2024成都中考数学二轮微专题专项训练(含答案).docx

1、2024成都中考数学二轮微专题专项训练 微专题利用垂线段最短解决最值问题模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短模型分析如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短模型应用1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ADC60，AB6，若点P为AD上的动点，连接OP，则OP的最小值为_第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，AC8，BAC30，点P是对角线AC上一动点，连接DP，以DP、CP为邻边作DPCQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为_第2题图模型二

2、“胡不归”问题(2014.28)模型分析问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAPBP(0k1)的值最小方法：1找：找带有系数k的线段AP；2构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；以定点A为顶点作NAP，使sinNAPk；过动点P作垂线，构造RtAPE；3转化：化折为直，将kAP转化为PE；4求解：使得kAPBPPEBP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长模型应用3. 如图，在ABC中，A90，B60，AB2，若D是BC边上的动点，则2ADDC的最小值为_第3题图4. 如图，在菱形ABCD中，ABAC10, 对角线AC、BD相交于点O，点M在

3、线段AC上，且AM3，点P为线段BD上的一个动点，则MPPB的最小值是_第4题图模型迁移5. 如图，抛物线yax2axc经过点A(1，0)，B(0，)，C，其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上一点，连接PD，求PBPD的最小值第5题图微专题利用三角形三边关系解决最值问题模型分析背景展示如图，已知点A、点B是平面内固定的两点，ABm，点C是同一平面内一动点且BCn.1连接AC、BC.在ABC中，根据三边关系，有ABBCACABBC，即mnACmn；2当A，B，C三点共线时，(1)点C在线段AB上，AC有最小值为ABBC，即mn；(2)点C在线段AB的延长线上，AC有最大值为ABBC，即mn；(3

4、)点C在线段BA的延长线上，AC有最小值BCAB，即nm.模型应用1. 如图，在ABC中，C90，AC10，BC8，点D，E分别在边AC，BC上运动，已知DE6，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为()A. 10 B. 3 C. 26 D. 3第1题图2. 如图，在ABC中，AB5，AC4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值为()A. 5 B. 9 C. 9 D. 第2题图3. 如图，矩形ABCD，AB1，BC2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为_第3题图4. 如图

5、，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是边AD上的一个动点，将ABE沿BE折叠得到FBE，连接DF，则线段DF的最小值为_ 第4题图模型迁移5. 如图，抛物线yax25ax4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC.第5题图(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和点B的距离之差最大？若存在，求所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PAP

6、B的值最小解题思路：根据两点之间线段最短，PAPB的最小值即为线段AB的长连接AB交直线l于点P，点P即为所求模型演变问题： 两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PAPB的值最小解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A，连接AB，与直线l交于点P.模型应用1. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC6，BD6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PDPE的最小值为_第1题图2. 如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3，点P是矩形内一动点，满足SPA

7、BS矩形ABCD，则PAPB的最小值为_第2题图模型迁移3. 如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的图象相交于A(3，5)、B(a，3)两点，与x轴交于点C. 第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PBPC取最小值时，求BPC的面积4. 如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求PBC周长的最小值第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大解题思路：根据两边之差小于第三边，|PAPB|最大值即AB的

8、长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PAPB|的值最大解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决作点B关于l的对称点B，连接AB并延长与直线l交于点P.模型应用5. 如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PAPB|的最大值为_第5题图6. 如图，在等边ABC中，AB4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BPEP的最大值为_第6题图7. 如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM

9、6，P为对角线BD上一动点，则PMPN的最大值为_第7题图模型迁移8. 已知抛物线yx22x8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上的一个动点，当|PBPC|有最大值时，求点P的坐标模型二“一点两线”型(两个动点一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMMN的值最小解题思路：要使PMMN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决作点P关于OA的对称点P，过点P作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9. 如图，在RtABC中，ACB90，

10、AC6，BC8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PCPQ的最小值为_第9题图10. 如图，在菱形ABCD中，AB6，A120，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CMMN的最小值为_第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PMN的周长最小解题思路：要使PMN的周长最小，即PMMNPN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP交OA、OB于点M、N.模型应用11. 如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D为AB上一定点，点E，F

11、分别为边AC，BC上的动点，当DEF的周长最小时，则FDE_第11题图12. 如图，在RtABC中，C90，B60，点D在BC上，且AD4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则DEF周长的最小值为_第12题图模型三“一定长两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MNl1，且AMMNNB的值最小解题思路：要求AMMNNB的最小值，MN为定值，即要求AMNB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上将点A向下平移d个单位到点A，连接AB交直线l2于点N，过点N作MNl1于点M

12、.模型应用13. 如图，已知直线ab，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ2.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足ABb，且PAABBQ最小，则PABQ_第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14. 如图，菱形ABCD的边长为3，BAD60，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF1，则DEBF的最小值为_第14题图15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB4，BC12，ABC60，点E、F是AD边上的动点，且EF2，则四边形BEFC周长的最小值为_第15题图模型迁移16. 如图，已知点A(3，1)，B(1，0)

13、，PQ是直线yx上的一条动线段，且PQ(点Q在点P的下方)，当APPQQB取得最小值时，求点Q的坐标参考答案微专题利用垂线段最短解决最值问题1. 【解析】根据垂线段最短可知，当OP与AD垂直时，OP取得最小值四边形ABCD是菱形，AB6，ADAB6，ACOD.ADC60，ADO30，AO3，DO3，当OPAD时，SADOAODOADOP，OP，OP的最小值为.2. 2【解析】四边形DPCQ为平行四边形，DQAC，当PQDQ时，线段PQ的值最小，最小值即为DQ与AC之间的距离，即点D到AC的距离，如解图，过点D作DEAC于点E，AC8，BAC30，ACD30，CDACcos304，DECDsin

14、302，即点D到AC的距离为2，线段PQ的最小值为2.第2题解图3. 6【解析】如解图，作点A关于BC的对称点A，连接AA，AD，过点D作DEAC于点E，在ABC中，BAC90，B60，AB2，BH1，AH，AA2，C30，在RtCDE中，DECD，即2DECD，点A与点A关于BC对称，ADAD，ADDEADDE，当A，D，E三点共线时，ADDE有最小值，最小值为AE的长，此时，在RtAAE中，AEAAsin6023，ADDE的最小值为3，即2ADDC2(ADDE)的最小值为6.第3题解图4. 【解析】如解图，过点P作PQBC于点Q，过点M作MNBC于点N.四边形ABCD是菱形，ABBC.AB

15、AC10，ABC是等边三角形，ABCACB60，菱形对角线互相垂直，BOC90，OBC30，PQPB，MPPBMPPQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MPPQ取得最小值，最小值为MN的长AM3，CMACAM7.ACB60，MNCM，MPPB的最小值为.第4题解图5. 解：如解图，连接AB，过点D作DHAB于点H，交y轴于点P.PBPD(PBPD)，当PBPD取得最小值时，(PBPD)有最小值A(1，0)，B(0，)，OA1，OB，AB2，ABO30，BAO60，PHPB，PBPDPHPD，当点P运动到点P时，即H、P、D三点共线，且DHAB时，PBPD有最小

16、值，最小值为DH的长抛物线的对称轴为直线x，OD.在RtADH中，ADH90OAB30，ADOAOD，DHADcos30，PBPD的最小值为，PBPD的最小值为.第5题解图微专题利用三角形三边关系解决最值问题1. B【解析】如解图，连接CM，CN，在ABC中，C90，AC10，BC8，AB2，DE6，点M、N分别是DE、AB的中点，CNAB，CMDE3，当C、M、N三点在同一直线上时，MN取得最小值，MN的最小值为3.第1题解图2. D【解析】如解图，将BDA绕点D顺时针旋转90得到CDM，由旋转的性质可知ABCM5，DADM，ADM90，ADM是等腰直角三角形，ADAM，当AM的值最大时，A

17、D的值最大，AMACCM，AM9，AM的最大值为9，AD的最大值为.第2题解图3. 1【解析】如解图，取AD的中点P，连接OP，CP，AOD90，P是AD的中点，ADBC2，OPDPAD1，CDAB1，CP.OCCPOP1，点C到原点O的最大距离为1.第3题解图4. 24【解析】如解图，连接BD，BFDFBD，DFBDBF，当B、F、D三点共线时，DF取得最小值，且最小值为BDBF的长，四边形ABCD是矩形，CDAB4，BD2，由折叠的性质知BFAB4，线段DF长度的最小值为BDBF24.第4题解图5. 解：(1)令x0，则y4，点C的坐标为(0，4)，抛物线yax25ax4，对称轴为直线x，

18、又BCx轴，点B，C关于对称轴对称，点B的坐标为(5，4)，又ACBC，ACBC5，OA3，点A在x轴上，点A的坐标为A(3，0)，抛物线yax25ax4经过点A，9a15a40，解得a，抛物线的解析式是yx2x4；(2)存在如解图，设直线AC交抛物线对称轴于点M，连接MB.对称轴x是线段BC的垂直平分线，MBMC，MAMBMAMCAC，在抛物线对称轴上任取另外一点M，则MAMBMAMCAC(三角形两边之差小于第三边)，线段AC为差值最大值，根据A，C两点坐标得出，直线AC的解析式为yx4.当x时，y，则点M的坐标为(，)第5题解图微专题利用两点之间线段最短解决最值问题1. 3【解析】如解图，

19、连接DE，则PDPEDE，设DE交AC于点M，当点P与点M重合时PDPE取得最小值，且最小值为DE.在菱形ABCD中，AC6，BD6，AO3，OD3，ACBD，AD6，ADBDAB，BAD60，点E为AB的中点，DEAB，DEADsin603.第1题解图2. 【解析】如解图，设PAB底边AB上的高为h，SPABS矩形ABCD，ABhABAD，h2，即h为定值，在AD上截取AE2，作EFAB，交CB于点F，故点P在直线EF上运动 ，作点A关于直线EF的对称点A，连接AB，交直线EF于点P，此时PAPB最小，即为AB的长由对称得AA2AE4，AB，即PAPB的最小值为.第2题解图3. 解：(1)把

20、点A(3，5)代入y可得m3515，反比例函数的表达式为y，把点B(a，3)代入y，可得a5，B(5，3)把点A(3，5)，B(5，3)代入ykxb，可得，解得，一次函数的表达式为yx2；(2)一次函数的表达式为yx2，令y0，则x2，C(2，0)，如解图，作点C关于y轴的对称点C，则C(2，0)，即CC4，连接BC交y轴于点P，此时PCPB有最小值，最小值为BC，设直线BC的表达式为ykxb，解得，则BC的表达式为yx，P(0，)，即OP，此时SBPCSBCCSPCC434.第3题解图4. 解：当y0时，x22x30，解得x13，x21，点A坐标为(3，0)，点B坐标为(1，0)当x0时，y

21、3，点C坐标为(0，3)PBC的周长为PBPCBC，BC为定值，当PBPC最小时，PBC的周长最小点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，连接AC，交l于点P，点P即为所求的点APBP，PBPCBCACBC.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3，BC，PBC周长的最小值为3.5. 3【解析】如解图，延长BA交EF于P，当点P位于P处时|PAPB|的值最大，|PAPB|的最大值为AB3.第5题解图6. 【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P，此时BPEP取得最大值为BE，在等边ABC中，AD是中线，BDDC2，ADBDtan6022，E为AD的中点，DEAD.在RtBDE中，BE，B

22、PEP的最大值为.第6题解图7. 2【解析】如解图，以BD为对称轴作点N的对称点N，连接MN并延长交BD于点P，连接NP，根据轴对称性质可知PNPN，PMPNPMPNMN，当P，M，N三点共线时，PMPN取得最大值，最大值为MN的长，正方形的边长为8，ACAB8，O为AC中点，AOOC4，N为OA中点，ON2，ONCN2，AN6，BM6，CMABBM862，MCNBCA，CMNCBA，CMNCBA90，NCM45，NCM为等腰直角三角形，MNCM2，即PMPN的最大值为2.第7题解图8. 解：如解图，连接PA，则PAPB，当x0时，yx22x88，则C(0，8)，当y0时，x22x80，解得x

23、12，x24，则A(2，0)，B(4，0)，抛物线的对称轴为直线x1，|PBPC|PAPC|AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x1于点P，设直线AC的解析式为ymxn(m0)，把A(2，0)，C(0，8)代入得，解得，直线AC的解析式为y4x8，当x1时，y4812，即P(1，12)，当|PBPC|有最大值时，点P的坐标为(1，12)第8题解图9. 【解析】如解图，过点C作CMAB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQAC于点Q，AD是BAC的平分线PQPM，PCPQPCPMCM，根据垂线段最短可知，此时PCPQ有最小值，即为CM，AC6，BC8，ACB90，AB10，SAB

24、CABCMACBC，CM.第9题解图10. 3【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，四边形ABCD为菱形，点A与点C关于对角线BD对称，AMCM，CMMNAMMNAN，根据垂线段最短可知，此时CMMN有最小值，最小值为AN.AB6，A120，ADC60，AD6，ANADsin603，CMMN的最小值为3.第10题解图11. 90【解析】如解图，作D关于AC的对称点D，关于BC的对称点D，连接DD交AC于点E，交BC于点F，此时，DEF的周长最小，最小为DD，ABAC，BAC90，B45，DDAC，DDBC，BDD45，DDD135，DD45，EDED，DFDF，DD

25、DE，DDDF，DDFDDE45，FDE90.第11题解图12. 4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D，点D关于直线AB的对称点D，连接DD交AC于点E，交AB于点F，此时DEF的周长最小，最小值为DD的长，连接AD、AD，在RtABC中，C90，B60，BAC30，DABDAB，DACDAC，DAD2BAC60，ADAD，ADAD，ADAD，ADD是等边三角形，DDADAD4，DEF的周长的最小值为4.第12题解图13. 10【解析】如解图，过点P作PFb交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC4，连接QC交b于点B，过点B作BAa于点A，此时PAABBQ最短过点Q作QDPF于点D

26、.在RtPQD中，D90，PQ2，PD10，DQ8，CDPDPC6，ABPC4，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PABC，PABQCBBQQC10.第13题解图14. 【解析】如解图，作DMAC，使得DMEF1，连接BM交AC于点F，连接BD，DMAC，BDM90，DMEF，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，DEFM，DEBFFMFBBM，根据两点之间线段最短可知，此时DEFB最短，四边形ABCD是菱形，AB3，BAD60，ABD是等边三角形，BDAB3，在RtBDM中，BM，DEBF的最小值为.第14题解图15. 142【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B，作点

27、B关于AD的对称点B，连接CB，交AD于点F，在AD上截取EF2，连接BF，四边形EBBF为平行四边形，则BEBF，BFBF，此时四边形BEFC的周长为BEEFFCBCBFEFFCBCBCEFBC，当点C、F、B三点共线时，四边形BEFC的周长最小AB4，BB2，ABC60，BB经过点A.AB2.BB4.BC12，BC10.BC2.BCEFBC142.四边形BEFC周长的最小值为142.第15题解图16. 解：如解图，过点A作直线MN直线yx，将点A(3，1)沿MN向下平移个单位后得到A(2，0)，作点B(1，0)关于直线yx的对称点B(0，1)，连接AB交直线yx于点Q.AAPQ，AAPQ，四边形APQA是平行四边形，APAQ.APPQQBAQPQBQ，且PQ，当AQBQ值最小时，APPQQB值最小，根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQBQ值最小B(0，1)，A(2，0)，直线AB的解析式yx1，联立，解得，点Q的坐标为(，)第16题解图