2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动圆问题（课件）.pptx

1、河北 数学圆的综合题2024中考备考重难专题课件中考备考重难专题课件动圆问题动圆问题目目录录 课堂练兵 课后小练1 典例精讲23考情分析考情分析类型类型 年份年份 题号题号 题型题型 分值分值 图形图形切线切线设问形式设问形式解题关键点解题关键点动点动点引起引起圆大圆大小变小变化化 2017 23解解答答题题 9 三角三角形形+扇形扇形已知已知(1)求证线段相等求证线段相等(2)求弧长求弧长(3)求线段取值范围求线段取值范围(1)全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应边全等三角形的对应边相等相等(2)锐角三角函数求半锐角三角函数求半径长径长(3)三角形外心性质三角形外心性质类型类

2、型 年份年份 题号题号 题型题型 分值分值 图形图形 切线切线设问形式设问形式解题关键点解题关键点动点动点引起引起圆大圆大小变小变化化 2015 26解解答答题题 14矩形矩形+半圆半圆已知已知(1)判定点是否在直线判定点是否在直线上；求角度上；求角度(2)求满足两点间最小求满足两点间最小距离的角度，求最小距离的角度，求最小距离距离(3)求角度及阴影面积求角度及阴影面积(1)锐角三角函数求锐角三角函数求线段长；等腰三角线段长；等腰三角形为直角三角形形为直角三角形(2)三点共线，线段三点共线，线段最短最短(3)面积分割：构造面积分割：构造和差法和差法类型类型 年份年份 题号题号 题型题型 分值分

3、值 图形图形 切线切线设问形式设问形式解题关键点解题关键点旋转旋转 2019 25解解答答题题 10圆圆+平行平行四边四边形形+三角三角形形已知已知(1)两条线段的两条线段的位置关系位置关系(2)比较弦与劣比较弦与劣弧长的大小弧长的大小(3)求线段取值求线段取值范围范围(1)圆周角定理推论：直径所圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角对的圆周角是直角；平行四边形性质：对边平行平行四边形性质：对边平行(3)求弧长：过点求弧长：过点C作作CMAB确定圆心角度数；确定圆心角度数；通过证明通过证明OPEPCM（一线三垂直相似）（一线三垂直相似），求半求半径径长长类型类型 年份年份 题号题号 题型题型

4、分值分值 图形图形 切线切线设问形式设问形式解题关键点解题关键点旋转旋转 2016 25解解答答题题 102个个半圆半圆已知已知发现发现：求两弧：求两弧长和为定值，长和为定值，并求值并求值思考思考：求点到：求点到直线的最大，直线的最大，最小值及对应最小值及对应图形的面积图形的面积探究探究：求弧长：求弧长发现发现：通过证明通过证明OPQ为等为等边三角形得圆心角为边三角形得圆心角为60思考思考：当当PQAB时，点时，点M到到AB距离最大；当点距离最大；当点P与点与点A重合（或点重合（或点P与点与点Q重合）重合）时，点时，点M到到AB距离最小；封距离最小；封闭图形为等边三角形闭图形为等边三角形探究探

5、究：当半圆：当半圆M与与AB相切时，相切时，分切点在线段分切点在线段OA上和在线段上和在线段OB 上，根据切线性质分别上，根据切线性质分别求出求出 所对圆心角度数所对圆心角度数AP典例精讲典例精讲例例1 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，CD8，O为为CD中点，中点，A、B分别为分别为CO、OD的中点，将的中点，将OA绕点绕点O顺时针旋转得到扇形顺时针旋转得到扇形AOG，AOOG，点，点E在在 (不与不与点点B重合重合)上从上从A向向B运动，连接运动，连接OE、CE，过点，过点D作作CE的平行线交扇形的平行线交扇形AOG于点于点F(点点F离点离点B近近)，连接，连接OF.(1)当点当点

6、O，E，F共线时，共线时，求证：求证：OCEODF；ABEOC=FODECOFDOOEOF例例1题图题图DFCE(1)证明：当点证明：当点O，E，F共线时，共线时，EOCFOD，DFCE，ECOODF，OEOF，OCEODF;例例1题图题图例例1 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，CD8，O为为CD中点，中点，A、B分别为分别为CO、OD的中点，将的中点，将OA绕点绕点O顺时针旋转得到扇形顺时针旋转得到扇形AOG，AOOG，点，点E在在 (不与不与点点B重合重合)上从上从A向向B运动，连接运动，连接OE、CE，过点，过点D作作CE的平行线交扇形的平行线交扇形AOG于点于点F(点点F离点

7、离点B近近)，连接，连接OF.(2)如图如图，当，当COE60时，判断直线时，判断直线CE与扇形与扇形AOG所在圆的位置关系，所在圆的位置关系，并说明理由；并说明理由；AB猜想：相切猜想：相切 即证明即证明CEOEAOE是等是等边三角形边三角形转化为证明转化为证明CEA=30例例1题图题图能得到什么？能得到什么？(2)解：直线解：直线CE与扇形与扇形AOG所在圆相切；所在圆相切；理由：如解图，连接理由：如解图，连接AE，点点A为为CO的中点，的中点，CAOA，COE60，OAOE，OAE为等边三角形，为等边三角形，AEOACA，OAEOEA60，ACEAEC30，CEO90，OE为扇形为扇形A

8、OG所在圆的半径，所在圆的半径，直线直线CE与扇形与扇形AOG所在圆相切；所在圆相切；解图解图例例1 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，CD8，O为为CD中点，中点，A、B分别为分别为CO、OD的中点，将的中点，将OA绕点绕点O顺时针旋转得到扇形顺时针旋转得到扇形AOG，AOOG，点，点E在在 (不与不与点点B重合重合)上从上从A向向B运动，连接运动，连接OE、CE，过点，过点D作作CE的平行线交扇形的平行线交扇形AOG于点于点F(点点F离点离点B近近)，连接，连接OF.(3)求求DF的最大值及此时点的最大值及此时点E的运动路径长的运动路径长AB当点当点E运动使运动使CEEF时，时，D

9、F有有最大值，此时最大值，此时E、O、F三点共线三点共线180n rl CO4，AO=2已知已知60例例1题图题图点点E运动运动路径路径AE点击跳转点击跳转几何画板几何画板解图解图(3)解：由题意可知，当解：由题意可知，当CEEF时，时，CEO90，此时点，此时点E、O、F三点共线，三点共线，CEDF，DFOCEO90，此时，此时DF有最大值，有最大值，CD8，O为为CD中点，中点，A、B分别为分别为CO、OD的中点，的中点，DOCO4，OBOFOE2，在在RtDOF中，由勾股定理得中，由勾股定理得DF ，DF的最大值为的最大值为.cos COE ，COE60，此时点此时点E的运动路径长为的运

10、动路径长为 .222 3ODOF 12OEOC 60221803 例例2 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，已知在，已知在ABC中，中，AB5，AC4，BC3，点点D是线段是线段AB上一个动点，以上一个动点，以BD为直径的为直径的O与边与边BC交于点交于点F，连接，连接DF.(1)如图如图，求，求tan BDF的值；的值；BF、DF未知，未知，无法直接求出无法直接求出C=DFB=90ACDFBDF=BAC转化到转化到ABC中求比值中求比值例例2题图题图tan BDF=BFDF解：解：(1)在在ABC中，中，AB5，AC4，BC3，AB2AC2BC2.ABC为直角三角形，为直角三角形，A

11、CB90，BD为为O的直径，的直径，DFB90，ACDF，BDFCAB，tan BDFtan BAC ；34CBCA 例例2题图题图例例2 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，已知在，已知在ABC中，中，AB5，AC4，BC3，点点D是线段是线段AB上一个动点，以上一个动点，以BD为直径的为直径的O与边与边BC交于点交于点F，连接，连接DF.(2)如图如图，当线段，当线段AC与与O相切时，求相切时，求AD的长；的长；找切点，连圆心找切点，连圆心切点记为切点记为H，连接，连接OHHAD=ABBD(2OH)例例2题图题图怎么求怎么求OH？依据题意可得依据题意可得OHABCAOHOABCBA

12、设出设出OH长，代入长，代入解图解图(2)如解图，记切点为如解图，记切点为H，连接，连接OH，则，则OHA90，由，由(1)得得ACB90，OHABCA，HAOCAB，OHABCA，设设O的半径为的半径为r，则，则AO5r，解得解得r ，ADABBD52r ；OHOABCBA 535rr 15854例例2 (2022河北预测卷河北预测卷)如图如图，已知在，已知在ABC中，中，AB5，AC4，BC3，点点D是线段是线段AB上一个动点，以上一个动点，以BD为直径的为直径的O与边与边BC交于点交于点F，连接，连接DF.(3)如图如图，若，若E是边是边AC上任意一点，连接上任意一点，连接DE，EF，求

13、，求DEF面积的最大值面积的最大值SDEF=CFDF12CF、DF未知未知依据题意可得依据题意可得DFBACBDFBFACBC 设设BF长，表示出长，表示出CF、DF长，长，求面积最大值求面积最大值如何求？如何求？代入代入解图解图(3)DFAC，BDFBAC，设设BFx，DF ，DFAC，CFBCBF3x，SDEF CFDF (3x)(x )2 ,0，且，且0 x3，当当x 时，时，SDEF有最大值，最大值为有最大值，最大值为 ，DEF面积的最大值为面积的最大值为 .DFBFACBC 43DFx 43x121243x23323223233232课堂练兵课堂练兵练习练习1 (2022河北黑白卷河

14、北黑白卷)如图如图，OC垂直平分线段垂直平分线段AB，OC2，以点，以点O为圆为圆心，心，2为半径作为半径作O，点，点D是是O上的一点，当上的一点，当A，D，O三点共线时，连接三点共线时，连接OB交交O于点于点E，此时，此时AB74.如图如图，将扇形，将扇形DOE绕点绕点O逆时针逆时针旋转，得到扇形旋转，得到扇形DOE.(1)求证：求证：ADBE；练习练习1题图题图练习练习1题图题图线段线段ADBE在两个三角形中在两个三角形中考虑通过证明两三角形全等得考虑通过证明两三角形全等得线段相等线段相等旋转的性质？旋转的性质？对应线段相等对应线段相等对应角相等对应角相等解：解：(1)OC垂直平分线段垂直

15、平分线段AB，OAOB，由旋转的性质得由旋转的性质得ODOE，AODBOE，AODBOE(SAS)，ADBE；练习练习1题图题图练习练习1 (2022河北黑白卷河北黑白卷)如图如图，OC垂直平分线段垂直平分线段AB，OC2，以点，以点O为圆为圆心，心，2为半径作为半径作O，点，点D是是O上的一点，当上的一点，当A，D，O三点共线时，连接三点共线时，连接OB交交O于点于点E，此时，此时AB74.如图如图，将扇形，将扇形DOE绕点绕点O逆时针逆时针旋转，得到扇形旋转，得到扇形DOE.(2)当点当点O到到AD的距离最大时，判断的距离最大时，判断BE与与O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由

16、；练习练习1题图题图当点当点O到到AD的距离最大时，的距离最大时，AD与与O的的位置关系是？位置关系是？相切相切，即即ADOD由由(1)可知此时可知此时BEOE即即BE与与O相切相切点击跳转点击跳转几何画板几何画板(2)相切理由如下：相切理由如下：当点当点O到到AD的距离最大时，的距离最大时，AD与与O相切相切由由AODBOE得得ADOBEO90，OE是是O的半径，的半径，BE与与O相切；相切；练习练习1题图题图练习练习1 (2022河北黑白卷河北黑白卷)如图如图，OC垂直平分线段垂直平分线段AB，OC2，以点，以点O为圆为圆心，心，2为半径作为半径作O，点，点D是是O上的一点，当上的一点，当

17、A，D，O三点共线时，连接三点共线时，连接OB交交O于点于点E，此时，此时AB74.如图如图，将扇形，将扇形DOE绕点绕点O逆时针逆时针旋转，得到扇形旋转，得到扇形DOE.连接连接DE，若，若ODDE，直接写出，直接写出 的长的长D E 扇形扇形DOE绕点绕点O逆时针旋转，逆时针旋转，在旋转过程中使在旋转过程中使ODDEDE在在OD下方下方DE在在OD上方上方分情况讨论，求出旋转使分情况讨论，求出旋转使ODDE的的 的角度的角度 D E 点击跳转点击跳转几何画板几何画板练习练习1题图题图解图解图【解法提示】【解法提示】OC垂直平分线段垂直平分线段AB，OAOB，AB74，AB37，DOEDOE

18、18074106.如解图如解图，ODDE，AODODE37，DOE1063769，的长为的长为 ；如解图如解图，ODDE，DOEOED37，DOE36010610637111，的长为的长为 .综上所述，综上所述，的长为的长为 或或 .DE6922318030 DE11123718030 DE2330 3730 或或2330 3730 练习练习2 (2021河北逆袭卷河北逆袭卷)如图如图，已知半圆，已知半圆O的直径的直径AB4，过点，过点O作作COAB，且且CO4，延长，延长OB到点到点D，使，使OD3，以，以OC、OD为邻边作矩形为邻边作矩形ODEC.(1)若点若点P在半圆在半圆O上，则上，则

19、PE的最大值是的最大值是_，PE的最小值是的最小值是_；P当当P、E、O三点共线时，三点共线时，PE取最小值取最小值P当点当点P与点与点A重合时，重合时，PE取最大值取最大值PEOEOP22PEADDE 练习练习2题题【解法提示】当点【解法提示】当点P与点与点A重合时，重合时，PE取得最大值，取得最大值，即为即为 ；当当P、E、O三点共线时，三点共线时，PE取得最小值，取得最小值，CO4，OD3，OE5，PE的最小值为的最小值为OEOP523.2222(23)441ADDE 解：解：(1)，3；41练习练习2 (2021河北逆袭卷河北逆袭卷)如图如图，已知半圆，已知半圆O的直径的直径AB4，过

20、点，过点O作作COAB，且且CO4，延长，延长OB到点到点D，使，使OD3，以，以OC、OD为邻边作矩形为邻边作矩形ODEC.(2)将半圆将半圆O绕点绕点B逆时针旋转逆时针旋转(0360)得到半圆得到半圆O.如图如图，当点，当点A恰好落在恰好落在OC上时，判断直线上时，判断直线DE与半圆与半圆O的位置关系，的位置关系，并说明理由；并说明理由；猜想：直线猜想：直线DE与半圆与半圆O相切相切过点过点O 作直线平行于作直线平行于DO，交，交DE，OC于点于点M，NMN即证明即证明OM为半圆为半圆O的半径的半径OM=2练习练习2题题点击跳转点击跳转几何画板几何画板(2)直线直线DE与半圆与半圆O相切；

21、相切；理由如下：如解图理由如下：如解图，过点，过点O作作OMDE，交边，交边DE于点于点M，延长，延长MO交边交边OC于点于点N.四边形四边形DOCE为矩形，为矩形，DEOC，DOC90.OMDE，ONOC，四边形四边形DONM为矩形，为矩形，ODMN，MNOD3.AOBO，BO=2，ON为为ABO中位线中位线，ON=1，OMMNON2，OM为半圆为半圆O的半径，的半径，直线直线DE与半圆与半圆O相切；相切；解图解图练习练习2 如图如图，已知半圆，已知半圆O的直径的直径AB4，过点，过点O作作COAB，且，且CO4，延，延长长OB到点到点D，使，使OD3，以，以OC、OD为邻边作矩形为邻边作矩

22、形ODEC.如图如图，当，当90时，求半圆时，求半圆O与矩形与矩形ODEC重叠部分图形的面积重叠部分图形的面积无法直接求出，分割图形无法直接求出，分割图形半圆半圆O与与DE的交点分别记为的交点分别记为G、H，连接，连接GO、HOS重叠重叠S扇扇BOG+S扇扇AOH+SGOHGH主要求扇形角度及主要求扇形角度及三角形底和高三角形底和高练习练习2题题如解图如解图，设半圆，设半圆O交交DE于于G、H两点，过点两点，过点O作作OFGH于点于点F，连接，连接OG、OH，则四边形，则四边形OFDB是矩形，是矩形，OFBDODOB321，sin OGF ，OGF30，GF ，GH ，ABDE，BOGOGF3

23、0，同理可得同理可得AOH30，半圆半圆O与矩形与矩形ODEC重叠部分图形的面积为重叠部分图形的面积为 OFGH2 .12O FO G 32 3122302360 323 解图解图课后小练课后小练练习练习1 如图，已知如图，已知MON60，点，点A，B分别在边分别在边OM，ON上，且上，且OAOB6，点，点P是以点是以点A为圆心，为圆心，2为半径的为半径的 A上一点上一点(点点P不在射线不在射线OM上上)，连，连接接OP，将，将OP绕点绕点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转60得到得到OC，连接，连接AP，BC.(1)求证：求证：APBC；练习练习1题图题图(1)证明：证明：AOBPOC60，

24、AOPBOC，在在AOP和和BOC中，中，AOPBOC(SAS)，APBC；OAOBAOPBOCOPOC 练习练习1 如图，已知如图，已知MON60，点，点A，B分别在边分别在边OM，ON上，且上，且OAOB6，点，点P是以点是以点A为圆心，为圆心，2为半径的为半径的A上一点上一点(点点P不在射线不在射线OM上上)，连，连接接OP，将，将OP绕点绕点O按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转60得到得到OC，连接，连接AP，BC.(2)连接连接PC，当，当PC 时，判断时，判断OP与与A的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；4 2解图解图(2)解：解：OP与与A相切相切理由如下：如解图理由如

25、下：如解图，连接，连接PC，OPOC，POC60，POC为等边三角形，为等边三角形，OPPC ，又又OA6，AP2，在在OPA中，中，OP2()232，OA236，AP24，即即OP2AP2OA2，OPA为直角三角形，为直角三角形，且且OPA90，又又AP是是A的半径，的半径，OP与与A相切；相切；4 24 2练习练习1题图题图练习练习1 如图，已知如图，已知MON60，点，点A，B分别在边分别在边OM，ON上，且上，且OAOB6，点，点P是以点是以点A为圆心，为圆心，2为半径的为半径的A上一点上一点(点点P不在射线不在射线OM上上)，连，连接接OP，将，将OP绕点绕点O按逆时针方向旋转按逆时

26、针方向旋转60得到得到OC，连接，连接AP，BC.(3)当点当点B，C，P在同一条直线上时，直接写出在同一条直线上时，直接写出PC的长的长练习练习1题图题图【解法提示】设【解法提示】设OPPCx，当点，当点P位于位于OM下方时，下方时，如解图如解图，连接，连接PC，过点，过点O作作OHBP，垂足为，垂足为H，在在RtPOH中，中，CHHPOPcos 60 ，HOOPsin 60 ，BHBCCH2 .在在RtBOH中，中，OH2BH2OB2，即，即()2(2)262，解得，解得x 1(负值已舍去负值已舍去)，PC 1；32x2x332x32x2x33解图解图当点当点P位于位于OM上方时，如解图上

27、方时，如解图，连接，连接PB，过点，过点O作作OHBP，垂足为，垂足为H，在在RtPOH中，中，HPOPcos 60 ，HOOPsin 60 ，BHPCCBHPx2 2.在在RtBOH中，中，OH2BH2OB2，即，即()2(2)262，解得，解得x 1(负值已舍去负值已舍去)，PC 1；综；综上所述，当点上所述，当点B，C，P在同一条直线上时，在同一条直线上时，PC的长为的长为 1或或 1.2x32x2x2x32x2x33333333解图解图练习练习2 如图，点如图，点B，C在数轴上分别表示实数在数轴上分别表示实数2和和5，ACB90，tan ABC .点点Q为数轴上一动点，以点为数轴上一动

28、点，以点Q为圆心，为圆心，3为半径画圆，交数轴于为半径画圆，交数轴于E，F两点两点(点点E在点在点F的左侧的左侧)(1)若点若点M为为Q上任意一点，当上任意一点，当Q与与AC边相切时，求线段边相切时，求线段AM的最大值；的最大值；练习练习2题图题图43解：解：(1)ACB90，Q与与AC边相切时，点边相切时，点E与点与点C重合，重合，ACQ90，tan ABC ，由数轴得，由数轴得BC3，AC4，AQ ，MQ3，AMAQMQ8，AM的最大值为的最大值为8；43225ACCQ 练习练习2 如图，点如图，点B，C在数轴上分别表示实数在数轴上分别表示实数2和和5，ACB90，tan ABC.点点Q为

29、数轴上一动点，以点为数轴上一动点，以点Q为圆心，为圆心，3为半径画圆，交数轴于为半径画圆，交数轴于E，F两点两点(点点E在点在点F的左侧的左侧)(2)当当Q与与ABC的边有两个交点时，求点的边有两个交点时，求点Q在数轴上对应的实数在数轴上对应的实数q的取值范围；的取值范围；练习练习2题图题图(2)将将Q从当前位置向左平移，当点从当前位置向左平移，当点E与点与点C重重合时，合时，Q与与ABC的边有一个交的边有一个交点，此时点点，此时点Q在数轴上对应值为在数轴上对应值为8；将将Q再向左平移，再向左平移，Q与与ABC的边有两个交的边有两个交点，直至点，直至Q与与AB边相切边相切如解图如解图，记切点为

30、，记切点为H，连接，连接QH，则，则QHB90，QH3，解图解图tan ABC ，即，即 ，BH ，在在RtBHQ中，中，BQ ，点点Q在数轴上在数轴上对应的值为对应的值为 .将将Q再向左平移，再向左平移，Q与与ABC的边有四个交点，当的边有四个交点，当Q与点与点C重合时，此时重合时，此时点点Q在数轴上对应的值为在数轴上对应的值为5；将；将Q再向左平移，再向左平移，Q与与ABC的边有两个交的边有两个交点，直至点点，直至点F与点与点B重合，此时点重合，此时点Q在数轴上对应值为在数轴上对应值为1；综上所述，当综上所述，当Q与与ABC的边有两个交点时，点的边有两个交点时，点Q在数轴上对应值在数轴上对

31、应值q的取值的取值范围为范围为1q5或或 q8；解图解图4343QHBH 343BH 9422154HQBH 234234练习练习2 如图，点如图，点B，C在数轴上分别表示实数在数轴上分别表示实数2和和5，ACB90，tan ABC.点点Q为数轴上一动点，以点为数轴上一动点，以点Q为圆心，为圆心，3为半径画圆，交数轴于为半径画圆，交数轴于E，F两点两点(点点E在点在点F的左侧的左侧)(3)当当CQ2时，设时，设Q与与AC的交点为的交点为N，求，求BNF的面积的面积练习练习2题图题图解图解图(3)当当CQ2时，分时，分两种情况讨论：两种情况讨论：当点当点Q 位于点位于点C右侧时，如解图右侧时，如解图，连接，连接BN，NF，NQ.QFQN3，QC2，CF5，NC ，BC3，BF8，BNF的面积为的面积为 BF NC 8 4 ；5121255解图解图当点当点Q位于点位于点C左侧时，如解图左侧时，如解图，连接，连接BN，NF，NQ.QFQN3，QC2，CF1，NC ，BC3，BF4，BNF的面积为的面积为 BF NC 4 2 .综上所述，综上所述，BNF的面积为的面积为4 或或2 .512125555