2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十二 几何综合题 （含答案）.docx

1、2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十二 几何综合题 类型一结合数学文化的几何探究典例精讲例(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；【思维教练】利用等面积法即可证明勾股定理例题图(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FGHP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形若AC12，BC5，求EF的值；【思维教练】由题意可以得到EFF

2、DBC，结合EFFDAC分情况讨论即可得到EF的值例题图(3)拓展探究如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d.已知123，当角 (0AD)，四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由(参考计算：)类型二结合图形变化的几何探究典例精讲例(一题多设问) 综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了这样一个问题：已知，四边形ABCD是矩形活动探究一：若M是AD的中点，E是AD边上任意一点，将AB

3、E沿BE折叠，点A落到点F处，连接BF并延长，交CD所在直线于点G.(1) 如图，当BF所在直线经过点M时，试判断线段DG与CG的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断DG与CG的数量关系，可利用折叠的性质，结合矩形的性质，证三角形全等即可求解例题图(2) 如图，连接AC，当点E与点M重合，且点A的对应点F恰好落在矩形ABCD的对角线AC上时，判断DG与CG的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断DG与CG的数量关系，可利用折叠的性质，结合矩形的性质，证三角形全等，再结合等腰三角形进行线段间的等量代换即可求解例题图活动探究二：若ABBC，点E在射线CB上(不与点B，C重合)，连接DE，以D

4、E为边向上作正方形DEFG，连接BF，BD.(3) 如图，当点E在BC边上时，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断BD、BE与BF之间的数量关系，可利用正方形的性质构造一线三垂直的全等模型，通过全等三角形的性质得到相等的线段，进行线段间的转换即可求解例题图(4)如图，当点E在CB边的延长线上时，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系，并说明理由；【思维教练】要判断BD、BE与BF之间的数量关系，可利用正方形的性质构造一线三垂直的全等模型，通过全等三角形的性质得到相等的线段，进行线段间的转换即可求解例题图活动探究三：如图，E为AB的中点，F为BC的中

5、点，以BE为边在矩形ABCD的内部作矩形BEGF，将矩形BEGF以点B为旋转中心逆时针旋转，得到矩形BEGF，连接AE，CF.(5)如图，若ABBC，判断线段AE与CF的数量关系与位置关系，并说明理由；【思维教练】要判断AE与CF的数量关系，则可利用旋转的性质，证三角形全等即可求解；要判断AE与CF的位置关系，根据全等的角度关系即可求解 图 图例题图(6)如图，若BC2AB，判断线段AE与CF的数量关系与位置关系，并说明理由【思维教练】要判断AE与CF的数量关系，可利用旋转的性质和边的关系证明相似即可求解；要判断AE与CF的位置关系则可延长CF与AE相交，求得两直线的夹角即可求解例题图针对演练

6、1. 如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点(1)问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_，位置关系是_；图(2)问题探究：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB.判断PQB的形状，并证明你的结论；图(3)拓展延伸：如图，AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q分别为CE，BO中点，连接PQ，PB.若正方形ABCD的边长为1，求PQB的面积 图第1题图2. 【问题背景】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别

7、是边AD、BC上的点，连接BE、DF、EF，将矩形ABCD沿BE、DF折叠，点A的对应点为M，点C的对应点为N.【数学思考】(1)如图，当点M在BC边上，且与点F重合时，设DN与EM交于点G，试判断NG与EG的数量关系，并说明理由；图(2)如图，当点M、N位于对角线BD上时，若ADB30，试判断AD与EF的数量关系，并说明理由；图【探究发现】(3)如图，当点N落在对角线BD上时，若AB2，AD6，直接写出BEEF的最小值图第2题图拓展类型结合新定义的几何探究1我们约定：在一个平面图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”(1)如

8、图，在ABC中，ACBC，过点C能否画出ABC的一条“等分积周线”？若能，说出你的画法；若不能，说明理由；(2)如图，在四边形ABCD中，BC90，EF垂直平分AD，垂足为点F，交BC于点E，AB3，BC8，CD5，判断直线EF是否为四边形ABCD的“等分积周线”，并说明理由；(3)如图，在ABC中，ABBC6，AC8，请按要求作出ABC的一条“等分积周线”EF，叙述你的画法，并对你的画法进行证明要求：直线EF不过ABC的顶点，交AC边于点F，交BC边于点E，用黑色签字笔画图第1题图2根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相

9、似比(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)四条边成比例的两个凸四边形相似；(_命题)三个角分别相等的两个凸四边形相似；(_命题)两个大小不同的正方形相似(_命题)(2)如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，.求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；(3)如图，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F，记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值第2题图参考

10、答案类型一结合数学文化的几何探究典例精讲例 解：(1)a2b2c2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)；(2分)推理过程如下：四边形ABCD是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(ba)的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，4ab(ba)2c2，整理得a2b2c2；(4分)(2)如解图，由题意得，正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EFa，FDb，分两种情况：当ab时，ab12，正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等四边形和正方形CBLM拼成，EFEF，KFFD，EKBC5.EFKFEK，ab5，联立得解得EF；当ab时，同理可得解得EF；综上

11、所述，EF的值为或；(8分)例题解图(3)bcn，理由如下：如解图，设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，123，PMQDOEBCA90，PMQDOEBCA，即，e2cn，f2bn，在RtABC中，由勾股定理得e2f2n2，cnbnn2，cbn，即bcn.(12分)例题解图针对演练1(1)证明：CDAB，BDCACB90，CBDABC，RtCBDRtABC，BC2BDAB；(2)证明：四边形ABCD为正方形，OCBO，BCD90，BC2BOBD，CFBE，BC2BFBE，BOBDBFBE，即，又OBFEBD，BOFBED；解：在RtBCE中，BC6，BE2，CE2，DECDCE4，在RtO

12、BC中，OBBC3，BOFBED，即，OF.2. (1)解：24.7；【解法提示】宽约为40400.61824.7 cm.(2)证明：如解图，连接EG，设CGCGx，则DG2x.第2题解图AB2，AEED1，BE，EC2，在RtEGD和RtEGC中，由勾股定理得ED2DG2EG2CG2CE2，即12(2x)2x2(2)2，解得x1，题图中的矩形HBCG是黄金矩形；(3)解：正确理由：设ABa，则ADBCa，四边形DCEF是正方形，DCDFEFCEa，AFBEaaa，矩形ABEF是黄金矩形类型二结合图形变化的几何探究典例精讲例解：(1)DGCG.理由如下：四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD

13、，AGDM.点M是AD的中点，AMDM.又AMBDMG，AMBDMG(ASA)ABDG，ABCD，DGCD，DGCG；(2)DGCG.理由如下：如解图，连接EG，四边形ABCD是矩形，ABCD，ABCD，BAEBCDD90.BAFGCF.由折叠的性质可知ABEFBE，AEFE，ABFB，BAEBFE90.BAFAFB.BFEGFE180，EFG90，又AFBCFG，GCFCFG，FGCG.EFG90，EFGD90.点E是AD的中点，AEDE.DEEF.又EGEG，RtEFGRtEDG(HL)，FGDG，DGCG；例题解图(3)BDBEBF.理由如下：如解图，过点F作FHCB，交CB的延长线于点

14、H，例题解图四边形ABCD是正方形，CDAB，C90.DEFC90，DECFEH90，DECEDC90，FEHEDC，在EFH和DEC中，EFHDEC(AAS)，ECFH，CDBCHE，BHECFH，BFFH，BDBC(BEEC)BEECBEFHBEBF；(4)BEBFBD.理由如下：如解图，过点F作FHCB，交CB的延长线于点H，例题解图四边形ABCD是正方形，CDAB，DCB90，DEFDCB90，DECFEH90，DECEDC90，FEHEDC，在EFH和DEC中，EFHDEC(AAS)，ECFH，CDBCEH，HBECHF，DCB和BHF都是等腰直角三角形，BDBCHE，BFBHFH.

15、BEECBC，BEECBC，BEFHBD，BEBFBD；(5)AECF，AECF.理由如下：E为AB的中点，F为BC的中点，AB2BE，BC2BF.ABBC，BEBF.如解图，延长CF交AE于点H，交AB于点K，由旋转的性质得，BEBE，BFBF，ABECBF，易得ABECBF，AECF，BAEBCF.AKHBKC，AHKABC90，即AECF；例题解图(6)AECF，AECF.理由如下：如解图，延长CF交AE于点H，交AB于点K，E为AB的中点，F为BC的中点，AB2BE，BC2BF.BC2AB，BF2BE.由旋转的性质得，BEBE，BFBF，ABECBF，ABECBF，BAEBCF，AEC

16、F.AKHBKC，AHKABC90，即AECF.例题解图针对演练1. 解：(1)PQBO；PQBO；(4分)【解法提示】四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，OBAC，OBOAOC.P、Q分别是BC、BO的中点，PQOC，PQOC，PQBO，PQBO.(2)PQB是等腰直角三角形，证明：如解图，连接OP并延长交BC于点F，由正方形的性质及旋转可得ABBC，ABC90，AOE是等腰直角三角形，OEBC，OEOA，OEPFCP，POEPFC.又点P是CE的中点，CPEP.OPEFPC(AAS)，OEFCOA，OPFP，ABOACBFC，BOBF，OBF为等腰直角三角形，BPOF，OPBP，BPO

17、也为等腰直角三角形又点Q为OB的中点，PQOB，且PQBQ，PQB是等腰直角三角形；(8分)第1题解图(3)如解图，延长OE交BC于点G，连接PG，OP.四边形ABCD是正方形，ECG45.由旋转得，四边形OABG是矩形，OGABBC，EGC90，EGC为等腰直角三角形点P是CE的中点，PCPGPE，CPG90，EGPPCG45，OGPBCP(SAS)，OPGBPC，OPBP，OPG GPBBPCGPB90，OPB90，OPB为等腰直角三角形Q是OB的中点，PQOBBQ，PQOB.AB1，OAAB，OB，PQBQ，SPQBBQPQ.(12分)第1题解图2. 解：(1)NGEG，理由如下：由折叠

18、的性质得，EFC90，易得四边形EFCD是矩形，NMMCED，在NMG和EDG中，NMGEDG(AAS)，NGEG；(2)ADEF，理由如下：四边形ABCD是矩形，ABDCDB，AC，ABCD，由折叠的性质得，ABEABDCDBCDF，在ABE和CDF中，ABECDF(ASA)，AECF，DEBF.ADB30，ABD60，CBD30，ABEMBE30，在RtABE中，BE2AE.ADBEBD，BEDE，BEBF.EBFEBDCBD60，EBF是等边三角形，即EFBE，ADAEDEBEBEBEEF；(3)BEEF的最小值为8.【解法提示】如解图，作点B关于AD的对称点B，连接BF与AD交于点E，

19、连接BE.BEEFBEEFBF，当点E与点E重合时，即B、E、F三点共线时，BEEF取得最小值，最小值为BF的长AB2，AD6，四边形ABCD为矩形，ABCD，ADBC，tanDBC，DBC30，BDC60，由折叠的性质得FDCFDN30，在RtFDC中，tanFDC，FC2，BFBCFC4，BB2AB4，在RtFBB中，由勾股定理得FB8，即BEEF的最小值为8.第2题解图拓展类型结合新定义的几何探究1解：(1)不能，理由如下：如解图，若直线CD平分ABC的面积，那么SADCSDBC，第1题解图ADBD，ACBC，ADACBDBC，过点C不能画出ABC的一条“等分积周线”；(2)直线EF为四

20、边形ABCD的“等分积周线”，理由如下：如解图，连接AE、DE，设BEx，则CE8x，第1题解图EF垂直平分AD，AEDE，AFDF，SAEFSDEF.BC90，AB3，BC8，CD5，在RtABE和RtDCE中，根据勾股定理得，AB2BE2CE2DC2，即32x2(8x)252，解得x5，BE5，CE3，ABBECEDC，SABESDCE.AFABBEDFECDC，S四边形ABEFSABESAEF，S四边形DCEFSDEFSDCE，S四边形ABEFS四边形DCEF，直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；(3)如解图，在AC上取一点F，使得FCAB6，在BC上取一点E，使得BE2，作直线E

21、F，则EF是ABC的“等分积周线”，第1题解图证明：由作图可得，AFACFC862，在CB上取一点G，使得CGAF2，连接BF，FG，则ABAFCFCG，ABBC，AC，在ABF和CFG中，ABFCFG(SAS)，SABFSCFG.BE2，EG6222，BEEG，SBFESEFG，AFABBECECF10，SEFCS四边形ABEF，EF是ABC的“等分积周线”2(1)解：假；【解法提示】四个角不一定相等，例：边长成比例的正方形和菱形假；【解法提示】四条边不一定成比例，例：正方形与长方形真；(2)证明：如解图，分别连接BD，B1D1，BCDB1C1D1，且，BCDB1C1D1.CDBC1D1B1，CBDC1B1D1，.ABCA1B1C1，CBDC1B1D1，ABDA1B1D1.ABDA1B1D1.，AA1，ADBA1D1B1，ADCA1D1C1，AA1，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似；图图第2题解图(3)解：四边形ABFE与四边形EFCD相似，.EFOEOF，.EFABCD，.ADDEAE，.2AEDEAE，即AEDE.1.