2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【含解析】.docx

1、2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【原卷版】A级 基础达标1. 已知向量a=2,6 ，b=1,x ，若a 与b 反向，则a3a+b= ( )A. 30 B. 30 C. 100 D. 100 2. 已知向量a ，b 满足a=5,25 ，ab=6 ，ab=7 ，则b= ( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AEBD= ( )A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 4. 已知单位向量a ，b 满足ab=0 ，若向量c=7a+2b ，则sina,c ( )A. 73 B. 23 C. 79 D. 29

2、5. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为( )A. 14BC B. 34BC C. 14BC D. 34BC 6. 湖南临澧高三模拟（多选）已知向量a=1,3 ，b=2,4 ，则下列结论正确的是( )A. a+ba B. 2a+b=10 C. 向量a 与向量b 的夹角为34 D. b 在a 上的投影向量的坐标是1,3 7. 广东东莞模拟（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，若F1=F2 且F1 与F2 的夹角为 ，则以下结论正确的是(

3、)A. F1 的最小值为12G B. 的范围为0, C. 当=2 时，F1=22G D. 当=23 时，F1=G 8. 山东招远模拟（多选）在RtABC 中，A=90 ，AB=2 ，AC=4 ，点P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB+PCAP 的值可能为( )A. 258 B. 8 C. 52 D. 2 9. 上海高三开学考试已知点A2,3 ，B1,1 ，则AB 的单位向量为 .（用坐标表示）10. 高考全国卷甲设向量a ，b 的夹角的余弦值为13 ，且a=1 ，b=3 ，则2a+bb= .11. 已知向量b=1,3 ，向量a 满足acosa,b=6 ，则ab= ；若a+bb ,则实

4、数 的值为 .12. 在ABC 中，点O 为其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，则OA= .B级 综合运用13. 若O 在ABC 所在的平面内，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足以下条件aOA+bOB+cOC=0 ，则O 是ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心14. 北京西城区模拟已知ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为 ，若BD=1 ,CE=EA ，则ADBE 的最小值为 .15. 湖南高三模拟已知平面向量a ,b ，c 均为单位向量,且ab=1 ，则abbc 的最大值为 .16. 已知平面上两个不共线的向量a

5、,b ，其中a=1,2 ,b=2 .（1） 若a+2b2ab ，求向量a 与向量b 夹角的余弦值；（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，求向量b 的坐标.C级 素养提升17. 山西忻州模拟圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且AB=4 ,C ,D 是圆O 上的任意两点，CD=2 ，点P 在线段CD 上，则PAPB 的取值范围是( )A. 3,2 B. 1,0 C. 3,4 D. 1,2 18. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n

6、=cosB,cosA ,mn=sin2C .（1） 求角C 的大小；（2） 若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CAABAC=18 ，求c .2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用-专项训练【解析版】A级 基础达标1. 已知向量a=2,6 ，b=1,x ，若a 与b 反向，则a3a+b= ( D )A. 30 B. 30 C. 100 D. 100 解析选D.由已知得a 与b 共线，则2x=16 ,解得x=3 ,所以b=1,3 ，所以3a+b=32,6+1,3=5,15 ,因此a3a+b=2,65,15=100 .故选D.2. 已知向量a ，b 满足a=5,2

7、5 ，ab=6 ，ab=7 ，则b= ( B )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析选B.由题知，a=5+20=5 .又ab=6 ，ab=7 ，所以ab2=a22ab+b2=49 ，即2526+b2=49 ，所以b=6 .故选B.3. 已知正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AEBD= ( A )A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 解析选A.因为正方形ABCD 的边长为3，DE=2EC ，则AEBD=AD+DEADAB=AD+23ABADAB=AD213ADAB23AB2=322332=3 .故选A.4. 已知单位向量a ，b 满足ab=0 ，若向量c=7a+2b ，则s

8、ina,c ( B )A. 73 B. 23 C. 79 D. 29 解析选B.因为a=b=1 ，且ab=0 ，c=7a+2b ，所以c=7a+2b2=7a2+214ab+2b2=3 ，ac=a7a+2b=7a2+2ab=7 ，所以cosa,c=acac=73 .因为a,c0, ，所以sina,c=1732=23 .故选B.5. 已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO=AB+AC ，OA=AB ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为( A )A. 14BC B. 34BC C. 14BC D. 34BC 解析选A.由2AO=AB+AC 知，O 为BC 的中点，根据题意作图.因为O 为ABC

9、 的外接圆圆心，所以OA=OB=OC .因为OA=AB ，所以AB=OB=OA=OC ，所以AOB 为正三角形，ABO=60 ,所以BA 在BC 上的投影向量为12BO=14BC .故选A.6. 湖南临澧高三模拟（多选）已知向量a=1,3 ，b=2,4 ，则下列结论正确的是( AC )A. a+ba B. 2a+b=10 C. 向量a 与向量b 的夹角为34 D. b 在a 上的投影向量的坐标是1,3 解析选AC.对于A，a+b=3,1 ，则a+ba=33=0 ，故a+ba ，A对；对于B，2a+b=4,2 ，故2a+b=42+22=25 ，B错；对于C，设向量a 与b 的夹角为 ，则cos=

10、abab=101025=22 ，因为0 ，故=34 ，C对；对于D，b 在a 上的投影向量为bcos34aa=a=1,3 ，D错.故选AC .7. 广东东莞模拟（多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，若F1=F2 且F1 与F2 的夹角为 ，则以下结论正确的是( ACD )A. F1 的最小值为12G B. 的范围为0, C. 当=2 时，F1=22G D. 当=23 时，F1=G 解析选ACD.由题意知，F1+F2+G=0 ，可得F1+F2=G ，两边同时平方得G2=F12+F22+2F1F2cos=2F12

11、+2F12cos ,所以F12=G221+cos .当=0 时，F1min=12G ；当=2 时，F1=22G ；当=23 时，F1=G ；当= 时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立，所以0,) ，故A，C ，D 正确.8. 山东招远模拟（多选）在RtABC 中，A=90 ，AB=2 ，AC=4 ，点P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB+PCAP 的值可能为( CD )A. 258 B. 8 C. 52 D. 2 解析选CD.以A 为坐标原点，以AB ，AC 的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则B2,0 ，C0,4 ，D1,2 ,设Px,2x ，x0,1

12、 ，所以PB=2x,2x ，PC=x,42x ，AP=x,2x ,则PB+PC=22x,44x ， 所以PB+PCAP=10x2+10x =10x122+52 ，所以当x=12 时，数量积取得最大值52 ，当x=1 或x=0 时，数量积取得最小值0 .即PB+PCAP0,52 .故选CD.9. 上海高三开学考试已知点A2,3 ，B1,1 ，则AB 的单位向量为35,45 .（用坐标表示）解析由题知，AB=3,4 ，AB=32+42=5 ,则AB 的单位向量为ABAB=153,4=35,45 .10. 高考全国卷甲设向量a ，b 的夹角的余弦值为13 ，且a=1 ，b=3 ，则2a+bb= 11

13、.解析设a 与b 的夹角为 ，则cos=13 .又a=1 ，b=3 ，所以ab=abcos=1 ，所以2a+bb=2ab+b2=2ab+b2=21+32=11 .11. 已知向量b=1,3 ，向量a 满足acosa,b=6 ，则ab= 12 ；若a+bb ,则实数 的值为13 .解析设a ,b 的夹角为 ，因为b=1,3 ，所以b=1+3=2 .因为acos=6 ，所以ab=abcos=12 .因为a+bb ，所以a+bb=0 ，所以ab+b2=0 ,所以12+4=0 ，解得=13 .12. 在ABC 中，点O 为其外心，2OA+2OB+OC=0 ，若BC=2 ，则OA= 2147 .解析设A

14、BC 外接圆的半径是R ，由2OA+2OB+OC=0 得2OA=2OBOC ，则有2OA2=4OB2+OC2+4OBOC ，即2R2=4R2+R2+4R2cosBOC ，化简得cosBOC=34 .设BOC=2 ，则在等腰三角形BOC 中，sin=144 .所以OA=BC2sin=2147 .B级 综合运用13. 若O 在ABC 所在的平面内，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足以下条件aOA+bOB+cOC=0 ，则O 是ABC 的( C )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解析选C.因为OB=OA+AB ,OC=OA+AC 且aOA+bOB+cOC=0 ，所以a+b

15、+cOA+bAB+cAC=0 ，化简得AO=bca+b+cABAB+ACAC ，设AP=ABAB+ACAC ，又ABAB 与ACAC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，所以AP 平分BAC .又AO ，AP 共线，故AO 平分BAC ，同理可得BO 平分ABC ，CO 平分ACB ，故O 是ABC 的内心.故选C.14. 北京西城区模拟已知ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120 ，若BD=1 ,CE=EA ，则ADBE 的最小值为33 .解析由题意知，如图，B=60 ，所以AB,BC=120 .因为BD=1 ，所以点D 在以点B 为圆心，1为半径的圆上.因为C

16、E=EA ，所以点E 为AC 的中点，则BE=12BA+12BC .又AD=AB+BD ，所以ADBE=AB+BD12BA+12BC =12AB2+12ABBC+12BDBA+12BDBC =124+1222cos120+12BDBA+BC =3+BDBE=3+BDBEcosBD ,BE =3+3cosBD,BE .又BD,BE0,180 ，所以cosBD,BEmin=1 ，所以ADBEmin=33 .15. 湖南高三模拟已知平面向量a ,b ，c 均为单位向量,且ab=1 ，则abbc 的最大值为12 .解析由题得ab2=a22ab+b2=22ab=1 ，解得ab=12 ，所以abbc=ab

17、babc=abb2abccosab,c =121cosab,c=12cosab,c .因为cosab,c1,1 ,所以abbc32,12 ，所以abbc 的最大值为12 .16. 已知平面上两个不共线的向量a ,b ，其中a=1,2 ,b=2 .（1） 若a+2b2ab ，求向量a 与向量b 夹角的余弦值；答案解：因为a=1,2 ，所以a=12+22=5 .因为a+2b2ab ,所以a+2b2ab=0 ,即2a2+3ab2b2=252+3ab222=2+3ab=0 ,所以ab=23 ,则cosa,b=abab=2352=515 .（2） 若向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，求向量b 的

18、坐标.答案由题意得acosa,b=1 ，则cosa,b=55 .设b=x,y ,则ab=x+2y=abcosa,b=2,b=x2+y2=2, 解得x=65,y=85 或x=2,y=0, 所以b=65,85 或b=2,0 .C级 素养提升17. 山西忻州模拟圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且AB=4 ,C ,D 是圆O 上的任意两点，CD=2 ，点P 在线段CD 上，则PAPB 的取值范围是( B )A. 3,2 B. 1,0 C. 3,4 D. 1,2 解析选B.如图，O 为圆心，连接OP ，则PAP

19、B=PO+OAPO+OB=PO2+POOB+POOA+OAOB=PO2+POOB+OAOA2=PO2OA2=PO24 .因为点P 在线段CD 上，且CD=2 ，则圆心到CD 所在直线的距离d=2212=3 ，所以3PO2 ，所以3PO24 ，则1PO240 ，即PAPB 的取值范围是1,0 .故选B.18. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m=sinA,sinB ,n=cosB,cosA ,mn=sin2C .（1） 求角C 的大小；答案解：mn=sinAcosB+sinBcosA=sinA+B ,在ABC 中，A+B=C ，0C ,所以sinA+B=sinC ,所以mn=sinC .又mn=sin2C ,所以sin2C=sinC ,得cosC=12 .又因为C0, ，故C=3 .（2） 若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CAABAC=18 ，求c .答案由sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，可得2sinC=sinA+sinB ,由正弦定理得2c=a+b .因为CAABAC=18 ，所以CACB=18 ，即abcosC=18 ,所以ab=36 .由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=a+b23ab ,所以c2=4c2336 ,c2=36 ,所以c=6 .