1、2024成都中考数学二轮复习微专题 利用垂线段最短解决最值问题 模型一点到直线的所有线段中,垂线段最短模型分析如图,已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,求A、B之间距离的最小值通常过点A作直线l的垂线AB,利用垂线段最短解决问题,即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短模型应用1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ADC60,AB6,若点P为AD上的动点,连接OP,则OP的最小值为_第1题图2. 如图,在矩形ABCD中,AC8,BAC30,点P是对角线AC上一动点,连接DP,以DP、CP为邻边作DPCQ,连接PQ,则线段PQ的最小值为_第2题图模型二“胡不归
2、”问题模型分析问题:点A为直线l上一定点,点B为直线l外一定点,点P为直线l上一动点,要使kAPBP(0k1)的值最小方法:1找:找带有系数k的线段AP;2构:在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形;以定点A为顶点作NAP,使sinNAPk;过动点P作垂线,构造RtAPE;3转化:化折为直,将kAP转化为PE;4求解:使得kAPBPPEBP,利用“垂线段最短”转化为求BF的长模型应用3. 如图,在ABC中,A90,B60,AB2,若D是BC边上的动点,则2ADDC的最小值为_第3题图4. 如图,在菱形ABCD中,ABAC10, 对角线AC、BD相交于点O,点M在线段AC上,且AM3,点P
3、为线段BD上的一个动点,则MPPB的最小值是_第4题图模型迁移5. 如图,抛物线yax2axc经过点A(1,0),B(0,),C,其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上一点,连接PD,求PBPD的最小值第5题图参考答案1. 【解析】根据垂线段最短可知,当OP与AD垂直时,OP取得最小值四边形ABCD是菱形,AB6,ADAB6,ACOD.ADC60,ADO30,AO3,DO3,当OPAD时,SADOAODOADOP,OP,OP的最小值为.2. 2【解析】四边形DPCQ为平行四边形,DQAC,当PQDQ时,线段PQ的值最小,最小值即为DQ与AC之间的距离,即点D到AC的距离,如解图,过点D作DEAC
4、于点E,AC8,BAC30,ACD30,CDACcos304,DECDsin302,即点D到AC的距离为2,线段PQ的最小值为2.第2题解图3. 6【解析】如解图,作点A关于BC的对称点A,连接AA,AD,过点D作DEAC于点E,在ABC中,BAC90,B60,AB2,BH1,AH,AA2,C30,在RtCDE中,DECD,即2DECD,点A与点A关于BC对称,ADAD,ADDEADDE,当A,D,E三点共线时,ADDE有最小值,最小值为AE的长,此时,在RtAAE中,AEAAsin6023,ADDE的最小值为3,即2ADDC2(ADDE)的最小值为6.第3题解图4. 【解析】如解图,过点P作
5、PQBC于点Q,过点M作MNBC于点N.四边形ABCD是菱形,ABBC.ABAC10,ABC是等边三角形,ABCACB60,菱形对角线互相垂直,BOC90,OBC30,PQPB,MPPBMPPQ.由两点之间线段最短可知,当M、P、Q三点共线,即点Q与点N重合时,MPPQ取得最小值,最小值为MN的长AM3,CMACAM7.ACB60,MNCM,MPPB的最小值为.第4题解图5. 解:如解图,连接AB,过点D作DHAB于点H,交y轴于点P.PBPD(PBPD),当PBPD取得最小值时,(PBPD)有最小值A(1,0),B(0,),OA1,OB,AB2,ABO30,BAO60,PHPB,PBPDPHPD,当点P运动到点P时,即H、P、D三点共线,且DHAB时,PBPD有最小值,最小值为DH的长抛物线的对称轴为直线x,OD.在RtADH中,ADH90OAB30,ADOAOD,DHADcos30,PBPD的最小值为,PBPD的最小值为.第5题解图