1、 正态分布高二年级 数学尝试与发现 已知X服从参数为100，0.5的二项分布，即XB(100，0.5)，你能手工计算出P(X=50)的值吗？因为 ，手工计算该值是一个“几乎不可能”完成的任务，由此可以看出，若XB(n，p)，那么n较大时，直接计算P(X=k)的值将是十分困难的，有没有其他办法能得到上式的近似值呢？50100100(50)0.5P XC 例如，若XB(6，)，则X的分布列如下.直观图具有以下性质：（1）中间高，两边低；（2）图形关于X=3对称；12X0123456P16415645161564332164332（3）某一整数k上方的矩形面积等于P(X=k),其中k=0，1，2，3
2、，4，5，6；（4）所有矩形的面积之和为1.事实上，许多服从二项分布的随机变量分布列的直观图都有类似的特点.例如，若XB(50，)，或者XB(100，)，则X的分布列可分别用图(1)，(2)表示.1212其中：=E(X)即X的均值，即X的标准差。一般地，对应的图像称为正态曲线.22()21e.2 xx =()D X x 正态曲线的性质(1)=1,=2(2)=0,=1正态曲线的一些性质：（1）正态曲线关于直线 x=对称，具有中间高、两边低的特点；（2）正态曲线与x轴所围成的面积为1；（3）决定曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；越小，曲线越“瘦”.正态曲线
3、与x轴在区间，+内所围面积为0.3413，在区间 +，+2内所围面积约为0.1359，在区间+2，+3内所围面积约为0.0215，如图所示.例题 求正态曲线与x轴在下列区间内所围面积（精确到0.001）（1），+）解：（1）因为正态曲线关于x=对称，且它与x轴所围成的面积为1，所以所求面积为0.5.（2）利用对称性可知，所求面积为，+内面积的2倍，即约为0.34132=0.68260.683.（2）-，+（3）利用对称性可知，所求面积为 (0.3413+0.1359)2=0.95440.954.（3）-2，+2；（4）利用对称性可知，所求面积为(0.3413+0.1359+0.0215)2=0
4、.99740.997.（4）-3，+3.正态分布：如果随机变量X落在区间a，b内的概率，总等于 对应的正态曲线与x轴在区间a，b内围成的面积，则称X服从参数为 和和的正态分布，记作XN(，2).是X的平均值，是X的标准差,2是X的方差.，x 由正态曲线的性质及前面例题可知，如果XN(，2)，那么P(X)=P(X)=0.5,P(|X|)=P(-X+)68.3,P(|X|2)=P(-2X+2)95.4,P(|X|3)=P(-3X+3)99.7.现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布：随机误差、同一地区同龄人的身高、正常条件下生产出来的产品尺寸、同一批灯泡的寿命等.例 假设某地区高二学生的
5、身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1）不高于170的概率；解：设该学生的身高为X，XN(170，102).（1）P(X170)=50,（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160X 180)=P(|X 170|10)68.3，（2）在区间160，180内的概率；(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知P(170X 180)=P(160X 180)68.3=34.15，由概率加法公式可知P(X 180)=P(X 170)+P(170X 180)50+34.15=
6、84.15.1212（3）不高于180的概率.标准正态分布：=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0，1)，对于任意a，通常记(a)=P(Xa).由对称性可知(a)+(-a)=1.以下是a 0时部分(a)的值：例如：(0.28)=0.6103例 已知XN(0，1)，利用上述表格求以下概率值：（1）P(X 0.28)；（2）P(X 0.36)；解：（1）P(X 0.28)=(0.28)=0.6103；（2）P(X 0.36)=(0.36)=1(0.36)=0.3594例 已知XN(0，1)，利用上述表格求以下概率值：（3）P(0.18X 0.57)；解：（3）P(0.18X 0.57)=P(X 0.57)P(X 0.18)=(0.57)(0.18)=0.1443.1.二项分布与正态曲线，曲线的性质与 特点；2.正态分布与3原则；3.标准正态分布.课堂小结 设 ，则 落在 内的概率是()A95.44%B99.74%C4.56%D0.26%课后作业1414(3.5,0.5)1(2,)4XN X谢谢
