2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第11节几何综合（含答案）.docx

1、第11讲 几何综合（学生版）目标层级图课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明课中讲解一.中点问题例1已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：； （2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论过关检测1如图所示，在中，（1）点在边上，垂足为，垂足为，求证：（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，垂足为，求的值例2已知中，（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接

2、写出和的关系；（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：；（3）如图3，点在内部，且满足，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：过关检测1如图3，已知和都为等腰直角三角形，。是的中点，连接并延长至点，求证：二.对角互补模型例3如图，平分将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边

3、与的延长线交于点，另一条直角边与交于点在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由例4四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积过关检测1【感知】如图，平分于点，于点，可知（不要求证明）【拓展】在图中，作，分别交射线，于，两点，求证：【应用】如图，与均为直角三角形，平分，两点在的异侧已知，求线段的长2如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是例5如图，平分，与射线相交于点，与直线相交于点把绕着点旋转（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与

4、，之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）过关检测1如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，与交与点，与交于点（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积例6如图，在中，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补（1）当，如图1，线段、之间的数量关系是 ；（2）当，如图 2 ，求证：；（3）在（2）的条件下，若，设线段交直线于点，求的长过关检测1在中，分别交直线、于点、（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，问线段、之间有何数量关系，并证明；（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、有何数量关系？

5、并证明例7如图所示，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点（1）如图1所示，当点在射线上时，请判断线段与的数量关系，直接写出结论；请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，请直接写出线段的长三.手拉手模型例8（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，且点、三点在同一条直线上，连接（1）如图1，求证：（2）如图2，当时，试猜想线段，之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当时，请直接写出线段，之间的数量关系式为： （不写证明过程）例9【问题背景】如图1，

6、是正三角形外一点，则小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰中，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】如图3，在四边形中，点在四边形内部，且，直接写出的长过关检测1如图，和均为等腰三角形，点，在同一直线上，连接（1）如图1，若求证：；求的度数（2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：2（1）方法探索如图1，在等边中，点在内，且，求的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出的长解：把绕着点顺时针旋转得到，连接接着写下去：（2）方法应用请借鉴上述

7、利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2，点在等边外，且，若，求度数如图3，在中，是外一点，连接、已如，请直接写出的长四.半角模型例10如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，且，求的长过关检测1探究：如图，点、分别在正方形的边、上，连结，求证：应用：如图，在四边形中，点、分别在、上，若，则 学习任务1如图，点为

8、定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的结论有 2（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半如图1，等腰中，作于点，则为的中点，在直角三角形中，且；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，、三点在同一条直线上，连接（1）求证：；（2）请直接写出线段，之间的等量关系式；（3）如图2，若，求线段的长3如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点（1）如图，

9、点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；（2）如图，当点在的延长线上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长第11讲 几何综合（解析版）目标层级图本节内容主要讲解几何综合部分，课程目标为带领学生回顾常见几何模型和辅助线做法，加深对模型和对几何知识点（比如三线合一）的理解，提升学生的几何思维和解决综合类几何问题的能力。本节内容一共分为4个板块，分别为中点问题的处理策略（本节主例题主要中点所引发的三线合一与倍长中线），对角互补模型，手拉手模型和半角模型，其中对角互补模型定位为新课，其余3个板块在前面学员都有学习

10、，定位为复习内容。几何综合部分一直属于学生得分率较低的部分，建议授课中多加强模型关键点的梳理，增加对学生思路的引导，确保学生切实掌握每种模型。本讲义容量偏大，教师可根据实际情况删减例题，半角模型和手拉手模型学生相对熟悉，如果学生掌握的不错，这两个板块可以所见例题和练习量。注：具体的例题设计逻辑在每个例题处会有标注说明。课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明【分析】（1）由平分，可得，又由，即可得，根据直角三角形中角所对的直角边等

11、于斜边的一半，即可得；（2）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、，由平分，可得，又由与互补，可证得，则可得，又由，则可得线段、有怎样的数量关系为；（3）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、，与（2）同理可得，则可得，即可求得线段、有怎样的数量关系为【解答】证明：（1）在四边形中，平分，又，即（2）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、平分，又，为角平分线，（3）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、平分，又延长至，使，连接，课中讲解一.中点问题（例1考查三线合一，第（3）问的辅助线也是常见的中垂线辅助线作法，最后一问的结论也可写成是）例1已知

12、：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论【分析】（1）利用判定，从而得出（2）利用判定，得出，又因为，所以（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解【解答】（1）证明：，是等腰直角三角形，且，在和中，；（2）证明：平分，在和中，又由（1），知，；（3）证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，是直角三角形，垂直平分，；即，方法2，证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，过关检测（第（2）问核心突破点为B关于AQ的对称点恰落在AC上，说

13、明AQ平分BAC，又CNAQ，因此想到三线合一，才有了答案中的辅助线作法）1如图所示，在中，（1）点在边上，垂足为，垂足为，求证：（2）如图2，点在边上，点关于直线的对称点恰落在边上，垂足为，求的值【分析】（1）利用证明，可得；（2）如图2，延长、，交于，先证明，可得，再证明，则，可得结论【解答】证明：（1）如图1，在和中，；（2）如图2，延长、，交于，点关于直线的对称点恰落在边上，平分，在和中，在和中，（例2第（3）考查倍长中线，辅助线还涉及截取法，难度较大，答案给出的辅助线是过点作交的延长线于，建议改成延长BN至点T，使得NT=BN,连接MT，有意识地让学生知道是在利用倍长中线）例2已知中

14、，（1）如图1，点为的中点，连并延长到点，使得，直接写出和的关系；（2）如图2，若，点为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连，若，求证：；（3）如图3，点在内部，且满足，点在的延长线上，连交的延长线于点，若点为的中点，求证：【分析】（1）结论：，证明，可得结论；（2）如图2中，过点作于，过点作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，即可解决问题；（3）过点作交的延长线于，交于，在上取一点，使得，连接利用全等三角形的性质证明，即可解决问题【解答】（1）解：结论：，理由：如图1中，（2）证明：如图2中，过点作于，过点作交的延长线于，（3）证明：过点作交的延长线于，交于，在上取一点，使得，连接，过

15、关检测（要注意隐藏的手拉手模型）1如图3，已知和都为等腰直角三角形，。是的中点，连接并延长至点，求证：【分析】延长至，使，连接，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，即可得结论【解答】如图3，延长至，使，连接，是的中点，在和中，又易证（手拉手模型），又，二.对角互补模型对角互补模型知识点由于学生版篇幅限制所以没有放置，教师需要把该内容给学生进行补充讲解，对角互补模型的常见处理策略包括2个，一是引垂线构造全等，二是利用旋转构造全等类型一：含90的对角互补模型（1）如图，AOB=DCE=90，OC平分AOB，则有以下结论：； 作法1 作法2（2）如图，AOB=DCE=90，OC平分AOB，当D

16、CE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；作法1 作法2类型二：含120的对角互补模型（1）如图，AOB=2DCE=120，OC平分AOB，则有以下结论：； 作法1 作法2（2）如图，AOB=DCE=90，OC平分AOB，当DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：；作法1 作法2（含90的对角互补模型）例3如图，平分将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（

17、填，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出四边形是矩形，得出，进而得出，判断出，即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论【解答】（1）证明：，是的平分线，；（2）解：，理由：如图2，过点作于，于，四边形是矩形，是的平分线，在和中，故答案为：；（3）解：如图3，过点作于，于，四边形是矩形，是的平分线，在和中，；（含90的对角互补模型面积的计算）例4四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条

18、对角线的长度为2，求四边形的面积【分析】将绕点旋转，使与重合，到点，由条件可得出是等腰直角三角形，且可证明，可得出四边形的面积等于的面积，利用条件可求得四边形的面积【解答】解：将绕点旋转，使与重合，到点，则有，所以、在同一直线上，则是三角形，又因为，所以是等腰直角三角形，在和中，四边形的面积等于等腰直角三角形的面积，所以过关检测1【感知】如图，平分于点，于点，可知（不要求证明）【拓展】在图中，作，分别交射线，于，两点，求证：【应用】如图，与均为直角三角形，平分，两点在的异侧已知，求线段的长【分析】拓展如图，证明；证明；证明，得到应用如图，作辅助线；类比（1）中的结论得到：；结合，得到，；运用勾

19、股定理即可解决问题【解答】解：【拓展】平分，；，四边形为正方形，；，；在与中，【应用】如图，过点作；，交的延长线于点；由（1）知：（设为，四边形为正方形，；而，；由勾股定理得：，2如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是1【分析】根据题意可得：，所以，从而可求得其面积【解答】解：如图，正方形和正方形的边长都是，在和中，；则图中重叠部分的面积是，故答案为：1（含120的对角互补模型）例5如图，平分，与射线相交于点，与直线相交于点把绕着点旋转（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是（直接

20、写出结论，不必证明）【分析】（1）作，交于，证明是等边三角形，得出，证出，证明，得出，即可得出结论；（2）作，交于，证明是等边三角形，得出，证出，证明，得出，即可得出结论【解答】（1）证明：作，交于，如图1所示：，平分，是等边三角形，在和中，；（2）解：，理由如下：作，交于，如图2所示：，平分，是等边三角形，在和中，；故答案为：过关检测1如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，与交与点，与交于点（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积【分析】（1）根据角平分线定义得到，推出是等边三角形，得到；（2

21、）过点作，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1），平分，是等边三角形，；（2）过点作，平分，在与中，平分，四边形的面积（没有邻边等的对角互补模型，通常采用旋转构造全等）例6如图，在中，点是的中点，、分别是、上的点，且和互补（1）当，如图1，线段、之间的数量关系是 ；（2）当，如图 2 ，求证：；（3）在（2）的条件下，若，设线段交直线于点，求的长【分析】（1） 过作交于，由点是的中点， 得到，证得，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论；（2）连接，由，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；（3） 连接，通过，由

22、全等三角形的性质得到，于是得到是等腰直角三角形， 根据勾股定理得到，可得，设，由勾股定理列方程，即可得到结论 【解答】解： （1）；如图 1 ，过作交于，点是的中点，在与中，；故答案为：；（2） 如图 2 ，连接，即，在与中，；（3） 如图 3 ，连接，在与中，是等腰直角三角形，设，即，解得：（舍 去） ，过关检测1在中，分别交直线、于点、（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，问线段、之间有何数量关系，并证明；（3）如图3，当时，旋转，问线段之间、有何数量关系？并证明【分析】（1）如图1，连接，由等腰直角三角形可得，由“”可证，可得；（2）如图2，在上截取，连接，由“”可证，可得，由

23、“”可证，可得，则；（3）如图3，过点作，连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，则【解答】证明：（1）如图1，连接，且，；（2），理由如下：如图2，在上截取，连接，且，且，；（3），理由如下：如图3，过点作，连接，且，（含60的对角互补模型）例7如图所示，平分，点是射线上的一个定点，点在直线上运动，连接，将的两边射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点（1）如图1所示，当点在射线上时，请判断线段与的数量关系，直接写出结论；请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2所示，当点在射线的反向延长线上时，交射线于点，若，请直接写出线段的长【分析】（1）结论：只要

24、证明即可结论：只要证明，再证明即可解决问题；（2）如图2中，作于，于，于由（1）可知，易知，推出【解答】解：（1）结论：理由：如图1中，作于，于，平分，于，于，结论：，（2）如图2中，作于，于，由（1）可知，易知，三.手拉手模型手拉手模型为七下讲解内容，在难版讲义中放置的手拉手例题综合性较强，带领学生回顾模型时一定让学生抓住关键点：共顶点；两个顶角相等的等腰三角形；左手拉左手，右手拉右手（注意判断左右的相对位置）（例8涉及手拉手模型和特殊角的直角三角形三边比，120度角的三角形腰比底=）例8（青羊区校级期末）在等腰与等腰中，且点、三点在同一条直线上，连接（1）如图1，求证：（2）如图2，当时，

25、试猜想线段，之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当时，请直接写出线段，之间的数量关系式为：（不写证明过程）【分析】（1）由“”可证；（2）由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，可得结论；（3）由，可知，由勾股定理可求，由，推出，由，即可解决问题；【解答】证明：（1），又，；（2），理由如下：，又，；，；（3）作于，又，；，故答案为：（例9属于手拉手模型的构造，难度较大）例9【问题背景】如图1，是正三角形外一点，则小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转，请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】如图2，在等腰中，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】如图3，在四边形中，点在四边形内部，且，

26、直接写出的长【分析】【问题背景】按题意画出图形即可；【迁移应用】作线段垂直于交的延长线于点，连接，证得，证明，得出，由三角形的面积可求出答案；【拓展创新】将绕点顺时针旋转至，连接，证得，由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出【解答】解：【问题背景】如图1【迁移应用】如图2，作线段垂直于交的延长线于点，连接，为等腰直角三角形，在和中，【拓展创新】如图3，将绕点顺时针旋转至，连接，则，即，在和中，过关检测1如图，和均为等腰三角形，点，在同一直线上，连接（1）如图1，若求证：；求的度数（2）如图2，若，为中边上的高，为中 边上的高，试证明：【分析】（1）通过角的计算找出，再结合和均为等腰三角形

27、可得出“，”，利用全等三角形的判定即可证出，由此即可得出结论；结合中的可得出，再通过角的计算即可算出的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段、的长度，二者相加即可证出结论【解答】（1）证明：，和均为等腰三角形，在和中，有，解：，点，在同一直线上，且，且，（2）证明：和均为等腰三角形，且，在中，在中，2（1）方法探索如图1，在等边中，点在内，且，求的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出的长解：把绕着点顺时针旋转得到，连接接着写

28、下去：（2）方法应用请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2，点在等边外，且，若，求度数如图3，在中，是外一点，连接、已如，请直接写出的长【分析】（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，证明是直角三角形即可解解决问题（2）如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，证明，共线，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题如图3中，过点作，使得，连接，证明，推出，求出即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，由旋转不变性可知，为等边三角形，在中，（2）如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，是等边三角形，由旋转不变性可知，为等边三角形，共线，如图3中，过点作，使得

29、，连接，都是等腰直角三角形，过点作于，在中，在中，解法二：把绕着点逆时针旋转得到，连接，先证明、共线，再利用勾股定理求解即可四.半角模型半角模型为七下讲解内容，在该部分主要以复习为主，半角模型的复习也要带领学生回顾半角模型的关键点：存在半角，产生半角的两边相等，有一组补角。半角模型的核心点就是通过上述条件进行能将三角形进行旋转，然后在通过半角条件在证明一组全等三角形。（例10常见的半角模型）例10如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，

30、请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，且，求的长【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可；（2）把绕点逆时针旋转到，交于点，证明即可求得（3）如图3中，在上取一点，使得，证明，推出，证明，推出，设，则，在中，根据，构建方程求出即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，由旋转可得，四边形为正方形，在和中，（2）解：结论：，理由：如图2中，把绕点逆时针旋转到，交于点，同（1）可证得，且，（3）解：如图3中，在上取一点，使得，设，则，在中，过关检测1探究：如图，点、分别在正方形的边、上，连结，求证：应用：如图，在四

31、边形中，点、分别在、上，若，则【分析】（1）如图中，把绕点逆时针旋转得到，只要证明即可解决问题（2）如图中，将绕点旋转到位置连接，只要证明得，在中利用勾股定理即可解决问题【解答】（1）证明：如图中，在正方形中，把绕点逆时针旋转得到，点、共线，在和中，（2）解：如图中，因为，所以可以将绕点旋转到位置，连接，在和中，在中，故答案为学习任务1如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）恒成立；（2）的值不变；（3）四边形的面积不变；（4）的长不变，其中正确的结论有【分析】如图作于，于只要证明，即可一一判断【解答】解：如图作于，于，

32、平分，于，于，在和中，在和中，故（1）正确，定值，故（3）正确，定值，故（2）正确，在旋转过程中，是等腰三角形，形状是相似的，因为的长度是变化的，所以的长度是变化的，故（4）错误，故填：（1）（2）（3）2（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半如图1，等腰中，作于点，则为的中点，在直角三角形中，且；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，、三点在同一条直线上，连接（1）求证：；（2）请直接写出线段，之间的等量关系式；（3）如图2，若，求线段的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图2，作于根据等腰

33、三角形的性质得到，解直角三角形得到，于是得到；（3）根据全等三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论【解答】（1）证明：和都是等腰三角形，在和中，；（2）解：，理由：如图2，作于，在中，；（3），为直角三角形，3如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点（1）如图，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：；（2）如图，当点在的延长线上时，分别在线段的延长线和线段的延长线上，请写出，三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点在线段上，若，当时，请直接写出的长【分析】（1）由等边三角形

34、的性质可得，由旋转的性质可得，由“”可证；（2）过点作，交于，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可得；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题【解答】解：（1）如图中，与为正三角形，将射线绕点逆时针旋转，且，（2），理由如下：如图，过点作，交于，是等边三角形，且，（3）作于，如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时，过点作，交于，是等边三角形，且，如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时同法可证：，如图中，当点在线段上，点在线段上，点在线段上时同法可证：，如图中，当点在线段上，点在线段的延长线上，点在线段上时同法可知：，综上所述，满足条件的的值为3或5或172