2024安徽中考数学二轮专题训练 题型四“探究法”突破“几何图形折叠、裁剪问题” (含答案).docx

1、2024安徽中考数学二轮专题训练 题型四“探究法”突破“几何图形折叠、裁剪问题” (含答案) 微专题 折叠问题满分技法与折叠有关的计算常用性质：(1)折叠问题的本质是全等变换与轴对称，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形且关于折痕所在直线对称；(2)折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分)；(3)折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等)方法解读1. 折叠问题常见的类型有：2. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形；线段相等：ED_，EG_，FD_，角度相等：D_，DEG_，全等关系：四边形FDEG_3. 折痕可看做垂直平分线：GF_(折

2、痕垂直平分连接两个对应点的连线)；4. 折痕可看做角平分线：EGF_(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)折法1折痕确定例 1如图，已知RtABC，B90，AB6，BC8，将直角边AB沿直线AD折叠，使它落在斜边AC上，且点B与点E重合，BD的长为_【答题区】例1题图例 2如图，在矩形ABCD中，AD4，AB3，将ABC沿AC折叠，点B落在点E处，此时CE交AD于点F，则CFEF_【答题区】例2题图满分技法折叠方式确定，不需分类讨论，常用到的解题方法有：勾股定理；相似；三角函数；等面积法；例 3如图，在矩形ABCD中，AD4，AB3，P，Q分别是AB，CD的中点，点E是BC边上一点，将矩形沿A

3、E按如图方式折叠，使点B 落在PQ上的点G处，则折痕AE的长为_【答题区】例3题图例 4如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，将直角边AB沿BE折叠，使点A落在斜边AC的点D处，再将边BC沿BF折叠，使点C落在BD的延长线上的点C处，则AD的长为_【答题区】例4题图满分技法当折叠后出现含30，45角的直角三角形时，可利用特殊三角形的性质解题；折法2折痕过一动点例 5如图，在矩形ABCD中，AD8，AB4，E是AB的中点，点F是线段BC边上一动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值为_【答题区】例5题图满分技法折叠中的动点问题常结合题设条件确定出满足条件情

4、况，画出图形，求值例 6如图，在矩形ABCD中，AD8，AB4，点P是AD上的点，且AP3，点E是BC边上一动点，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点A，B的对应点分别为点A，B，当A、B、D共线时，BE的长为_【答题区】例6题图满分技法当折叠方式不确定时，常产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题折法3折痕过两动点例 7如图，在RtABC中，ABC90，AB9，BC12，P，Q分别是边AB，BC上的动点，将PBQ沿PQ所在直线折叠得到PBQ，连接AB，则AB的最小值为_【答题区】例7题图例 8如图，正方形纸片ABCD的边长为6，E

5、，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿GH所在直线折叠，当点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为_【答题区】例8题图类型一几何图形折叠问题典例精讲例 1（一题多设问) 如图，在矩形ABCD中，AB6，点P是AD上一点，将ABP沿BP折叠，点A的对应点为O.探究1：一次折叠(1)如图，点O恰好落在矩形的对称轴上，若BC8，则AP的长为_例1题图探究2：二次折叠(2)如图，点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在边AD上的点F处，此时恰好B、O、F三点共线则PBE_例1题图探究3：三次折叠(3)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，若顶点A、C、D都落在点O处，则BC

6、_例1题图安徽近年真题精选1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB6，BC10.点E在CD上，将BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处有下列结论：EBG45；DEFABG；SABGSFGH；AGDFFG.其中正确的是_(把所有正确结论的序号都选上)第1题图针对训练2. 一张矩形纸片的长为m，宽为n(m3n)，先在其两端分别折出两个正方形(ABEF、CDGH)后展开，如图，再分别将长方形ABHG、CDFE对折，折痕分别为MN、PQ，如图.第2题图(1)四边形EFMN和四边形QPGH的面积之和为_；(2)MP_3. 如图，在菱形

7、ABCD中，点E是AD的中点，点F、G是分别是AB、BC上的一点，以EF、CE、FG为对称轴将AEF、CDE和BFG折叠，得到AEF、CDE和BFG，且点A与点D重合，点B落在AC上第3题图(1)AE和BG的位置关系为_；(2)若A60，则的值为_4. 正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在A处，点B落在点B处，AB交 BC于G.以下结论：当A为CD中点时，ADE 三边之比为345；当ADE三边之比为345时，A为CD中点；当A在CD上移动时，ACG 周长不变；当A在CD上移动时，AGADBG一定成立其中正确的有_(写出所有正确结论的序号)第4题

8、图类型二几何图形裁剪问题典例精讲例 2（一题多设问) 如图，有两张同样大小的纸片ABCD，已知AB4.例2题图探究1：折叠后还原(1)如图，将第一张纸片按如图所示折叠，使得点A、C的对应点A、C落在矩形的对角线BD上，当A、C恰好重合时，原矩形ABCD的周长为_例2题图探究2：展开后裁剪(2)如图，将第二张纸片沿对角线AC折叠，点B的对应点为B，设BC交AD于点E，剪去ABE和DEC.例2题图双层AEC展开为_；(填“平行四边形”、“矩形”、“菱形”或“正方形”)AEC的度数为_如图，P、Q分别是AE、CE上的点，点G、H为AC边上两点，沿GPQH裁剪并展开，要使展开图为边长1的矩形，则此矩形

9、的面积为_例2题图安徽近年真题精选1. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形ABCD，且ABBC，CDAC，其中AB2，BC4，CD3，则原直角三角形纸片的斜边长是()A. 10 B. 4 C. 10或4 D. 10或2第1题图2.在三角形纸片ABC中，A90，C30，AC30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD(如图)，剪去CDE后得到双层BDE(如图)，再沿着过BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形则所得平行四边形的周长为_ cm.

10、第2题图针对训练3. 如图，在菱形ABCD中，AB8，B120，沿过菱形不同顶点的直线裁剪该菱形两次，再将所裁下的图形拼接若所得部分恰好能无缝、无重叠的拼接成一个矩形，则所得矩形的长为_第3题图4. 如图，将一个宽为4 cm的矩形纸片沿图中的虚线对折再展开，然后按图的方式沿AF对折，使点B落在图所得折线上的点E处，沿AE、EF剪开，得到双层AEF，再沿过AEF的某个顶点的直线将三角形剪开，展开后若得到的四边形中有一个是菱形，则菱形的面积为_cm2.第4题图参考答案微专题折叠问题2. AD，AG，FD；D，DAG；四边形FDAG；3. AE；4. AGF.例13【解析】勾股定理；根据题意可得，A

11、C10，由折叠的性质可知，ABAE6，CE4，设BDx，则DEBDx，DC8x，在RtEDC中，DE，即x，解得x3，BD的长为3.一题多解解法二：相似；根据题意可得，AC10，由折叠的性质可知，DEBD，ABAE6，CE4，AEDABDCED90，CECD，CEDCBA，即，解得DE3，BD的长为3.解法三：等面积法根据题意可得，AC10，由折叠的性质可知，DEBD，ABAE6，AEDABDCED90，SADCABDCACDE，即6(8DE)DE10，解得DE3，BD3.例2【解析】根据折叠的性质可知， CEBC4，AEABCD3，ABCAECCDF90，在AEF和CDF中， ，AEFCDF

12、(AAS)，AFCF，EFDF，在RtCDF中，根据勾股定理可得，CF2CD2DF2，即CF2CD2(CECF)2，CF232(4CF)2，解得CF，EFCECF4，CFEF. 例32【解析】根据题意可知，P是AB的中点，APAB，根据折叠的性质可得，ABAG3，在RtAPG中，cosPAG，PAG60，BAEGAEPAG30，在RtBAE中，BAE30，AE2.例4【解析】根据折叠的性质可知，BDAB3，CBBC4，ABEDBE，BCFBCF，BEAC，CDBCBD431，DBECBFABECBF，ABC90，EBF45EBF是等腰直角三角形，EFBE，EFB45，CFBCFB135，CFD

13、1354590，SABCABBCACBE，ABBCACBE，根据勾股定理求得AC5，BE，EFBE，EDAE，AD2.例522【解析】如解图，点B在以E为圆心，EA长为半径的圆上运动，当D、B、E共线时，BD的值最小，根据折叠的性质，EBFEBF，EBEB，EBBF，E是AB边的中点，AB4，AEEB2，AD8，DE2，BD最小值为22.例5题解图例61或5 【解析】点E是BC上动点，根据折叠后点B与点D是否重合分两种情况讨论：如解图，当A、B、D三点共线时，在RtAPD中，由折叠性质可知，APAP3，DP5.由勾股定理可知AD4，在矩形ABCD中，ADBC，CMDADM，CDM APD，MD

14、，BMDBMD，BEMAPD，BE1，BE1；如解图，当点B、D重合时，由折叠性质可知，APAP3，ABAB，AA90，ABEABE90，ABCD，AC90，ADPEDC，ADPCDE，CEAPAP3，BE5.综上所述，BE长为1或5.图图例6题解图例73【解析】如解图，当点Q与点C重合且PQ恰好为ACB的平分线时，AB有最小值在ABC中，ABC90，AB9，BC12，AC15，根据折叠的性质可知，BQBQ，ABBQQCAC，ABBQQCAC，即AB12AC，AB3，AB的最小值为3.例7题解图例8或【解析】四边形ABCD是正方形，ABDC，ADBCABCD6，A90.点E，F分别是AB，CD

15、的中点，AEBEDFCF3，四边形AEFD是矩形，ADEF6，如解图，当EMEF2时，根据折叠的性质可知，AHHM，在RtHEM中，根据勾股定理可知，HM2HE2EM2，AH2(3AH)24，解得AH；如解图，当EMEF4时，根据折叠的性质可知，AHHM，在RtEHM中，根据勾股定理可知，HM2HE2EM2，AH2(AH3)216，AH.例8题解图类型一几何图形折叠问题典例精讲例1(1)3【解析】如解图，由折叠的性质可知，POBD，POAP，PODBAD，已知AB6，BC8，BD10，设APOPx，则PD8x，解得x3，即AP3；例1题解图(2)45【解析】由折叠的性质可知，CBEFBE，AB

16、POBP，又ABCCBEFBEABPOBP902FBE2OBP，2(FBEOBP)ABC90，PBEFBEOBP45.(3)6【解析】由折叠的性质可知，DEOE，CEOE，OBAB，OB6，OECEDE3，BE9，BC6.安徽近年真题精选1. 【解析】由折叠的性质得，CBEFBE，ABGFBG，EBGFBEFBGABC9045，故正确；由折叠的性质得，BFBC10，BHBA6，HFBFBH4，在RtABF中，AF8，设GHx，则GF8x，在RtGHF中，x242(8x)2，解得x3，GF5，AG3，同理在RtFDE中，FD2，ED6EF，由FD2EF2ED2得EF，ED，2，DEF与ABG不相

17、似，故不正确；SABG369，SFGH346，即SABGSFGH，故正确；AG3，DF2，FG5，AGDFFG5，故正确2. mn3n2；n【解析】(1)由折叠的性质可知，AFABCDGDn，FGm2n，AGDFmn.由折叠可得，DPDF(mn)，AMAG(mn)，FMAMAF(mn)n，PGDPGD，四边形EFMN和四边形QPGH是矩形，S矩形EFMNS矩形QPGH2nmn3n2；(2)由(1)可得，MPAD2FM2AFm22nn.3. AEBG ，【解析】由折叠的性质知EAFA，FBGB，又四边形ABCD是菱形，AB180，EAFFBG180，则EABFBG，AEBG；(2) 如解图，过点

18、C作CHAB于点H.设菱形ABCD的边长为2，设AFAFa，则FCa2，BF2a，BH1，FH3a，CH.在RtFCH中，由FC2FH2CH2，得(a2)2(3a)2()2，解得：a0.8，故FBFB2a1.2.由题意可知CEFEFG90，CEFG，ACEBFG，()2()2.第3题解图4. 【解析】A为CD中点，正方形ABCD的边长为8，AD8，ADCD4，D90，由折叠的性质得AEAE，设AEAEx，则DE8x，在RtADE中，AD2DE2AE2，42(8x)2x2，解得x5，AE5，DE3，当A为CD中点时，ADE三边之比为345，故正确；当ADE三边之比为345时，设AD3a，DE4a

19、，AE5a，则AEAE5a，ADAEDE8，5a4a8，解得a，AD3a，ACCDAD8，ADAC，此时点A不是CD的中点，故错误；如解图，过点A作AHAG，垂足为点H，连接AA，AG，则AHAAHG90，由折叠的性质得EAGEAB90，AEAE，EAAAAG90，EAAEAA，D90，EAADAA90，AAGAAD，在AAD与AAH中，AADAAH(AAS)，ADAH，ADAH，又ADAB，AHAB，在RtABG与RtAHG中， RtABGRtAHG(HL)，HGBG，CACGACAGCGACAHHGCGACADBGCGCDBC8816，当A在CD上移动时，ACG周长不变，故正确；AADAA

20、H，ABGAHG，ADAH，BGHG，AGAHHGADBG，故正确第4题解图类型二几何图形裁剪问题典例精讲例2(1)88【解析】如解图，当A、C恰好重合时BDABCD8，AD4，矩形的周长为2(ADAB)88.例2题解图(2)菱形【解析】由折叠的性质可知，ABCD，DB，CEDAEB，CEDAEB，AECE，展开后四条边均相等，即是菱形；120【解析】由(1)知，BC4，tanACB，ACB30，四边形ABCD是矩形，ADBC，EAC30，由得AECE，ECAEAC30，AEC120；例2题解图 或4【解析】由(2)知，E120，CAE30，由可知，AC8，AECE ，如解图，当展开图为边长1

21、：的矩形时，有两种情况满足，情况一：P1Q1P1G121，此时设P1G1x，则P1Q1 G1H12x，AG14x，tanA，x ，此时展开矩形的边长分别为 和4，面积为；情况二：P2Q2P2G22，设P2G2x，则P2Q2 G2H22x，AG24x，tanA，x1，此时展开矩形的边长分别为2和2，面积为4.例2题解图安徽近年真题精选1. C【解析】情况一：如解图，由题意可得，ACDE，又点D是AB的中点，DE为ABC的中位线，CEBE4，AC2DE6，BC8，利用勾股定理可得AB10；情况二：如解图，GIKJ，又点J是HG的中点，KJ是HGI的中位线，HKKI4，GI2KJ4，HI8，利用勾股

22、定理可得GH4.第1题解图2. 40或【解析】在RtABC中，AC30，C30，可得ABBEACtanC30tan3010，由折叠的性质可知ABDEBD30，在RtABD中，AD10，ADDE10，CD20.(1)如解图所示，当沿过E点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以AD和DE为邻边的平行四边形ADEF时，ADDE10，所得平行四边形ADEF的周长为4AD40；(2)如解图所示，当沿过D点的直线剪开，展开后所得平行四边形是以ABE为顶角，BD为对角线的平行四边形DFBG时，由折叠的性质可得DGDF，DFAB，DFABCDCA23，AB10，DF，所得平行四边形DFBG的周长为4DF.综上，

23、所得平行四边形的周长为40或.第2题解图3. 8或8【解析】如解图，分别沿菱形的对角线AC、BD裁剪，将剪下的4个三角形重新拼接得到矩形ABCD，ABC120，AB8，BC8，AC8，ACAB8.矩形ABCD的长为8；如解图，过点B作BEAD，过点D作DFBC，分别沿BE、DF裁剪，将剪下的三角形和剩余的矩形重新拼接到得到矩形ABCD，ABC120，AFB18012060，AB8，AF8，BF4，AB4，CF844，BCBFCF8，48，矩形ABCD的长为8.综上所述，所得矩形的长为8或8.第3题解图第3题解图4. 或【解析】如解图，过点E作EGAD于点G，则GE2，由折叠可知AEAB4，EAG30，EAF30，如解图，在AF上截取FHEF，连接EH，过点E沿虚线EH剪开，EFH展开为一个菱形，EAF30，AFE60，又FHEF，EFH为等边三角形，FHEFAEtan304，EE2EHcos3024，其对角线分别为4 cm， cm，菱形的面积为 cm2；如解图所示，作AF的垂直平分线l交AE于点M，连接FM，过点F沿虚线MF剪开，AMF展开为一个菱形，AF，易得AMM为等边三角形，MMAM，其对角线分别为 cm， cm，菱形的面积为 cm2.第4题解图第4题解图第4题解图