2021合肥零模理数+答案.pdf

1、 1 合肥市2021届高三调研性检测 合肥市2021届高三调研性检测 数学试题(理科) 数学试题(理科) (考试时间：120分钟 满分：150分) (考试时间：120分钟 满分：150分) 第卷 第卷 (60分)(60分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数z满足12izi ，其中i是虚数单位，则复数z的模为 A.2 B.3 C.2 2 D.3 2.若集合1Ax x， 2 230Bx xx

2、，则AB A.1 3， B.1 3， C.1 1 ， D.1， 3.若变量xy，满足约束条件 1 1 33 xy xy xy ， ， ， -则目标函数3zxy的最小值为 A. 9 2 B.-4 C.-3 D.1 4.为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内15家药店所销 售的A，B两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检10包口罩(每包10只)，15家药店中抽检的A，B型 号口罩不合格数(， )的茎叶图如图所示， 则下列描述不正确 的是 A.估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率 B.组数据的众数大于组数据的众数 C.组数据的中位数大于组数据的中位数 D.组

3、数据的方差大于组数据的方差 5.设数列 n a的前n项和为 n S，若 31 22 nn Sa，则 5 S A.81 B.121 C.243 D.364 6.函数 cos xx xx f x ee 在 ，上的图象大致是 7.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰 好在同一排且连在一起.为安全起见， 每个核子至少有一侧有家长陪坐， 则不同的 坐法种数为 A.8 B.12 C.16 D.20 8.已知函数 2sinf xx ( 0 ， 2 )的部分图象如图所示， 则函数 f x 的单调递减区间为 2 A. 3 2 2 88 kkkZ ， B. 3 88 kkkZ ， C.

4、 37 2 2 88 kkkZ ， D. 37 88 kkkZ ， 9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C. 8 3 D.16 3 10.在ABC中，DEF， ，分别是边BCCAAB，的中点， ADBECF，交于点G，则： 11 22 EFCABC ； 11 22 BEABBC ； ADBEFC ； 0GAGBGC . 上述结论中，正确的是 A. B. C. D. 11.双曲线 22 22 :1 xy C ab (00ab，)的左、右焦点分别为 12 FF，M为C的渐近线上一点，直 线 2 F M交C于点N，且 2 0F

5、M OM ， 22 3 2 F MF N (O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 A.5 B.2 C.3 D.2 12.已知a，bR，函数 32 1f xaxbxx(0a)恰有两个零点，则ab的取值范围是 A. 0， B. 1， C. 1 4 ， D. 1 4 ， 第卷 第卷 (90分)(90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置. 13.若命题p：若直线l与平面内的所有直线都不平行，则直线l与平面不平行；则命题p是 命题(填“真”或“假”). 14.若直线l

6、经过抛物线 2 4xy 的焦点且与圆 22 121xy相切，则直线l的方程 为 . 15.已知函数 cosf xxxxR，是钝角三角形的两个锐角，则cosf sinf (填写：“”或“”或“”). 16.已知三棱锥PABC的顶点P在底面的射影O为ABC的垂心， 若 2 PBC ABCOBC SSS ， 且三棱锥 PABC的外接球半径为3，则 PABPBCPAC SSS 的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 设数列 n a的前n项和为 n S， 1 3a

7、， 2 1a .若数列 n S n 为等差数列. (1)求数列 n a的通项公式 n a； (2)设数列 1 1 nn aa 的前n项和为 n T，若对 * nN 都有 n Tm成立，求实数m的取值范围. 3 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 为检查学生学学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级 1500 名同学进行了传染病防控 知识检测，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间40 50，50 60，80 90，90 100，分别 统计，绘制成频率分布直方图如下. (1)估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数(结 果精确到个位)； (2)根据频率分布直方图，

8、按各分数段的人数的比例，从 得分在区间80 90，和90 100，的学生中任选7人，并从这7 人中随机选3人作传染病预防知识宣传演讲， 求这3人中至少 有一人得分在区间90 100，内的概率. 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) 已知：在ABC中，三个内角ABC， ，的对边分别为abc， ，且3b ，sinsin2 3AaB. (1)当7a 时，求ABC的面积； (2)当ABC为锐角三角形时，求sinsinBC的取值范围. 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 在三棱锥PABC中，BC平面PAB，平面PAC平面ABC. (1)证明：PA平面ABC； (2)

9、若D为PC的中点，且2 2PAAB，ABBC，求二面角 ABDC的余弦值. 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系中，动点E(xy，)满足方程 22 22 114xyxy. (1)说明动点E的轨迹是什么曲线，并求出曲线C的标准方程； (2)若点P( 3 1 2 ，)， 是否存在过点(01，)的直线l与曲线C相交于A，B两点， 且直线PA，PB与y 轴分别交于M，N两点，使得PMPN？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 22.(本小题满分12分) 22.(本小题满分12分) 已知函数 2 lnf xxaxx aR. (1)讨论函数 f x的单调性；

10、 (2)若函数 f x有极值且极值大于0，求实数a的取值范围. 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 1 页 共 4 页 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(理科) 合肥市2021届高三调研性检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.假 14.0 x 或4330 xy 15. 16.18 三、解答题： 17.(本小题满分10分) 三、解答题： 1

11、7.(本小题满分10分) 解:(1)由 1 3a ， 2 1a 得 1 3S ， 2 4S ， 1 3 1 S ， 2 2 2 S . 数列 n S n 为等差数列，31 14 n S nn n ，4 n Sn n. 当2n 时， 1 25 nnn aSSn . 当1n 时，25 n an也成立. 25 n an. 5分 (2) 1 11111 25232 25232 nn aannnn ， 111 2323 n T n . 1 1111 2 23212321 nn TT nnnn ， 当1n 时， 1nn TT ，即 21 TT； 当2n 时， 1nn TT ，即 2n TT； nN ， 2

12、 2 3 n TT ， Nn ，都有 n Tm成立， 2 3 m . 10分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解:(1)设中位数估计值为x，根据频率分布直方图得， 0.2870 0.050.10.220.5 10 x ， 解得 9 7475 14 x . 高一年级传染病防控知识测试得分中位数的估计值为75.6分 (2)根据频率分布直方图得，得分在区间80，90)和90，100的频率分别为0.25，0.1，其比例为5:2， 所选的7人中，得分在80，90)的有5人，得分在90，100的有2人. 从7人中随机选3人，至少有一人得分在区间90，100上的概率为 3 5 3 7

13、 5 1 7 C C . 12分 19.(本小题满分12分) 19.(本小题满分12分) 解: (1)3b ，sinsin2 3AaB，sinsinaBbA，sin3sin2 3AA， 3 sin 2 A . 当7a 时，由37ba得0 2 A ，.又 3 sin 2 A ， 3 A . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D B A C D C C A D 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 2 页 共 4 页 D O P B C A y x z O D A C B P 由余弦定理得， 222 2cosabcbcA， 2 793cc，解得

14、1c 或2c . 当1c 时，ABC的面积 13 3 sin 24 ABC SbcA ； 当2c 时，ABC的面积 13 3 sin 22 ABC SbcA . 6分 (2)ABC为锐角三角形， 3 sin 2 A ， 3 A ， 2 3 CB . 依题意得 0 2 2 0 32 B B ， 62 B . 23 sinsinsinsinsinsin3sin 3 3362 BCBBBBB ，. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解: (1)证明:过点B作BOAC于O. 平面PAC平面ABC，平面PAC平面=ABC AC，BO平面ABC， BO平面PAC，BOPA.

15、又BC平面PAB，PA平面PAB，BCPA. 又BCBOB，BCBO ，平面ABC， PA 平面ABC. 5分 (2)ABBC，BOAC，O为BC中点. 又D为PC的中点，DOPA. 由(1)知，PA 平面ABC，DO 平面ABC， DOBO，DOAO， 以O为原点，以 OA OB OD ，所在方向为xyz， ，轴正方向，建立空 间直角坐标系，如图. 设2ABBC， 则24ACPA， 则0 0 0O，1 0 0A ， 1 0 0C ，0 1 0B，1 0 4P，0 0 2D，. 设平面ABD的法向量为 1111 nxyz ， ， 1 nAB ， 1 nAD ， 1 0nAB ， 1 0nAD

16、，1 1 0AB ， 1 0 2AD ， 11 11 0 20 xy xz . 令 1 1z 得 1 2x ， 1 2y ， 1 2 2 1n ，. 设平面BCD的法向量为 2222 nxyz ， ， 2 nCB ， 2 nDB ， 2 0nCB ， 2 0nDB ，1 1 0CB ，0 12DB ， 22 22 0 20 xy yz .令 2 1z 得 2 2x ， 2 2y ， 2 2 2 1n ， 12 12 12 1 cos 9 n n n n n n ，. 二面角ABDC的平面角是钝角， 1 cos 9 . 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解: (1)

17、设 1 F(1 0 ，)， 2 F(1，0)，依题意 22 22 114xyxy， 21 4EFEF，且 12 42FF 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 3 页 共 4 页 点E的轨迹是以 1 F(1 0，)， 2 F(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆的方程为 22 22 1 xy ab (0ab)，记 22 cab，则24a ，1c ， 2a ，1c ， 22 3bac， 曲线C的标准方程为 22 1 43 xy . 5分 (2)当直线l为0 x 时，不合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx， 11 ()A xy， 22 ()B xy，. 联立 2

18、2 1 43 1 xy ykx ，消去y得 22 43880kxkx. 则 22 =6432 430kk， 12 2 8 43 k xx k ， 12 2 8 43 x x k . 1212 1212 3355 2222 000 1111 PAPB yykxkx PMPNkk xxxx 1212 5 2()50 2 kx xkxx 2 5 1685(43)0 2 kk kk 2 41250kk， 1 2 k 或 5 2 k . 当 5 2 k 时，经检验点P与点A或点B重合，不符合题意，故舍去. 当 1 2 k 时，经检验符合题意，此时直线l的方程为 1 1 2 yx. 综上所述，直线l的方程

19、为 1 1 2 yx. 12分 22.(本小题满分12分) 22.(本小题满分12分) 解: (1) 2 lnf xxaxx， 2 121 21 axx fxax xx . 若0a ，则 2 21 0 axx fx x 在 0 +，上恒成立， 当0a 时， f x在0 +，上单调递增. 若0a ，令 2 ( )21h xaxx . 0a ，1 80a ， 2 210axx 有两个不相等的实数根，且两根一正一负. 设 0 11 8 4 a x a . 当 11 8 0 4 a x a ，时， 2 210h xaxx ， 当 11 8 4 a x a ，时， 2 210h xaxx ， 当 11

20、8 0 4 a x a ，时， 2 21 0 axx fx x ， 2021 年高三调研性检测理科试题参考答案 第 4 页 共 4 页 当 11 8 4 a x a ，时， 2 21 0 axx fx x ， 当0a 时，函数 f x在 11 8 0 4 a a ，上单调递增；在 11 8 4 a a ，上单调递减. 综合得： 当0a 时， f x在0 +，上单调递增； 当0a 时，函数 f x在 11 8 0 4 a a ，上单调递增；在 11 8 4 a a ，上单调递减. 6分 (2)由(1)知，当0a 时，函数 f x在0 +，上无极值； 当0a 时，函数 f x在0 +，上仅有极大值 2 0000 lnf xf xxaxx 极大 ， 其中 2 00 210axx ，即 0 2 0 1 2 x a x ， 00 000 11 lnln 222 xx f xxxx 极大 ， 0 0 x ，. 设 1 ( )ln 22 x g xx，0 +x，. 1 ln 22 x g xx在0 +，上单调递增，且 10g， 当且仅当 0 1x 时， 0f x 极大 ， 此时， 2 0 2 000 1111 0 1 22 x a xxx ， 当 0f x 极大 时，实数a的取值范围是(0，1). 12分