多体多过程动量守恒问题.pdf

1、多体多过程动量守恒问题 名师指路名师指路 【例 1】（2013山东卷）如图所示，光滑水平轨道上放置长坂 A（上表面粗糙）和滑 块 C，滑块 B 置于 A 的左端，三者质量分别为 mA=2kg、mB=1kg、mC=2kg。开始时 C 静止， A、B 一起以 v0=5m/s 的速度匀速向右运动，A 与 C 发生碰撞（时间极短）后 C 向右运动， 经过一段时间 A、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与 C 碰撞。求 A 与 C 发 生碰撞后瞬间 A 的速度大小。 思维导引思维导引：多体多过程动量守恒问题，其实就是多个一体、二体问题的组合，而每一个 分阶段涉及的过程都是动量问题中的基本模型。

2、 因此， 清晰的物理过程和研究对象的准确选 择，是多体多过程动量守恒问题解决的关键。 【名师指路】【名师指路】A、C 碰撞是一个什么性质的碰撞？再就是 A、C 碰撞过程中，是否应该 将 B 扯进来？而题目中“（AB）且恰好不再与 C 碰撞”内涵的挖掘，更是本题答题的关键。 突破上述问题，并将过程分析清楚，才能够顺利地完成本题。 解法解法 1：分阶段分析法：分阶段分析法 【名师指路】这种方法的基本套路是按照事物发展的先后顺序，一个阶段一个阶段的 处理，分析过程中要注意不同阶段衔接点的速度前一阶段的末速度即为下一阶段的初 速度。 这种方法的基本套路是按照事物发展的先后顺序，一个阶段一个阶段的 处理

3、，分析过程中要注意不同阶段衔接点的速度前一阶段的末速度即为下一阶段的初 速度。 【名师指路】第一个问题是，第一个问题是，A、C 碰撞过程中，是否应该将碰撞过程中，是否应该将 B 扯进来？第一个问题，扯进来？第一个问题， A、C 碰撞过程时间极短，碰撞过程时间极短，A、C 间相互作用的内力远大于间相互作用的内力远大于 B 给给 A 的摩擦力，因此在碰撞这 一过程中， 的摩擦力，因此在碰撞这 一过程中，A、C 动量守恒；另一方面，由于碰撞时间极短，动量守恒；另一方面，由于碰撞时间极短，B 的速度也来不及发生明显改 变，即 的速度也来不及发生明显改 变，即 A、C 碰撞结束时，碰撞结束时，B 的速度

4、仍为的速度仍为 v0。 【名师指路】第二个问题是，第二个问题是，A、C 碰撞是一个什么性质的碰撞（弹性的？完全非弹性 的？），题目没做任何明示或者暗示，因此应该做最一般的假设，即两者速度不相同。 碰撞是一个什么性质的碰撞（弹性的？完全非弹性 的？），题目没做任何明示或者暗示，因此应该做最一般的假设，即两者速度不相同。 【解析】因碰撞时间极短，A 与 C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间 A 的速度为 vA，C 的 速度为 vC，由动量守恒定律得 0AAACC m vm vm v 【名师指路】此时此时 B 的速度是原来的的速度是原来的 v0，而，而 A 的速度因为与的速度因为与 C 碰撞必然减小了，

5、所以 接下来 碰撞必然减小了，所以 接下来 B 将减速而将减速而 A 将加速，直到将加速，直到 AB 共速，这个过程中共速，这个过程中 A 一直没有没有与一直没有没有与 C 碰撞。碰撞。 A 与 B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为 vAB，由动量守恒定律得 0 () AABABAB m vm vmmv 【名师指路】“（“（AB 共速时）且恰好不再与共速时）且恰好不再与 C 碰撞”这句话说明了什么？如果碰撞”这句话说明了什么？如果 vAB大 于 大 于 vC，A 一定会与一定会与 C 发生第二次碰撞；而发生第二次碰撞；而 ABC vv就能保证就能保证 A 不再与不再与 C 碰撞，因此，

6、“恰 好”的含义应该是是指 碰撞，因此，“恰 好”的含义应该是是指 ABC vv。 A 与 B 达到共同速度后恰好不再与 C 碰撞，应满足 ABC vv 三式联立，代入数据，解得：2m/s A v A B C 解法解法 2：全过程分析法：全过程分析法 【名师指路】这种方法的套路，是直接分析全过程、全体研究对象作为一个整体是否这种方法的套路，是直接分析全过程、全体研究对象作为一个整体是否 满足动量守恒条件，并直接从全过程的初态到全过程的末态进行分析。满足动量守恒条件，并直接从全过程的初态到全过程的末态进行分析。 【名师指路】如前分析如前分析，“（AB 共速时共速时）且恰好不再与且恰好不再与 C

7、碰撞碰撞”意味着最终意味着最终 AB 的共的共 同速度同速度 ABC vv；而对；而对 A、B、C 系统而言，水平方向一直不受力，因此系统动量守恒。系统而言，水平方向一直不受力，因此系统动量守恒。 【解析】A、B、C 系统水平方向一直不受力，因此系统动量守恒，设 A、B、C 三者最 终的共同速度为 v，则有 0 ()() ABABC mmvmmmv 【名师指路】题目要求的是题目要求的是 A 与与 C 发生碰撞后瞬间发生碰撞后瞬间 A 的速度大小的速度大小，而我们而我们已知了碰已知了碰后后 C 的速度为的速度为 v，则对则对 A、C 碰撞过程用动量守恒碰撞过程用动量守恒，就可以算出就可以算出 A

8、 与与 C 发生碰撞后瞬间发生碰撞后瞬间 A 的速的速 度大小度大小。 因碰撞时间极短， A 与 C 碰撞过程动量守恒， 设碰后瞬间 A 的速度为 vA， C 的速度为 vC， 由动量守恒定律得 0AAAC m vm vm v 两式联立，代入数据，解得： 2m/s A v 。 解后反思解后反思 分阶段分析法是按事物发展先后顺序分析，过程清晰，思维难度低；全过程分析法的分 析过程不再按事物发展先后顺序进行，这种方法，大多数情况下思路要简洁一些，但对综合 分析能力提出了较高的要求，这种能力是需要通过多见识来培养提高的。 【例 2】（2013新课标卷 2）如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为 m 的

9、物块 A、 B、C。 B 的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计）。设 A 以速度 v朝 B 运动，压 缩弹簧；当 A、 B 速度相等时，B 与 C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设 B 和 C 碰撞过程时间极短。求从 A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中， （1）整个系统损失的机械能； （2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。 思维导引思维导引： 本题涉及到了完全非弹性碰撞模型和弹簧模型， 涉及了弹性势能的变化的计 算，而过程也多达 3 个阶段对这种多过程复杂问题，要有对过程的清晰把握，就需要分 阶段画好过程草图， 并将不同阶段相互作用的物体是那几个要弄清楚， 从而才可能正确选取

10、研究对象和确定清楚研究对象的初末态，进而正确列出方程求解。 【名师指路】【名师指路】整个过程分为几个阶段？每个阶段是那几个物体在相互作用？弹簧的长整个过程分为几个阶段？每个阶段是那几个物体在相互作用？弹簧的长 度在怎样变化着？什么叫做机械能的损失？整个运动过程中，在哪个阶段存在机械能损度在怎样变化着？什么叫做机械能的损失？整个运动过程中，在哪个阶段存在机械能损 失？是失？是 A、B 相互作用阶段，还是相互作用阶段，还是 B、C 碰撞时？弹簧压缩最短时，是碰撞时？弹簧压缩最短时，是 A、 B 速度相等时速度相等时 吗？这几个问题的正确回答是解决本题的前提。很多同学因为无法正确分析过程和不很清吗？

11、这几个问题的正确回答是解决本题的前提。很多同学因为无法正确分析过程和不很清 楚机械能损失的含义楚机械能损失的含义（以为是动能的损失就是机械能的损失以为是动能的损失就是机械能的损失），从而导致解题时答非所问从而导致解题时答非所问。 【名师指路】按事物发展的先后顺序按事物发展的先后顺序，一步一步的画好过程草图一步一步的画好过程草图，然后再答题然后再答题。如下如下： ABC v0 ：A、B 相互作用，压缩弹簧，达到共同速度 v1； ：B、C 完全非弹性碰撞，结为一体，具有共同速度 v2（v1），此时 A 的速度 仍为 v1； ：A 向右继续压缩弹簧，A 减速，BC 加速，至三者达到共同速度 v3（v

12、2）。 【名师指路】 机械能包含哪几种能量？重力势能机械能包含哪几种能量？重力势能、 弹性势能和动能弹性势能和动能。 过程过程， 是是 A、 B 整体的动能减少转化为弹簧弹性势能，整体的动能减少转化为弹簧弹性势能，A、B、弹簧系统机械能是守恒的，不存在机械能、弹簧系统机械能是守恒的，不存在机械能 损失损失；同理同理，过程也没有机械能损失过程也没有机械能损失；有机械能损失的是有机械能损失的是 B、C 完全非弹性碰撞过程完全非弹性碰撞过程 B、C 整体的动能减少转化为内能。所以，第一问计算整个系统机械能的损失，就是计整体的动能减少转化为内能。所以，第一问计算整个系统机械能的损失，就是计 算算 B、

13、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失。完全非弹性碰撞过程的机械能损失。 【名师指路】B、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失如何计算呢？这需要先将完全非弹性碰撞过程的机械能损失如何计算呢？这需要先将 B 的初的初 速度速度 v1和和 B、C 碰后的共同速度碰后的共同速度 v2算出来后才能进行。这就要分两个阶段用动量守恒来处算出来后才能进行。这就要分两个阶段用动量守恒来处 理。理。 【解析】 （1）从 A 压缩弹簧到 A 与 B 具有相同速度 v1时，对 A、B 与弹簧组成的系统， 由动量守恒定律得 01 2mvmv 此时 B 与 C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为 v2，损失的机械能为E

14、。对 B、C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得 12 2mvmv 22 12 11 (2 ) 22 mvEm v 联立三式，解得 2 0 1 16 Emv 【名师指路】弹簧被压缩到最短弹簧被压缩到最短是哪个时候？是是哪个时候？是 A、 B 速度相等速度相等为为 v1时时吗？根据先前吗？根据先前 的过程分析可以看出，显然不是。的过程分析可以看出，显然不是。弹簧被压缩到最短弹簧被压缩到最短应该是应该是 A、B、C 三者达到共同速度三者达到共同速度 v3 时。时。 （2）由于 21 vv，A 将继续压缩弹簧，直至 A、B、C 三者速度相同，设此时速度为 v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为

15、 Ep。由动量守恒，得 03 3mvmv 【名师指路】接下来的问题是接下来的问题是：弹簧被压缩到最短弹簧被压缩到最短时的弹性势能是时的弹性势能是过程过程 A、B、C ABC v0 ABC v1v1 ABC v1v2v2 ABC v3v3v3 三者动能的损失吗？好多同学以为是这样，其实不是，因为三者动能的损失吗？好多同学以为是这样，其实不是，因为图状态时，弹簧已经有一个图状态时，弹簧已经有一个 压缩量了压缩量了已经储存有一定的弹性势能已经储存有一定的弹性势能 Ep1了了，过程过程 A、B、C 三者动能的损失对应三者动能的损失对应 的实际上是的实际上是弹簧的弹性势能的增加量。弹簧的弹性势能的增加量

16、。 由能量守恒，有 222 12p3 111 (2 )(3 ) 222 mvm vEm v 其中 ppp1 EEE 【名师指路】接下来的问题是：接下来的问题是：选哪个阶段来计算选哪个阶段来计算 Ep1呢？注意，呢？注意，过程（过程（B、C 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞），弹簧的压缩量并没有变化弹簧的压缩量并没有变化，因此因此，图状态时的弹性势能图状态时的弹性势能 Ep1就是就是图图 状态时的弹性势能状态时的弹性势能，而这个弹性势能而这个弹性势能，就是就是过程中过程中 A、B 相互作用压缩弹簧时相互作用压缩弹簧时，A、B 整体的动能减少量。整体的动能减少量。 从 A 压缩弹簧到 A 与 B 具有

17、相同速度 v1时，对 A、B 与弹簧组成的系统，由能量守恒， 有 22 01p1 11 (2 ) 22 mvm vE 联立解得： 2 p0 13 48 Emv 解后反思解后反思 从前面的分析计算可以看出，对多体多过程问题，分阶段画好过程草图，从而将过程清 晰的展现出来，是正确答题的基础。因此，希望同学们能够养成这个良好答题习惯。同时， 对于弹簧的状态，一定要分析清楚初态和末态；而对能量问题，一定要注意应该选相互作用 的系统为研究对象。 本题在计算弹簧压缩最短时的弹性势能时，还可以全过程列式求解从最开始 A 以 速度 v朝 B 运动到最终三者具有共同速度 v3，A、B、C 三者动能的损失只有两个

18、去向 一是碰撞过程的损失（转化为内能），二是转化为弹性势能。而第（1）问已经算出了碰撞 过程的机械能损失，因此全过程用能量守恒就很容易求解弹簧压缩最短时的弹性势能了。 22 03 11 (3 ) 22 p mvEm vE 而且这回避了 Ep1的计算，使分析、计算过程大大简化。当然，这同样需要一个较高的 全局意识，这种意识是需要注意培养的。 解题高手解题高手 1、（2014银川一中一模）如图所示，在光滑水平面上有一块长为 L 的木板 B，其上 表面粗糙 在其左端有一个光滑的圆弧槽 C 与长木板接触但不连接， 圆弧槽的下端与木板的 上表面相平，B、C 静止在水平面上现有可视为质点的滑块 A 以初速

19、度 v0从右端滑上 B 并 以 0 2 v 的速度滑离 B，恰好能到达 C 的最高点A、B、C 的质量均为 m，试求： 木板 B 上表面的动摩擦因数. 1/4 圆弧槽 C 的半径 R. 【解析】（1）A 在 B 上滑动时，ABC 整体动量守恒，设 A 滑离 B 时 BC 整体的速度为 v1，则有 0 01 2 2 v mvmmv 由能量守恒定律，有 222 0 01 111 ()2 2222 v mvmmvQ 其中：QmgL 联立解得： 2 0 10 51 416 v vv gL ， （2）A 在 C 上滑动时，A、C 系统在水平方向上不受外力，因此 A、C 系统在水平方向 上动量守恒，设 A

20、 到达 C 的最高点时，A、C 的共同速度为 v2，则有 0 12 2 2 v mmvmv 由机械能守恒定律，有 222 0 12 111 ()2 2222 v mmvmvmgR 联立解得： 2 0 64 v R g 2、（2013广东卷）如图，两块相同平板 P1，P2置于光滑水平面上，质量均为 m。P2 的右端固定一轻质弹簧，左端 A 与弹簧的自由端 B 相距 L。物体 P 置于 P1的最右端，质量 为 2m 且可看作质点。P1与 P 以共同速度 v0向右运动，与静止的 P2发生碰撞，碰撞时间极 短， 碰撞后 P1与 P2粘连在一起。 P 压缩弹簧后被弹回并停在 A 点 （弹簧始终在弹性限度

21、内） 。 P 与 P2之间的动摩擦因数为。求 （1）P1、P2刚碰完时的共同速度 v1和 P 的最终速度 v2； （2）此过程中弹簧的最大压缩量 x 和相应的弹性势能 Ep。 【解析】（1）P1和P2碰撞动量守恒：mv0=(m+m)v1 得出： 10 1 2 vv P 在 P2上滑行过程 P1、P2、P 系统动量守恒： 2mv0+2mv1=4mv2 得出： 20 3 4 vv (2)解法一解法一： P1、P2、P 第一次等速弹簧最大压缩量最大，由能量守恒得 222 012 111 2()(2 )(2 )(4 ) 222 p mg LxEm vm vm v P 刚滑上 P2到 P 被弹回并停在

22、A 点（P1、P2、P 第二次等速，速度也为 v2），由 能量守恒得 222 012 111 2(22 )(2 )(2 )(4 ) 222 mgLxm vm vm v 由得： 2 0 32 v xL 2 0 16 p mv E 解法二解法二： P1、P2、P 第一次等速弹簧最大压缩量最大，由能量守恒得 0 v P AB 卓越教育李咏华作图 L 卓越教育李咏华作图 2P1P 222 012 111 2()(2 )(2 )(4 ) 222 p mg LxEm vm vm v 此后 P 被弹回并停在 A 点（P1、P2、P 第二次等速，速度也为 v2），由能量守恒得 22 22 11 (4 )(4

23、)2() 22 p m vEm vmg Lx 由得： 2 0 32 v xL 2 0 16 p mv E 练习练习 1、一质量为 MB6 kg 的木板 B 静止于光滑水平面上，物块 A 质量 MA6 kg，停在 B 的左端质量为 m1 kg 的小球用长为 l0.8 m 的轻绳悬挂在固定点 O 上，如练图 141 4所示将轻绳拉直至水平位置后，静止释放小球，小球在最低点与 A 发生碰撞后反弹， 反弹所能达到的最大高度 h0.2 m物块与小球可视为质点，A、B 达到共同速度后 A 还在 木板上，不计空气阻力，g 取 10 m/s2.求从小球释放到 A、B 达到共同速度的过程中，小球及 A、B 组成的系统损失的机械能 答案4.5 J 2、装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通 过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为 2m、厚度为 2d的钢板静止在水平 光滑的桌面上。质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿。现把钢 板分成厚度均为d、质量为m的相同的两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹 以相同的速度垂直射向第一块钢板， 穿出后再射向第二块钢板， 求子弹射入第二块钢板的深 度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞。不计重力影响。 m m mm 2m 答案1 2 (1+ 3 2 )d