2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初一组）决赛试题.rar

1、2024 年全国初中生数学素养与创新能力竞赛年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初一组）决赛试题（初一组）决赛试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：140 分）分）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.设 a232，b（23）2，c（23）2，则 a，b，c 的大小关系是（）AacbBcabCcbaDabc2.图 1 是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图 2 的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为（）（用含 m，n 的式子表示）A.2m+8n B.2m+4nC.4m+8n D.8m+2n3.甲、乙两运动员在长为 100m 的直道

2、AB（A，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 100s 内，两人相遇的次数为（）A5B4C3D24.如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图的小长方形后得图、图，已知大长方形的长为 a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图阴影部分周长与图阴影部分周长的差是（）（用 a 的代数式表示）（）AaB21aC21aDa5.如图，下午 3 时，时钟上的时针和分针所成的角为 90，那么下一次时针与分针成

3、直角，要经过的时间是（）A113小时B112小时C116小时D119小时6.在明代的算法统宗中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”，如图 1，计算 4238，将乘数 42 记在格子上面，乘数 38，记在格子右侧，然后用乘数 42 的每位数字乘以乘数 38 的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到 1596如图 2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（）Ab 的值为 6Ba 的值为偶数C乘积的结果可以表示为 100b+10（a+5）+（b4）Da 的值大于 3二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.若非零有理数 m、n、p 满足1ppnnm

4、m，则mnpmnp32 8.若平面上 4 条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对9.已知点 A、B、C 在直线 l 上，ABa，BCb，AC=2a，则ba 10.如图是一组有规律的图案，第 1 个图案中有 6 个涂有阴影的小矩形，第 2 个图案中有 10 个涂有阴影的小矩形，第 3 个图案中有 14 个涂有阴影的小矩形按此规律，第 n 个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 （用含 n 的代数式表示）三、（本大题 20 分）（1）23212752532312 （2）99163135115131四、（本题满分 25 分）已知数轴上有三点 A，B，C，它们对应的数分别 a，b，c，且 cbba，

5、点 C 对应的数是 20，cba（1）若 BC30，求 a，b 的值；（2）在（1）的条件下，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从点 B 出发向右运动，点 P，R，Q 的速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒，M 为线段 PR的中点，N 为线段 RQ 的中点，R，Q 相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足 MR4RN？（3）在（1）的条件下，O 为原点，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 向左运动，点 Q 向右运动，点 P 的运动速度为 8 个单位长度/秒，点 Q 的运动速度为 4 个单位长/秒，N

6、 为 OP 的中点，M 为 BQ的中点，在点 P，Q 运动的过程中，PQ2MN 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由五（本大题 25 分）13.【理解新知】如图，已知AOB，在AOB 内部画射线 OC，得三个角，分别为AOC、BOC、AOB若这三个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线”（1）角的平分线这个角的“2 倍角线”；（填“是”或“不是”）（2）若AOB90，射线 OC 为AOB 的”2 倍角线”，则AOC【解决问题】如图，已知AOB60，射线 OP 从 OA 出发，以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转；射线 OQ从 OB 出发

7、，以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转，射线 OP、OQ 同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随停止，设运动的时间为 t（s）（3）当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时，求 t 的值；（4）若 OA、OP、OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线”，直接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于 180的角）2024 年全国初中生数学素养与创新能力竞赛年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初一组）决赛试题（初一组）决赛试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：140 分）分）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.设

8、a232，b（23）2，c（23）2，则 a，b，c 的大小关系是（B）AacbBcabCcbaDabc2.图 1 是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图 2 的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为（A ）（用含 m，n 的式子表示）A.2m+8n B.2m+4nC.4m+8n D.8m+2n3.甲、乙两运动员在长为 100m 的直道 AB（A，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点若甲跑步的速度为 5m/s，乙跑步的速度为 4m/s，则起跑后 100s 内，两人相

9、遇的次数为（B）A5B4C3D24.如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图的小长方形后得图、图，已知大长方形的长为 a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图阴影部分周长与图阴影部分周长的差是（）（用 a 的代数式表示）（B）AaB21aC21aDa5.如图，下午 3 时，时钟上的时针和分针所成的角为 90，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（C）A113小时B112小时C116小时D119小时6.在明代的算法统宗中，将用格子计算两个数相乘的方法称作“铺地锦”，如图 1，计算 4238，将乘数 42 记在格子上面，乘数 38，记在格子右侧，然后用乘

10、数 42 的每位数字乘以乘数 38 的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到 1596如图 2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论不正确的是（D）Ab 的值为 6Ba 的值为偶数C乘积的结果可以表示为 100b+10（a+5）+（b4）Da 的值大于 3二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.若非零有理数 m、n、p 满足1ppnnmm，则mnpmnp3232 8.若平面上 4 条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 24对9.已知点 A、B、C 在直线 l 上，ABa，BCb，AC=2a，则ba32或 210.如图是一组有规律的图案，第 1 个图案中

11、有 6 个涂有阴影的小矩形，第 2 个图案中有 10 个涂有阴影的小矩形，第 3 个图案中有 14 个涂有阴影的小矩形按此规律，第 n 个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 4n+2（用含 n 的代数式表示）三、（本大题 20 分）（1）23212752532312解：原式=23121171515131311 =2311 =2322（2）99163135115131 解：原式=)23121171515131311(21 =2311四（本题满分 25 分）已知数轴上有三点 A，B，C，它们对应的数分别 a，b，c，且 cbba，点 C 对应的数是 20，cba（1）若 BC30，求 a，b 的值；（

12、2）在（1）的条件下，动点 P，Q 分别从 A，C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从点 B 出发向右运动，点 P，R，Q 的速度分别为 8 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒、2 个单位长度/秒，M 为线段 PR的中点，N 为线段 RQ 的中点，R，Q 相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足 MR4RN？（3）在（1）的条件下，O 为原点，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 向左运动，点 Q 向右运动，点 P 的运动速度为 8 个单位长度/秒，点 Q 的运动速度为 4 个单位长/秒，N 为 OP 的中点，M 为 BQ的中点，在点 P，Q 运动的过程中，PQ

13、2MN 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由解：（1）如图，BC30，cbba30，C 点对应的数为 20，点 A 对应的数为：206040，点 B 对应的数为：203010，a40，b10；（2）如图 2，根据（1）可得 ABBC30，设在三点出发后 x 秒时，Q 在 R 右边时，恰好满足 MR4RN，MR21（8x+4x+30），RN21（304x2x），当 MR4RN 时，21（8x+4x+30）421（304x2x），解得：x2.5，在三点出发后 2.5 秒时恰好满足 MR4RN；（3）PQ2MN 的值不变理由如下：如图 3，设运动的时间为 t，则 CQ4t，AP8t

14、，由（1）可得 ABBC30，点 C 表示 20，AC60，BO10，AO40，PQAP+AC+CQ8t+60+4t60+12t，M 为 BQ 的中点，N 为 OP 的中点，BM21BQ，NO21OP，MNNO+MBOB21OP21BQOB21（40+8t）21（30+4t）1025+6t，PQ2MN（60+12t）2（25+6t）10，即 PQ2MN 的值不发生变化，是定值 10五（本大题 25 分）13.【理解新知】如图，已知AOB，在AOB 内部画射线 OC，得三个角，分别为AOC、BOC、AOB若这三个角中有一个角是另外一个角的 2 倍，则称射线 OC 为AOB 的“2 倍角线”（1）

15、角的平分线这个角的“2 倍角线”；（填“是”或“不是”）（2）若AOB90，射线 OC 为AOB 的”2 倍角线”，则AOC【解决问题】如图，已知AOB60，射线 OP 从 OA 出发，以每秒 20的速度绕 O 点逆时针旋转；射线 OQ从 OB 出发，以每秒 10的速度绕 O 点顺时针旋转，射线 OP、OQ 同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随停止，设运动的时间为 t（s）（3）当射线 OP、OQ 旋转到同一条直线上时，求 t 的值；（4）若 OA、OP、OQ 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2 倍角线”，直接写出所有可能的值（本题中所研究的角都是小于等于 1

16、80的角）解：（1）一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的 2 倍，一个角的角平分线是这个角的“2 倍角线”；故答案为：是；（2）有三种情况：若BOC2AOC 时，且AOC+BOC90，AOC30；若AOB2AOC2BOC 时，且AOC+BOC90，AOC45；若AOC2BOC 时，且AOC+BOC90，AOC60故答案为：30或 45或 60；（3）由题意得，运动时间范围为：0t18，则有60+20t+10t180，解得 t460+20t+10t360，解得 t1060+20t+10t180+360，解得，t16综上，t 的值为 4 或 10 或 16；（4）在整个过程，有如下几个

17、临界点：当 OP、OQ 共线时，由（3）知，t4 或 10 或 16，当 OP 为 OA 的反向延长线时，t201809，当 OQ 为 OA 的反向延长线时，t106018012，故一共分成 6 种情况，当 0t4 时，如图 1，AOP20t，AOQ60+10t，若AOQ2AOP 时，AOPAOQ，即 20t60+10t，解得 t6（舍去）；若AOP2AOQ，则 20t120+20t，无解；若 2AOPAOQ，则 40t60+10t，解得 t2，当 4t9 时，如图 2，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；当 9t10 时，如图 3，QOP3606020t10t30030t，则AOQ60

18、+10t，若POA2AOQ 时，QOPAOQ，则 30030t60+10t，解得 t6；若QOP2AOQ 时，则 30030t120+20t，解得 t3.6（舍去）；若 2QOPAOQ 时，则 60060t60+10t，解得 t754（舍去）；当 10t12 时，如图 4，则QOP（20+10）（t10）30t300，AOP36020t，若AOQ2AOP 时，QOPAOP，则 30t30036020t，解得 t13.2（舍去）；若QOP2AOP 时，则 30t30072040t，解得 t1474（舍去）；若 2QOPAOP 时，则 60t60036020t，解得 t12；当 12t16 时，如图 5，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内；当 16t18 时，如图 6，则QOA30010t，AOP36020t，若QOP2AOP 时，QOAAOP，则 30010t36020t，解得 t6（舍去）；若QOA2AOP 时，则 30010t72040t，解得 t14（舍去）；若 2QOAAOP 时，则 60020t36020t，无解；综上，t2 或 12