第23-26届“希望杯”全国数学邀请赛高一试卷.pdf

1、第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.计算1l o g21 0 0+1l o g51 0 0的值是()(A)1.(B)12.(C)-12.(D)-2.2.下列函数中,既是偶函数,又是(0,+)上的增函数的是()(A)y=|x-1|.(B)y=-x2+1.(C)y=2-|x|.(D)y=l o g2|x|.3.如图1所示的几何体的俯视图是()4.把数列2,4,6,2n依次按一项、二项、三项、四项地循环排列:(2),(4,6),(8,1 0,1 2),(1 4,1 6,1 8,2 0);(2 2),(2 4,2 6),(2 8,3 0,3 2),

2、(3 4,3 6,3 8,4 0);,则第1 0 4个括号内的所有数之和为()(A)2 0 3 6.(B)2 0 5 2.(C)2 0 6 8.(D)2 0 8 4.5.方程x2-y2+x+y=1 2的整数解有()(A)4对.(B)6对.(C)8对.(D)1 2对.6.I nr e c t a n g u l a rc o o r d i n a t es y s t e mxO y,l i n ey=-43x+4i n t e r s e c t sw i t hx-a x i sa n dy-a x i sa tp o i n tAa n dB,r e s p e c t i v e l

3、y.R o t a t e AO Bo np o i n tB9 0d e g r e e sc l o c k w i s et oA O B.T h e nt h ec o o r d i n a t eo f t h ep o i n tA i s()(A)(-3,1).(B)(-2,5).(C)(-4,1).(D)(-4,3).(英汉小词典:r o t a t e旋转;c l o c k w i s e顺时针方向地)7.函数f(x)=(x2-2 0 1 4x-2 0 1 5)l n(x-2 0 1 3)的零点的个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.8.当x(2,3)时,若不

4、等式l o ga(x-1)-(x-2)20恒成立,则实数a的取值范围是()(A)(0,12.(B)12,1).(C)(1,2.(D)2,+).9.已知函数f(x)=x2+2x-3,x2-2x-3,x0,x0,若|x1|0.(B)f(x1)+f(x2)0.(D)f(x1)-f(x2)0.1 0.已知正整数x,y,z满足x y+y z=1 9,x2+1 0y2+z2-6x y+2y z=1 6 9,则x y z的值是()(A)4 8.(B)6 0.(C)8 8.(D)6 0或8 8.二、A组填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.计算:0.0 0 0 3 20.8=.1 2.若函数f(x)=l

5、o g2|a x-1|的图象关于直线x=2对称,则a=.1 3.11!+22!+33!+kk!(k4)的末位数字是.1 4.在A B C中,A B=8,A C=1 0,B C=1 2,若B D是A C边上的中线,则B D=.1 5.已知集合A=x|x2-2 0 1 4x+2 0 1 30,B=x|l o g2x3时,函数y=l o g12(x+1x-3-1)的最大值是,此时x=.2 2.在等比数列an中,公比q=2,前9 9项的和是5 6,则a1=,a3+a6+a9+a9 9=.图32 3.如图3,在四边形A B C D中,A B=1,B C=3+1,AD=6,A B C=1 2 0,DA B

6、=7 5,则B A C=,C D=.2 4.设 函 数f1(x)=2-x,f2(x)=-x2+6x-4,f(x)=f1(x),f2(x),f1(x)f2(x),f2(x)f1(x).则f(2 0 1 5)=;若函数f(x)在0,a上的最大值为f(a),则a的取值范围是.2 5.设函数f(x)=|2x-m|+4x.(1)当m=2时,满足f(x)1的x的取值范围是;(2)若f(x)2的解集为x|x-2,则m=.高一第 1 试答案题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010答案BDBCCCCCDD题号11111212131314141515答案0.00161297911题号16

7、161717181819192020答案484962，3 或 41343题号212122222323答案-2；49956;322145;3题号24242525答案2013;33,31,2；-14 或 6第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.以下每个题目的选择支中,仅有一个是正确的.)1.定义运算:ab=ab(ab)(a0恒成立,那么大于a的最小整数是()(A)2.(B)1.(C)0.(D)-5.6.已知函数f(x)=1-2x,g(x)=x2-4x+3,若存在a,b使得f(a)=g(b),则b的取值范围是()(A)2-2,2+2.(B)(2-2,2+

8、2).(C)1,3.(D)(1,3).7.已知函数f(x)=x2+a x+1 4x+2(aR),若对任意的xN,f(x)3恒成立,则a的取值范围是()(A)(-,-83.(B)2 63,+).(C)-83,+).(D)-3,+).8.当x-6,56时,关于x的函数y=-a(s i n2x2-23 s i nx2c o sx2-c o s2x2)的图象与|y|=2的图象恰有两个不同的交点,则实数a的取值范围是()图1(A)|a|1.(C)|a|2.9.如图1,在R t A B C的斜边A B上有点P,它到这个三角形两条直角边的距离分别为4和3,则当A B C的面积最小时,P B的长是()(A)5

9、.(B)4.(C)3.(D)34.1 0.G i v e nm,nZ,d e f i n ef(x)=l o g2(4-|x|)i nt h e i n t e r v a lm,n.T h ev a l u er a n g eo ff(x)i s0,2.I f t h e r ee x i s t so n l yo n e z e r op o i n t o ng(x)=2|x-1|+m+1,t h e nm+n=()(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.(英汉小词典:i n t e r v a l区间;v a l u er a n g e值域)二、填空题(每小题4分,共4 0分.

10、)图21 1.如图2,A B C D-E F GH是一个正方体,M、N是所在棱的中点,用过M、N、H三点的平面切开此正方体,切下的三棱锥的表面积与原正方体表面积的比是.1 2.若函数f(x)为奇函数,当1x4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4x-1时,函数f(x)的最大值为.1 3.平面上有点A(-3,0)和B(0,-3),点C在直线l:3x+y-2=0上运动,当C A+C B最小时,点C的坐标为.1 4.已知抛物线y=a x2+b x过点A(4,0),若点B(x,y)为该抛物线在第一象限内的一个动点,且使得AO B的面积取到最大值8,则a+b=.1 5.已知平面直角坐标系中,点B(2,0

11、),点A在线段O B上,A B=2.将线段O B绕点O按逆时针方向旋转角(00对于任意xR恒成立,则实数k的取值范围是.1 7.若a2+4b2=1,则8a ba+2b的最大值为.1 8.A ss h o w ni nt h eF i g.3,t h es i d el e n g t ho fs q u a r eA B C Di s4.Ei so nB C.A Ei s t a n g e n t t oah a l f c i r c l ec i r c l ea tp o i n tF.T h eh a l fc i r c l e i s i n s i d et h es q u

12、a r ew i t hC Da sd i a m e t e r.F i n dt h ea r e ao ft h es h a d e dp o r t i o n.A n s w e r:.(英汉小词典:d i a m e t e r直径;t a n g e n t相切的)1 9.定义符号函数s g nx=1,-1,x0 x0,令数列an=s g n(s i n(34+2n 3),b1=1,b2=2,bn+2=bn+1-bn(n3),则2 0 1 5k=1akbk=.2 0.在A B C中,a,b,c分别是角A、B、C的对边.若a=7,c=5,c o sB=35,则C=.三、解答题每题

13、都要写出推算过程.2 1.(本题满分1 0分)已知an=l o gn+2(n+3)(n N),定义:可使乘积a1a2ak为整数的k(k N)为“最佳数”,求在区间1,2 0 1 5内的所有“最佳数”的和.图42 2.(本题满分1 5分)如图4,四边形A B C D有外接圆,已知A B=2,B C=6,C D=DA=4.(1)求对角线B D的长;(2)作B P D=6 0,试求P B2+P D2的取值范围.2 3.(本题满分1 5分)已知数列an,bn满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,当n1时,若数列an+1-an为等差数列,数列bn-2为等比数列.(1)求数列an与bn的通项

14、公式;(2)设f(n)=an-bn,n N,当n4时,求f(n)的最小值.高一第 2 试答案题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010答案CCBDABCBAC题号11111212131314141515答案1:6-1911,8833,4 224 题号16161717181819192020答案1k 或1k 21021421.21.1074.22.22.（1）2 7BD.（2）22PBPD的取值范围为28,56.23.23.（1）数列na，nb的通项公式分别为27182nnna，1282nnb.（2）当4n 时，()f n的最小值是12.第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛

15、高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.集合M=x|y=-x2+6x+7,x,y R,N=y|y=-x2+6x+7,x,yR,则集合MN=()(A).(B)-1,4.(C)-1,7.(D)0,4.2.设m,n是自然数,条件甲:m3+n3是偶数;条件乙:m-n是偶数,则甲是乙的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分且必要条件.(D)既不充分也不必要条件.3.已知直二面角l,直线a平面,直线b平面,且a和b都不垂直于l,那么,a与b()(A)可能垂直,但不可能平行.(B)不可能垂直,但可能平行.(C)可能垂直,也可能平行.(D)不可能垂直,也不可能平行.4.设S

16、n是等比数列an前n项的乘积,若a9=1,则下面的等式中正确的是()(A)S1=S1 9.(B)S3=S1 7.(C)S5=S1 2.(D)S8=S1 1.5.已知数列an中,a1=0,an+1=an-33an+1(n N),则a1+a2+a3+a2 0 1 2=()(A)-3.(B)0.(C)3.(D)1 0 0 6 3.6.在A B C中,B=6 0,2A B=3B C,则t a nA的值等于()(A)-22.(B)-32.(C)32.(D)32.7.S u p p o s eA B Ci sa t r i a n g l ew i t h t h e s i d e l e n g t

17、ho f 2,Da n dEa r em o v i n gp o i n t so n t h es i d e sB Ca n dA C.ADB Ea tp o i n tM,t h e nt h e l e n g t ho fMs t r a j e c t o r y i s()(A)2.(B)3.(C)4.(D)6.(英汉词典:t r a j e c t o r y轨迹)8.若f(1,1)=1 2 3 4,f(x,y)=k,f(x,y+1)=k-3,则f(1,2 0 1 2)=()(A)-6 0 3 3.(B)-4 7 9 9.(C)1 2 3 5.(D)2 0 1 2.9.下面判

18、断正确的是()(A)b2-4a c0是方程a x2+b x+c=0有解的充分且必要条件.(B)b2-4a c0是方程a x2+b x+c=0有解的必要不充分条件.1 0.已 知 函 数f(x)=m|x-1|(m R,且m 0).设 向 量a=(1,c o s),b=(2,2 s i n),c=(4 s i n,1),d=(12s i n,1).当(0,4)时,f(ab)与f(cd)的大小关系是()(A)f(ab)f(cd).(C)m0时,f(ab)f(cd);mf(cd).(D)m0时,f(ab)f(cd);m0时,f(ab)f(cd).二、A组填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.设0,

19、2),则在0,2)内,终边与角的终边关于x轴对称的角是.1 2.函数f(x)=3-|l o g2x|-4|x-1|的值域是.1 3.若a,b,c是三个互不相等的实数,且满足关系式b2+c2=2a2+1 6a+1 4,b c=a2-4a-5,则a的取值范围是.1 4.若a,b是正实数,且a+b=2,则11+a+11+b的最小值是.1 5.y=as i n(a x+b)+b,i f t h em i n i m u mv a l u eo fyi s12,t h em a x i m u mv a l u e i s52,t h e na b=.1 6.设点G是A B C的重心,G A=23,G

20、B=22,G C=2.则A B C的面积=.1 7.已知0.8x0.9,若将x,xx,xxx按从小到大的顺序排列,应当是.1 8.已知等差数列an 的前n项之和是Sn,若S85,S1 12 3,则a1 0的最小值是.1 9.若a#b=a+b-a b,则下列等式中:a#b=b#a.a#0=a.(a#b)#c=a#(b#c).正确的是.(填序号)2 0.O与D相交于A,B两点,B C是D的切线,点C在O上,且A B=B C.若A B C的面积为S,则D的半径的最小值是.三、B组填空题(每小题8分,共4 0分.)2 1.已 知1 x 8,则 函 数f(x)=|x-3|+|x-5|+|x-7|的 最

21、大 值 是,最小值是.2 2.,是关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-4=0的两个实根,设y=2+2,则y=f(m)的解析式是,值域是.2 3.已知A B C三条边长分别为a=t2+3,b=-t2-2t+3,c=4t,tR,则A B C的最大内角是角,它的度数等于.2 4.方程x2+l o g1 6x=0的解是;使不等式x2-l o gmx0,且a1)在R上的最大值是2,则a=,f(x)的单调递增区间是.第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.设A,B是同一个三角形的两个内角,则不是AB成立的充要条件的是()(A)s i nAs i nB.

22、(B)s i n 2Ac o sB.(D)c o s 2Ac o s 2B.2.函数f(x)=|l g|2-x|的单调增区间是()(A)(-,1)(3,+).(B)(1,2)(3,+).(C)(-,1)(2,3).(D)(1,2)(2,3).3.图1中的图形所表示的是将棱长为a的立方体用一个平面切割后剩下的几何体,则它的体积不等于原立方体体积一半的有()个.图1(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.4.an是公比不为1的等比数列,Sn是an的前n项和.给出下面3个命题:(1)若an中既有正数,又有负数,那么Sn中也既有正数,又有负数;(2)an不可能同时具有最大值和最小值;(3)S1 0,S

23、2 0-S1 0,S3 0-S2 0,S4 0-S3 0,构成等比数列.其中,真命题的个数是()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.5.在正数数列an中,a1=14,an+1=an+an+14,则a2 0 1 2=()(A)1 0 1 2 0 2 5.(B)1 0 1 2 0 3 6.(C)1 0 1 3 0 2 5.(D)1 0 1 3 0 3 6.6.若存在x1,2,使得|a2x-1|-20,则a的取值范围是()(A)(-12,32).(B)(-,-12)(32,+).(C)(-14,34).(D)(-,-14)(34,+).7.已知O是坐标原点,动点M在圆C:(x-4)2+y2=4上

24、,对该坐标平面内的点N和P,若2ON+OM=MC+MP=0,则|NP|的取值范围是()(A)0,1 2.(B)1,1 1.(C)2,1 1.(D)1,1 2.8.已知关于x的方程a x3+b x2+c x+d=0有三个不同的实根,其中一个是0,则它的系数中不能是0的仅有()(A)a,c.(B)b,c.(C)a,d.(D)b,d.9.已知集合A=a关于x的方程2x+a4x2-9=1有唯一实数解,则集合A的真子集的个数是()(A)0.(B)3.(C)7.(D)8.图21 0.如图2所示,已知圆锥的底面半径为7,母线长为1 4,F C是轴截面A B C底角A C B的平分线,B D是底面的一条弦,且

25、D B C=3 0,则直线F C与B D的距离是()(A)1 4.(B)2 7.(C)3 7.(D)72.二、填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.直角梯形A B C D中,A B C=9 0,ADB C,A B=AD=2,B C=4,I为B D的中点,直 线MN过I点,且 与 线 段A B、C D分 别 交 于 点M、N,则ANCM的 最 小 值 是.1 2.已知y=x2+x+1 8且y1 0|x+1|,则x的取值范围是.1 3.当a1,0 x1时,函数f(x)=x2-a x+8的最大值是.1 4.若实数a,b满足0ab0时,f(x)1.解答以下问题:(1)求证:f(x)是增函数;(2)

26、若f(2 0 1 2)=6 0 3 7,解不等式f(a2-8a+1 3)4.第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.给出以下五个函数:y=|x|;y=l o g2|x|;y=3|x|;y=x12;y=3x.其中,值域是一切实数的是()(A),.(B),.(C).(D).2.已知p,q,a,b,c R,并且2a=p+q,b c=p q0,则关于x的方程b x2-2a x+c=0的根的情况是()(A)无实根.(B)有两个相等实根.(C)有两个不等实根.(D)有两个实根.3.I fp o l y n o m i a l 2x3-5x2+1w a sd

27、 i v i d e db yx-2,t h er e m a i n d e rw i l lb e()(A)3.(B)-3.(C)5.(D)-5.4.在平面直角坐标系xO y中,半径为2的圆的圆心从原点O连续地向右平移到点A(1,0),在这过程中,圆面内(含边界)包含的整点(横、纵坐标都是整数的点)的个数不可能是()(A)6.(B)7.(C)8.(D)9.5.当0a-l o g1a(2+x)的解是()(A)x12.(B)-2x43.(C)12x43.(D)-2x0.(B)l o gs i nCs i nAs i nB0.(C)l o gc o sCc o sAc o sB0.(D)l o

28、gc o sCc o sAs i nB0.图11 0.如图1,A B C D GHE F是棱长为a的正方体,点M和N分别是B EH和HE G的内心,则线段MN的长是()(A)12a.(B)25a.(C)(2-1)a.(D)(2-2)a.二、A组填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.设a=14,b=l o g953,c=l o g83,用“”连结a,b,c,则是.1 2.函数y=2x-1与y=21-x的图象关于直线对称.1 3.若M、N、P、Q分别是正方体A B C DA1B1C1D1的棱D1C1、B C、A1D1、D C的中点,则MN与P Q所成角的正弦值是.1 4.若函数f(1x)=1x

29、2+1,则f(12 0 1 3)+f(12 0 1 2)+f(12 0 1 1)+f(12)+f(1)+f(2)+f(2 0 1 1)+f(2 0 1 2)+f(2 0 1 3)的值是.1 5.已知s i n=m2+14|m|,则c o s(+6)的取值范围是.1 6.已知f(x)=33x+3,则f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(l g 2)+f(l g 5)=.1 7.G i v e ns e tA=x|x2+2x+3+a2=0,xR,s e tB=x|2x2+2x+3a,xR.I fAB=R,t h e nt h ev a l u er a n g eo f t h er e

30、a ln u mb e rai s.1 8.已知点C(3,1),点A在直线y=x上,点B在x轴上,则A B C的周长的最小值是.1 9.在A B C中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若a+c=2b,B=3 0,并且A B C的面积图2为32,则A B C的外接圆半径的长是.2 0.若不等式4x-1-m2x+m0对一切x2,4都成立,则实数m的取值范围是.三、B组填空题(每小题8分,共4 0分.)2 1.如图2所示,圆O的直径A B=6,C为圆周上一点,B C=3,过C作圆O的切线l,从A作l的垂线AD,垂足为D,交圆O于E,则A E=,C D=.2 2.函 数f(x)=(s i nx+c

31、 o sx)2+2(s i nx+c o sx)的 最 小 值 是,最 大 值 是.2 3.已知函数f(x)=-(12)|x-1|,g(x)=x2-6x+7,则这两个函数的值域的交集是.若在集合A中,对任意aA,总存在b使得g(a)=f(b)成立,则A=.2 4.已知x O y坐标平面内的点A(1,1)、B、C、D、E,若B在曲线y=x上,C、D、E在正x轴上,并且O CO DO E,A D C和B E D都是正三角形,则直线D B的方程是,点B的横坐标是.2 5.侧棱长都是6的三棱锥P A B C中,P AP B,P AP C,B P C=6 0,M、N分别是P A、B C的中点,则MN=,

32、三棱锥ABMN的体积是.附加题(每小题1 0分,共2 0分.)1.若点P(-3,1),Q(3,4)是某正方形的两个顶点,点R(x,y)是这个正方形的另一个顶点并且在直线P Q的下方,则点R的坐标是.2.设x,y,z R+,且x+y+z=1,若x2+y2+z2+x y z1恒成立,则实数的最大值为.高一第 1 试答案题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010答案DDBCCBBADC题号11111212131314141515答案cab1x 532012.511,2题号16161717181819192020答案34a 2 53 14,3题号212122222323答案33

33、;321;22 2 1,0);32,24,32题号24242525答案42 3331;3yx9 36;2题号附加题 1附加题 2答案316,20,5,22或或2 3第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)图11.下列四个选项中,能表示图1中的阴影部分的是()(A)(AC)(BC).(B)(AB)(AC).(C)(AB)(BC).(D)(AB)C.2.一款触摸屏手机,在设计键盘锁时采用了新的方案:将09这1 0个数字按由小到大的顺序等距排成一个圆,并顺时针不停地旋转.小明发现爸爸只按动了3次便打开了键盘锁.那么,小明为了保证打开手机的键盘锁,至少要尝

34、试()次.(A)3.(B)4 0.(C)2 4 0.(D)1 0 0 0.3.在A B C中,若t a nA=2,t a nB=3,则内角C的值为()(A)6.(B)4.(C)3.(D)3 4.4.函数y=(12)-x2+x+2的单调递增区间是()(A)-1,12.(B)(-,-12.(C)12,+).(D)12,2.5.从集合M=x7 2 0 xN,xN中取出3个元素,从小到大排成一列,使其成等比数列,则所有不同的公比之和是()(A)1 5.(B)2 1.(C)2 3.(D)2 7.6.若c o s0,s i n+3 c o s+1=0,则t a n=()(A)34.(B)43.(C)-34

35、.(D)-43.图27.如图2,在棱长为2的正方体A B C DA1B1C1D1中,点E是棱A B的中点,点F在棱C D上,且D FF C=21,则A1E与C1F的距离等于()(A)4 33.(B)3.(C)2.(D)5.8.G i v e np r o v i s i o nfn(x)=ff(f n个f(x),ni sap o s i t i v e i n t e g e r.I ff(x)=2(1-x),x-1,0 x1,10,b+c0,c+a0.若设p=f(a)+f(b)+f(c),则()(A)pq.(B)p3q.(D)p3q.1 0.已知等比数列an满足a1+a2+a3=1,并且公比

36、q0,若令t=a1a2a3,则t的取值范围是()(A)(-,-1.(B)(0,1.(C)-1,+).(D)-1,0).二、填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.已知函数f(x)=1+x1-x,则f(12)f(14)f(16)f(12 0 1 4)=.1 2.已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(mZ)的图象与x轴,y轴都没有交点,但是关于y轴对称,那么f(x)=.1 3.若y=l o g2 0 1 3(x2-a x+6 5)的值域为R+,那么a的取值范围是.1 4.自点P(-5,5)发出的光线l经过x轴反射,其反射光线所在直线正好与圆x2+y2=1相切,那么入射光线l所在直线的方程是.1

37、5.命题p:已知函数f(x)=2-a xa-1(a是不等于0的常数),若f(x)在区间(0,1 上单调递减,则a的取值范围是(-,0)(1,2.命题q:由于偶函数满足对于定义域内的任何一个x都有f(x)=f(-x),所以它不是一一对应关系,故偶函数一定不存在反函数.图3则(p)(q)是命题.(填“真”或“假”)1 6.G i v e nx,y,z R+,a n d3x=4y=6z.T h e nw r i t e3x,4y,a n d6zi no r d e r f r o ml e a s t t og r e a t e s t a s.1 7.已知等差数列an 的前n项和为Sn,等差数列

38、bn 的前n项和为Tn,且SnTn=2n3n+7,则a8b6=.1 8.如图3,已知正方体A B C D-A1B1C1D1中,E是棱A A1上一点,且A E=2A1E,设过点B、D1、E的平面为,则与底面A B C D所成角的正切值是.图41 9.若等差数列an 的公差为d,且a9-a4=2a3,am+an=2a5,则2aman3a1d的最大值是.2 0.已知xn 是等比数列,把数列xn 中的所有项按图4所示的规律排成一个三角形数表.则当x3=4,x6=3 2时,图中第m行第1个数是.三、解答题每题都要写出推算过程.2 1.(本题满分1 0分)过圆C:x2+y2-4x-4y+7=0外一点P(a

39、,b)作圆C的切线P T,T为切点,使|P T|=|P O|.当|P T|取得最小值时,求点P的坐标及|P T|的值.2 2.(本题满分1 5分)若关于x的方程|x-1|x=k(x-1)2有4个不同的实数根,其和为S.求:(1)实数k的取值范围;(2)实数S的取值范围.2 3.(本题满分1 5分)已知函数f(x)=l o g2(1+x),l o g12(1-x),x0,x0时,f(x1)+f(x2)0;(3)对任何实数x,f(e2x-a)+f(3-2 ex)0恒成立,求实数a的取值范围.高一第 2 试答案题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010答案ADBDDDCCCD

40、题号11111212131314141515答案20150 x或4x1616a34504350 xyxy或真题号16161717181819192020答案346xyz345327222mm21.21.当|PT|取得最小值时，点 P 的坐标是7 7,8 8，72|8PT.22.22.（1）k 的取值范围是（4，+）.（2）523,2S.23.23.（1）y=f(x)是奇函数.（2）略.（3）a 的取值范围是（-，2.第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.已知a0且a1,如果ab=c,c0,则()(A)b R.(B)b0,+).(C)b1,+)

41、.(D)b(-,-1.2.若x=1,y=0是关于x和y的方程(2m2-m+1)x+(m2+1)y=-4m+3的一组解,则实数m的值是()(A)-2.(B)12.(C)-2或12.(D)2或-12.3.若l g 3=0.4 7 7 1,则以下四个结论中错误的是()(A)l g13=-0.4 7 7 1.(B)l g31 0=-0.5 2 2 9.(C)l g 3 0 0=2.5 2 2 9.(D)l g 9 9 1.4.T h ed o m a i no f t h e f u n c t i o ny=-x2+x+6l gxi s()(A)x|0 x3.(B)x|0 x3a n dx1.(C)

42、x|0 x3a n dx1.(D)x|01时,若n0,n,n2,nn分别除以1 7所得余数至少有两个相同,则n的最小值是()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.6.若周期为6的函数f(x)在区间(-3,3 内单调递减,那么在以下的数中,最大的是()(A)f(8).(B)f(-4.4).(C)f(-7).(D)f(-5 2).7.给出以下四个方程:(1)l gx=1-x;(2)2x=1x;(3)2-x2=l g|x|;(4)s i nx=|x|.其中,有唯一解的是()(A)(1),(2),(3).(B)(1),(2),(4).(C)(1),(3),(4).(D)(2),(3),(4).图18

43、.如图1,A B C DE FMN是一个长 方 体,B FN中,B FN=9 0,BNF=3 0,B F=m,则该长方体体积的最大值是()(A)m3.(B)3m3.(C)32m3.(D)3m3.9.如果关于x的方程(x-2)(x2-m x+12)=0的三个根是某三角形的三条边的长,那么,实数m的取值范围是()(A)m2.(B)2m 6.(C)2m 6.(D)2m0,且a1,若函数f(x)=al g(x2-2x+3)有最大值,则不等式l o ga(x2-5x+7)0的解集是.1 5.在A B C中,A C=4 3,B=6 0,则B C长度的取值范围是.1 6.已知集合M=x|x2-40,集合N=

44、x|x2-6x+a-40,xZ,若MN有4个子集,则实数a的取值范围是.1 7.已知x1,x2是方程x2-m2x+n=0的两个实数根,y1,y2是方程y2-3m y+6=0的两个实数根,其中m,n是常数,且x1+y1=2,x2+y2=2,则8m+n=.1 8.已知一列数:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,它的各项若不是1就是2,并且在第k个1和第(k+1)个1之间有(2k-1)个2,那么,前2 0 1 4个数的和为.1 9.已知y=x-1x(1x0).则f(f(-2)=;若|f(x)|a x在x-1,1上恒成立,则实数a的取值范围是.2 4.已知O是坐标原点,过点A(2,1)

45、的直线与x轴正半轴交于点C,与y轴正半轴交于点D,则O C D的面积的最小值是,此时O C D的外接圆的面积是.2 5.1 2 3 4 5n35791 1(2n-1)81 21 62 0(4n-4)2 02 8 3 6(8n-1 2)图2观察图2呈现的规律,可知(1)当n=5时,数表中最下面一行的数是;(2)数表的最下面一行用n表示是.高一第 1 试答案题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010答案ACCCCDBCDA题号11111212131314141515答案,11362,30,8题号16161717181819192020答案9,122398330,8,1023

46、 3,4 3题号21212222232324242525答案5；811;8,34;1,04；548；2(1)2nn第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题一、选择题(每小题4分,共4 0分.)1.如果一个几何体的主视图和左视图均为矩形,而俯视图为一个圆,则这个几何体是()(A)棱锥.(B)直棱柱.(C)圆锥.(D)圆柱.2.已 知f(x)=x4-4x3+1 0 x2-2 7,g(x)=x3-2x2-5x+6,A=x|f(x)0,B=x|g(x)=0且xA,则B中元素的个数是()(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多.3.关于x的方程2x=11-l na有正根,则实数a的取值范围是(

47、)(A)(0,1).(B)(1,e).(C)(1,+).(D)(e,+).4.I fy2=2xw h e r exa n dya r er e a ln u mb e r s,t h e nt h em i n i m u mv a l u eo fz=y2+x2+4i s()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.5.设f(x)是R上的偶函数,并且f(x+6)=f(x)+f(3),若f(2)=2 0 1 4,则f(2 0 1 4)等于()(A)2 0 1 2.(B)2 0 1 3.(C)2 0 1 4.(D)2 0 1 5.6.若关于x的方程|2x-3|-k=0有两个不相等的实数根,则k的取

48、值范围是()(A)0,3).(B)(0,3).(C)0,+).(D)(-,3).7.已知x,y是实数,且y=2x+8-x,则y的最大值是()(A)6.(B)2 54.(C)9 78.(D)1 2 98.8.若对于任意的实数x,不等式|x-1|-|x-a|1 0恒成立,则a的取值范围是()(A)-3,4.(B)-4,3.(C)-9,1 1.(D)-1 1,9.9.已知a,b,m,n R,且m2n2a2m2+b2n2.令M=m2+n2,N=a+b,则M与N的大小关系是()(A)MN.(B)MN.(C)MN.(D)MN.1 0.若函数f(x)=x2-2a|x-a|-2a x+1有且仅有3个零点,则实

49、数a的值是()(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.图1二、填空题(每小题4分,共4 0分.)1 1.函数f(x)=2l o g14(x+9x)的定义域是.1 2.如图1,三棱锥A-B C D的顶点B、C、D在平面内,C A=A B=B C=C D=D B=2,AD=6.若将该三棱锥以B C为轴转动,到点A落到平面内为止,则A、D两点所经过的路程之和是.1 3.已知函数f(x)=x-k22+32k+2(k Z)是奇函数,且在(0,+)上是增函数,则k的值是.图21 4.若函数f(x)=-x+1,x-1,x0,x0,则不等式x+(x+1)f(x+1)3的解集是.1 5.如图2所示,已知A B

50、切O于点B,直线A C交O于点C和D,若AD=D C,B C=2,则B D=.1 6.设f(x)是R上 的 减 函 数,且f(0)=3,f(3)=-1.已知P=x|f(x+t)-1|2,Q=x|f(x)(x-2)2恰有4个整数解,则实数k的取值范围是.1 9.设m1,若x,y满足yx,ym x,x+y1时,函数z=x+m y的最大值是4,则m的值是.F i g.32 0.A ss h o w n i nF i g.3,A B=6,B C=8,C A=1 0.P o i n tPi s i n s i d eo f t h et r i a n g l eA B C.D E,F G,a n dI