2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究平移问题(含答案).docx

1、2024甘肃中考数学二轮专题训练 几何综合探究平移问题 典例精讲例4(一题多设问) 综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了这样一个问题：在矩形ABCD中，AB4，BC8，连接AC，过点A作AEAC，AEAC.活动探究一：将ABC沿BC方向平移，得到ABC，其中点A的对应点为A. (1)如图，连接AE，当点E，A，B共线时，求证：点B是BC的中点；【思维教练】由题意，易证四边形ABBA是矩形，通过证明EAACBA，得到AAAB即可得证 例4题图(2)如图，连接ED并延长，当点C在直线ED上时，求ABC平移的距离；【思维教练】过点E作EFAD，根据题意，易证EFACBA，可得EF和DF的长，

2、根据平行线的性质利用三角函数即可求解 例4题图(3)如图，当BB3AB时，连接BD，延长CD交AE于点F，求证：四边形ABDF是平行四边形；【思维教练】由题易知ABDF，只需证明ABDF，易知ABBC，已知BB3AB，可过点E作EGAD，通过证DFEG，进而求解 例4题图(4)如图，当点E，A，C在同一直线上时，延长CD交AE于点G.求证：点G在AC的垂直平分线上；猜想DG与AC的数量关系，并证明你的结论；【思维教练】要证点G在AC的垂直平分线上，可过点G作GHAC，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，得到GH和CH的数量关系，通过矩形的性质等量代换即可求解；由易知GHAC，根据勾股定

3、理求得AC的长，进而求得DG的长即可得出结论 例4题图活动探究二：将ABC沿BA方向平移，得到ABC. (5)如图，当点E在AC上时，求四边形ACCA的面积；【思维教练】由平移的性质，可知四边形ACCA是平行四边形，则只需求出AA的长即可，可通过证AAECAB，利用对应边成比例求解 例4题图(6)如图，设AC交AE于点F，当四边形ACCA是菱形时，直接写出EF的长；【思维教练】由(5)知四边形ACCA是平行四边形，故当AAAC时，四边形ACCA是菱形，此时AAFCAB，利用全等三角形性质可求出AF的长，进而求出EF的长 例4题图活动探究三：将ABC沿AE方向平移，得到ABC. (7)若要在平移

4、过程中得到一个正方形，请你在图中画出这个正方形，并计算此时CD的长【思维教练】要求CD的长，可延长CD交CB于点M，由平移的性质可知四边形ACCA的形状，故当点A与点E重合时，可满足题意，通过证CCMCEB，可求出CM的长，进而求出DM的长，利用勾股定理即可求解 例4题图针对训练1. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图)，其中ACBDFE90，BCEF3 cm，ACDF4 cm，并进行如下研究活动活动一：将图中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图)当点F与点C重合时停止平移【思考】图中的四边形ABDE

5、是平行四边形吗？请说明理由；【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图)求AF的长；活动二：在图中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转度(090)，连接OB，OE(如图)【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由第1题图2. 【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：将两块等腰直角三角板ABC和DEF按如图所示放置，此时直角边DF与斜边BC部分重叠，AB4.【动手操作】(1)保持三角板ABC不动，将三角板DEF沿三角板ABC的斜边BC向下平移，当三角板DEF的顶点D平移到BC的中点时，如图所示，则点D到AB的距离为_；【

6、继续探究】(2)在(1)的条件下，将三角板DEF绕点D顺时针旋转角度(090)，如图，设三角板DEF两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形DPAQ形状的变化，试求四边形DPAQ的面积S；【深入探究】(3)如图，连接PQ，当DPQ的面积等于四边形DPAQ面积的一半时，请你判断此时四边形DPAQ的形状，并求出BP的长第2题图3.综合与实践问题情境：现有两个完全相同的RtABC和RtDEF按如图所示的方式摆放，点F与点C重合，点E在AC上的点G处，其中BACEDF30，BCEF8，连接AD和BG，老师出示了这样一个问题：AD和BG有什么样的位置关系，请给出证明探究展示：勤奋小组认为ADBG

7、，并给出了如下的证明方法：证明：如图，延长DE交AB于点H，BACEDF，AEHDEF，又在RtDEF中，EDFDEF90， BACAEH90，AHE90，即DHAB，又ACBD，ADBG(依据)交流反思：(1)上述证明过程中的“依据 ”是指什么？(2)受勤奋小组的启发，勇敢小组将DEF沿CB方向平移到如图所示的位置时，设DE交AC于点G，连接AD和BG.发现AD依然垂直于BG，交流反思后认为AD与BG的比值是定值，请你帮助他们求出这个定值；探索发现：(3)如图，创新小组将DEF沿CB方向继续向左平移，DE交AC于点G，EF交AB于点P，连接PG，若四边形GCFP是矩形，请求出CF的长第3题图

8、4. 综合与实践问题情境在数学活动课上，老师让同学们准备两张全等的直角三角形纸片，RtABCRtDEF，ACDF6 cm，BCEF8 cm，ACBDFE90.实践操作(1)如图，把RtABC和RtDEF的直角边BC和EF部分重合，使点E，C，F，B在同一条直线上，连接AE和BD，得到四边形AEDB.请说明四边形AEDB的形状并证明；实践探究(2)如图，勤奋小组的同学在图的基础上，保持ABC不动，将DEF沿射线CB平移，得到四边形AEDB是矩形，请求出此时CE的长；探究引申(3)如图，奇异小组的同学把边BC与边EF重合连接AD，ABC固定不动，将DEF沿射线BC平移，当四边形ACFD是正方形时，

9、直接写出DEF平移的距离第4题图参考答案典例精讲例4(1)证明：ABAB，点E，A，B共线，EAAD，EBBC，B90，四边形ABBA是矩形，BBAA.EAAC，EAAAAC90，AAB90，AACBAC90，EAACAB，EACA，EAACBA90，EAACBA，AAAB.BC8，AB4，BC2AB，BC2BB，点B是BC的中点；(2)解：如解图，过点E作EFAD于点F，易证EFACBA，EFBC8，DFAFAB4，tanDEF，DCEF，CDCDEF，tanCDC，CDAB4，CC2.即平移距离为2；例4题解图(3)证明：如解图，连接AD，过点E作EGAD于点G，由平移性质可知，点A在AD

10、的延长线上，BB3AB，AA3AB，由题意知EG垂直平分AD，EGADBC，ADDGAG，DFEG，DF是AEG的中位线，DFEGADAB，ABAB，ABDF，ABDF，四边形ABDF是平行四边形；例4题解图(4)证明：ACAC，AEAC，当点E，A，C在一条直线上时，AEAE.如解图，过点G作GHAC于点H，则GEAEAHAHG90，四边形AEGH是矩形，GHAEAC，CGAB，GCHCAB，CGHACB，ABBC，GH2CHAC，AHCH，GH垂直平分AC，即点G在AC的垂直平分线上； 例4题解图解：DGAC，证明如下：由可知，GH2CH，CGCH，DGCGDCCHAB.在RtABC中，A

11、B4，BC8，AC4，CHAH2，DG6，即DGAC；(5)解：由平移性质可知，ACAC，ACAC，四边形ACCA是平行四边形，ACAB，AEAC，AEAC，AEAABC90，AAECAB，即，解得AA10，四边形ACCA的面积AABC10880；(6)48；【解法提示】四边形ACCA是菱形，AAAC，ACAB，AFAABC90，AAFCAB，AFBC8，EFAEAF48；(7)解：如解图，当点A与点E重合时，四边形ACCE是正方形设CB交CD的延长线于点M，则CMCB.四边形ACCE是正方形，CCCE，ECC90，ECBCCMCCMCCM90，ECBCCM，CBECMC，CEBCCM，CME

12、B4，CMCB8，MDCMCD4，在RtCDM中，由勾股定理得CD4.例4题解图针对训练1. 解：【思考】四边形ABDE是平行四边形证明：ABCDEF，ABDE，BACEDF，ABDE，四边形ABDE是平行四边形；【发现】如解图，连接BE交AD于点O，四边形ABDE为矩形，OAODOBOE，设AFx cm，则OAOE(x4)，OFOAAF2x，在RtOFE中，OF2EF2OE2，(2x)232(x4)2，解得x，AF cm.第1题解图【探究】BD2OF，证明：如解图，延长OF交AE于点H，由矩形的性质及旋转的性质知：OAOBOEOD，OABOBAODEOED，OBDODB，OAEOEA，BDE

13、DEAABDEAB，ABDBDEDEAEAB360，ABDBAE180，AEBD，OHEODB，EF平分OEH，OEFHEF，EFOEFH90，EFEF，EFOEFH(ASA)，EOEH，FOFH，EHOEOHOBDODB，EOHOBD(AAS)，BDOH2OF.第1题解图2. 解：(1)2；【解法提示】如解图，过点D作DHAB交AB于点H，则DHCA，D是BC的中点，DH是ABC的中位线，DHAC42.第2题解图(2)如解图，连接AD，ACAB4，CAB90，SABCABAC448，由(1)知，点D是BC的中点，SABDSABC4，ADBD，CADBADB45，ADBC，BDPPDA90，又

14、ADQPDA90，ADQBDP，ADQBDP(ASA)，S四边形DPAQSABD4；第2题解图【一题多解】如解图，过点D作DMAC于点M，DHAB于点H，ABAC4，A90，SABCABAC448，又点D是BC的中点，易知MDAB，MDAB，AMAC，MDAM，四边形AMDH是正方形，易求S正方形AMDHSABC4，DMDH，MDQQDH90，又HDPQDH90，MDQHDP，MDHD，QMDPHD90，MDQHDP(ASA)，S四边形DPAQS正方形AMDH4；第2题解图(3)四边形DPAQ是正方形，如解图，由(2)知ADQBDP，AQBP，设AQBPx，则AP4x，SDPQS四边形DPAQ

15、SAPQ4AQAP4x(4x)，SDPQS四边形DPAQ，4x(4x)4，解得x2.AQBPAP2，点P是AB的中点，点D是BC的中点，PDAQ，DPA90，PAQPDQ90，四边形DPAQ是矩形，AQAP，四边形DPAQ是正方形，BP的长为2.3. 解：(1)三角形的三条高线交于一点；(2)如解图，延长BG交AD于点M，ADBG，ACBD，AMGBCG90，又BGCAGM，CADCBG，又ACDBCG90，ACDBCG，在RtCDG中，CDG30，；第3题解图(3)四边形GCFP是矩形，PGBD，PGFC，设CFx，则PGx，在RtABC和RtDEF中，BCEF8，BACEDF30，DEAB

16、16，DFAC8，CDDFCF8x，GCD90，D30，CGCDtan308x，AGACCG88x，PGBD，BAPG，AA，APGABC，即，解得x124，即CF124.【一题多解】四边形GCFP是矩形，PGBD，PGFC，设CFx，则BF8x，BPF30，PFBF(8x)，PE8(8x)，易证BPFEGP，即，解得x124.即CF124.4. 解：(1)四边形AEDB是平行四边形证明：RtABCRtDEF，ABDE，ABCDEF.ABDE.四边形AEDB是平行四边形；(2)四边形AEDB是矩形，EAB90.即AEB是直角三角形；AC6，BC8，ACB90，在RtABC中，AB10.在RtEAB中，AE2EB2AB2(CE8)2102.在RtEAC中，AE2CE2AC2CE262.(CE8)2102CE262.解得CE4.5，CE的长为4.5 cm；(3)2 cm或14 cm.【解法提示】由题意可知四边形ACFD是矩形，当四边形ACFD为正方形时，即ACCF6，当FD在AC的右侧时，BC8，平移距离为862 cm；当FD在AC的左侧时，平移距离为8614 cm.