明理由在数量上有何关系？请说明理由解：解：AOC BOD=1 8 0.理由如下理由如下:因为因为AOB AOC COD BOD=360，AOB=COD=90，所以所以AOCBOD=360AOBCOD=180.(2)若将这副三角尺按如图若将这副三角尺按如图6.329 所所示摆放，三角尺示摆放，三角尺的直角的直角顶点重合在顶点重合在点点处处.()AOD和和BOC相等吗相等吗？请？请说明理由说明理由.()AOC和和BOD在在(1)中的数量关系还成立吗中的数量关系还成立吗？请？请说说明理由明理由.()AOD=BOC.理由如下：理由如下：因为因为AOB=COD=9 0，所以所以AOB BOD

19、=COD BOD，即即AOD=BOC.()成立成立.理由如下理由如下:因为因为AOB=COD=90，所以，所以AOC BOD=AOBBOC BOD=AOB COD=9090=180.解题关键解题关键1.在探究三角尺中的在探究三角尺中的有关角有关角的关系时，要的关系时，要充分充分利用利用三角尺中隐含三角尺中隐含的的90，60，45，30等等特殊特殊角角2.等式的性质在等式的性质在角的角的推理中的应用推理中的应用，即若，即若 1=2，则则13=23.方法点拨：方法点拨：在图形的变换在图形的变换探究探究中，应善于抓住中，应善于抓住不变不变的量的量(如本题的如本题的两个两个直角直角)和变化的和变化的量

20、量(如本题如本题图图6.329 中中 AOD=AOB BOD，图图6.329 中中 AOD=AOB BOD).结结合合两个两个量才能探究出结论是否变化量才能探究出结论是否变化.易错点易错点对余角、补角的概念理解不透彻而出错对余角、补角的概念理解不透彻而出错下列下列说法正确的是说法正确的是()A.一个角的补角一定大于这个角一个角的补角一定大于这个角B.任何一个小于任何一个小于180的角既有余角又有补角的角既有余角又有补角C.锐角和钝角互补锐角和钝角互补D.锐角的补角一定是钝角锐角的补角一定是钝角例 9错解错解：A正解：正解：紧紧扣余角和补角的定义，结合其数量关系扣余角和补角的定义，结合其数量关系

21、进进行判断行判断.锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从而而A 错误错误，D 正确正确.答案：答案：D诊误区：诊误区：1.只有锐角既有余角只有锐角既有余角又有又有补角，而钝角补角，而钝角没有余角没有余角，只有补角只有补角.2.互补的两个角除两互补的两个角除两个直角个直角外，一定是一外，一定是一个锐角个锐角，一个钝角一个钝角.考法考法利用余角利用余角(补角补角)的定义求一个角的的定义求一个角的余角余角(补角补角)1中考中考梧州梧州 已知已知 A=55，则，则它的余角是它的余角是()A.25 B.35 C.45 D.55试题评析：试题评析：本题本题考查了余角的

22、考查了余角的定义和定义和角的运算，解角的运算，解题的关键是理解互为题的关键是理解互为余角余角的两个角的数量关系的两个角的数量关系.解：解：因为因为A=55，所以，所以它的余角它的余角是是90 A=90 55=35.B例10考法考法利用三角尺的特征探究两个角之间的关系利用三角尺的特征探究两个角之间的关系2中考中考德州德州如图如图6.330，将一将一副三角尺按不同的位副三角尺按不同的位置摆放，下列置摆放，下列方式方式中，中，与与 互余的是互余的是()A.图图 B.图图 C.图图 D.图图例11试题评析：试题评析：本题本题考查了余角和补角考查了余角和补角的知识的知识，熟记概念与性，熟记概念与性质是解

23、题的关键质是解题的关键.解：解：图图，=18090=90，则，则 和和 互余互余；图；图，根据同角的余角相等，根据同角的余角相等，得得=，但，但 和和 不一定互余不一定互余；图；图，根据等角的补角相等，根据等角的补角相等，得得=18045=135，所以，所以与与 不互余不互余；图；图，=180，则，则和和 互补互补 答案：答案：A1.中考中考武威武威 若若=70，则，则的的补角的度数是补角的度数是()A.13 0 B.110 C.30 D.20 B2.如图，一副三角尺按不同的位置如图，一副三角尺按不同的位置摆放摆放，摆放位置中，摆放位置中 与与 一定一定相等相等的图形个数共有的图形个数共有()

24、A.1 个个 B.2 个个 C.3 个个 D.4 个个B3.下列说法错误的是下列说法错误的是()A.5338 角与角与3622 角互为余角角互为余角B.如果如果1 2=180，那么，那么 1与与 2 互为补角互为补角C.两个角互补，如果其中一个是两个角互补，如果其中一个是锐角锐角，那么另一个一，那么另一个一定是钝角定是钝角D.一个角的补角比这个角的余角一个角的补角比这个角的余角大大180D4.中考中考通辽通辽 如图，点如图，点O 在直线在直线AB上，上，AOC=53 172 8，则，则 BOC 的度数是的度数是_12642325.母母题题 教材教材P177例例4 如图，如图，AB 是直线是直线，BOC=AOC=90，OD，OE 是是射线射线，则图中至少，则图中至少有有_对对互余互余的角，的角，_对对互补的角互补的角.238.如如图，点图，点O 是直线是直线CE 上一点，上一点，以以O 为顶点作为顶点作 AOB=90，OB 平分平分 COD.(1)当当 DOE=96 时，求时，求 AOC 的的度数度数；(2)若若 AOE 与与 DOB 互补，求互补，求 DOE的的度数度数.解：解：因为因为AOEAOC180，AOEDOB180，所以，所以AOCBOD.因为因为BOCAOC90，所以所以BOCBOD90.所以所以EOD180(BOCBOD)90.