1、函数的单调性 考向一 函数单调性的证明 1、根据定义证明函数 x xy 1 在区间), 1（上单调递增。 证明： 1212 ,(1,),x xxx且有 2112 1212121212 12121212 1111 ()()()()()(1) xxxx yyxxxxxxx x xxxxx xx x 12121212 ,(1,),1,1.1,10 x xxxx xx x 由得所以 12 12121212 12 ,0,(1)0. xx xxxxx xyy x x 又由得于是，即 所以，函数 1 yx x 在区间), 1（上单调递增。 2、已知函数 2 ( ) 1 f x x ，x0,2，用定义证明 f
2、(x)在区间0,2上是增函数. 证明：设 12 02xx ，则 2121 12 121212 211222 111111 xxxx f xf x xxxxxx . 由 12 02xx ， 得 2112 0110 xxxx ， ， 所以 12 0f xf x ，即 12 f xf x ， 故f(x)在区间0,2 上是增函数. 3、利用定义法证明：函数 () = 2+ 1 在定义域内是减函数 答案：略 解析：在定义域内任意取 1,2，且 1 0 所以 (1) (2) 函数 () = 2+ 1 在定义域内是减函数 4、已知函数() = 2 +1判断函数()在0,+)上的单调性，并用定义法证明； 答案
3、：()在0,+)上是单调递减函数 解析：()在0,+)上是单调递减函数，证明如下： 任取1，2 0,+)且1 2，则 (1) (2) = 2 1+1 2 2+1 = 2(2+1)2(1+1) (1+1)(2+1) = 2(21) (1+1)(2+1) 0 1 0，1+ 1 0，2+ 1 0 (1) (2) 0即(1) (2) ()在0,+)上是单调递减函数 5、利用定义求函数 1 ( ) 1 f xx x 的单调区间. 【答案】增区间为( , 2 和0, )，减区间为 2, 1) 和( 1,0 【解析】由题意函数 1 ( ) 1 f xx x 的定义域为 | 1x x ， 取 1 1x ， 2
4、 1x ， 则 12 121212 1212 11 ()() 1111 xx f xf xxxxx xxxx 12 1212 1212 1111 1 1111 xx xxxx xxxx ， 当 21 2xx 时， 12 0 xx ， 12 111xx， 12 1110 xx ， 此时 12 ( )0(f xf x ， 12 ( )()f xf x ， ( )f x 单调递增； 当 21 21xx 时， 12 0 xx ， 12 0111xx ， 12 1110 xx ， 此时 12 ( )0(f xf x ， 12 ( )()f xf x ， ( )f x 单调递减； 当 21 10 xx 时
5、， 12 0 xx ， 12 0111xx ， 12 1110 xx ， 此时 12 ( )0(f xf x ， 12 ( )()f xf x ， ( )f x 单调递减； 当 21 0 xx 时， 12 0 xx ， 12 111xx， 12 1110 xx ， 此时 12 ( )0(f xf x ， 12 ( )()f xf x ， ( )f x 单调递增； 综上，函数 1 ( ) 1 f xx x 的单调增区间为( , 2 和0, )，减区间为 2, 1) 和 ( 1,0 . 6、已知函数 f(x)对任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)0，f(1)
6、2 3.求证：f(x)是 R 上的单调减函数 【答案】见解析 【解析】(1)证明：设 x1，x2是任意的两个实数，且 x10，因为 x0 时，f(x)0， 所以 f(x2x1)0， 又因为 x2(x2x1)x1， 所以 f(x2)f(x2x1)x1 f(x2x1)f(x1)， 所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)0， 所以 f(x2) 0成立的是( ) A = +1 B = | + | + 2| C = | D = 2 3 答案：B 解析：单调性定义+判断 因为1,2 (0,+)，都有(1)(2) 12 0，所以()在(0 + )上是增函数 A = 1+ = 1 + 1 +1是减函数. B 0时， = 2 + 2, = | + | + 2|在(0,+)是增函数 C = |在(0,+)是减函数。 D = 2 3在(0,+)是减函数 10、下列命题中正确的有_ 若 () 是增函数，且 () 0，则 1 () 是减函数； 若 () 是减函数，则 () 是增函数； 若 () 是增函数，() 是减函数，则 () () 为增函数 答案： 解析：根据函数的判定口诀，可知三种判断关系均正确
