1、2025年高考数学一轮复习-洛必达法则-专项训练一、基本技能练1已知函数f(x)ex1xax2，当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围2已知函数f(x)x(ex1)ax2.当x0时，f(x)0，求实数a的取值范围3已知函数f(x)(x1)ln(x1)若对任意x0都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围二、创新拓展练4已知函数f(x)x2ln xa(x21)，aR.若当x1时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围参考答案与解析一、基本技能练1解当x0时，f(x)0，对任意实数a都有f(x)0；当x0时，由f(x)0得，a，设g(x)(x0)，则g(x)，令h(x)xex2exx2(x0)
2、，则h(x)xexex1，记(x)h(x)，则(x)xex0，h(x)在(0，)上为增函数，且当x0时，h(x)0，h(x)0，h(x)在(0，)上为增函数，且当x0时，h(x)0，h(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数由洛必达法则知，故g(x)，故a.综上，实数a的取值范围是.2解当x0时，f(x)0，即x(ex1)ax20.当x0时，aR；当x0时，x(ex1)ax20等价于ex1ax，也即a.记g(x)，x(0，)，则g(x).记h(x)(x1)ex1，x(0，)，则h(x)xex0，因此h(x)在(0，)上单调递增，且h(x)h(0)0，所以g(x)0，从而g(x)在(0
3、，)上单调递增由洛必达法则有 g(x)1，即当x0时，g(x)1，所以g(x)1，即有a1.综上所述，实数a的取值范围是(，13解法一令(x)f(x)ax(x1)ln(x1)ax(x0)，则(x)ln(x1)1a，x0，ln(x1)0.(1)当1a0，即a1时，(x)0，(x)在(0，)上单调递增，又(0)0，(x)0恒成立，故a1满足题意(2)当1a1时，令(x)0，得xea11，x(0，ea11)时，(x)0，(x)在(0，ea11)上单调递减，在(ea11，)上单调递增，(x)min(ea11)0恒成立矛盾，故a1不满足题意综上，实数a的取值范围是(，1法二x(0，)时，(x1)ln(x
4、1)ax恒成立，即a0)，g(x).令k(x)xln(x1)(x0)，k(x)10，k(x)在(0，)上单调递增，k(x)k(0)0，当x0时，xln(x1)0恒成立，g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增，由洛必达法则知g(x)ln(x1)11，g(x)1，a1，故实数a的取值范围是(，1二、创新拓展练4解法一由f(x)x2ln xa(x21)0，当x1时，不等式成立，当x1时，a，令g(x)(x1)，则g(x)，因为x1，则(x212ln x)2x0，故h(x)x212ln x在(1，)上单调递增，则h(x)h(1)0，故g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递增，由洛必达法则知.所以由a恒成立，得a.综上，实数a的取值范围是.法二f(x)2xln xx2axx(2ln x12a)，因为x1，所以2ln x11，则当a时，f(x)x(2ln x12a)0，此时f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0，此时f(x)0恒成立，所以a；当a时，由f(x)x(2ln x12a)0，得xx0，且2ln x012a0，x0e，则x1，e)时，f(x)0，则f(x)单调递增，所以f(x)minf(e)不满足题意综上，实数a的取值范围是.
