2025年高考数学一轮知识点复习-三角形中的中线、高线、角平分线-专项训练(含答案）.docx

1、三角形中的中线、高线、角平分线一、单项选择题1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BAC60，b3，AD为BC边上的中线，若AD72，则BC的长为()A7 B32 C19 D332ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A4，则cos C()A1010 B31010 C3510 D553如图所示，在四边形ABCD中，ACADCD7，ABC120，BD为ABC的角平分线，sin BAC5314，则BD()A6 B8 C72 D94如图，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为BC的中点，AD1，B3，且ABC的面积为32，则c()A1

2、2 B1 C2 D35在ABC中，D为BC的中点，3sin ADB2sin C，BC6，AB42，则ABC的面积为()A23 B33 C22 D426如图，在ABC中，已知AB2，AC5，BAC60，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则APB的余弦值为()A1313 B21313C29191 D49191二、多项选择题7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc cos BAC，BAC的角平分线交BC于点D，AD1，cos BAC18，则以下结论正确的是()AAC34BAB8CCDBD18DABD的面积为3748在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC

3、的角平分线交AC于D，E为AC的中点，则下列说法正确的是()A若BD3aca+c，则ABC3B若BD3aca+c，则ABC6C若BEa2+c2ac2，则ABC3D若BEa2+c2ac2，则ABC23三、填空题9在ABC中，BAC60，AB2，BC6，BAC的角平分线交BC于D，则AD_10(2021浙江高考)在ABC中，B60，AB2，M是BC的中点，AM23，则AC_；cos MAC_四、解答题11已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab+csinBsinCsinAsinC.(1)求B；(2)若b6，ABC的平分线交AC于点D，BD1，求ABC的面积12记ABC的内角A，

4、B，C的对边分别为a，b，c，已知2c sin B(2ac)tan C.(1)求角B；(2)若c3a，D为AC的中点，BD13，求ABC的周长13已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a6，b sin 2A45sin B.(1)若b1，证明：CA2；(2)若BC边上的高为853，求ABC的周长参考答案1C如图，AD12(AB+AC)，AD214(AB2AC22ABAC)，49414(c293c)，c5(负根舍去)，BC2b2c22bc cos BAC9252351219，BC19.2B如图，AB边上的高为CD，因为A4，所以AD2c，2cb sin 4，所以BDc，b22c，由勾股

5、定理可得BCc2+4c25c，由余弦定理的推论可得cos ACB5c2+8c2c225c22c31010.故选B.3B因为BD为ABC的角平分线，所以ABD60，因为ABC120，所以BAC为锐角，所以cos BAC1531421114，所以sin BADsin (BACDAC)sin BACcos DACcos BACsin DAC531412+111432437，由正弦定理可知BDsinBADADsinABD，即BDsinBADADsinABD4377328.故选B.4BB3，在ABD中，由余弦定理得c2a222ca2cos 31，即a24c22ac4，又SABC12ac sin B34a

6、c32，解得ac2，a24c22ac42ac，即4c24aca20，(2ca)20，即a2c，将代入得2c22，解得c1或c1(不合题意，舍去)，故选B.5D在ABD中，由正弦定理可得ABsinADBADsinB，在ABC中，ABsinCACsinB，两式相比可得sinADBsinCACAD，因为3sin ADB2sin C，所以ACAD23，设AC2k，AD3k，由余弦定理的推论可得cos BAB2+BD2AD22ABBDAB2+BC2AC22ABBC，又因为BC6，AB42，D为BC的中点，所以BD3，即32+99k2242332+364k22426，解得k21，所以cos B32+991

7、2423223，可得sin B13，所以SABC12ABBCsin B124261342.故选D.6D因为AB2，AC5，BAC60，由余弦定理可得BCAB2+AC22ABACcosBAC4+25225cos6019，因为AM12(AB+AC)，所以14(AB2+AC2+2|AB|AC|cosBAC144+25+22512392，由余弦定理的推论可得cos ABCAB2+BC2AC22ABBC4+192522191219，BN12(BA+BC)，可得|BN|14(BA2+BC2+2|BA|BC|cosABC14(4+19+22191219212，由重心的性质可得AP23AM393，BP23BN

8、213，在APB中，由余弦定理的推论可得cos APBAP2+BP2AB22APBP399+2194239321349191.故选D.7ACD因为bc cos BAC，由正弦定理可得sin Bsin C cos BACsin (BACC)，所以sin BAC cos C0，因为sin BAC0，所以cos C0，即C2.因为18cos BACACAB，由角平分线定理可得ACABCDBD18，设ACx，则AB8x，则BC37x，CD73x.在RtACD中，由勾股定理可得x273x21，解得x34，即AC34，AB6.因为SABC12ACBC1234373427732，所以SABD89SABC37

9、4.故选ACD.8AD对于A，B项，由SABCSABDSBCD可得，12ac sin ABC12aBD sin ABC2+12cBD sin ABC2，则2ac sin ABC2cos ABC2aBD sin ABC2cBD sin ABC2，因为sin ABC20，所以2ac cos ABC2(ac)BD，cos ABC2a+cBD2ac.因为BD3aca+c，则cos ABC232，即ABC3，故A正确，B错误；对于C，D项，由题可知BE12(BA+BC)，所以BE214(BA+BC)214(BA2BC22BABC)14(a2c22ac cos ABC)因为BEa2+c2ac2，所以a2+

10、c2ac414(a2c22ac cos ABC)，整理可得cos ABC12，所以ABC23，故C错误，D正确故选AD.92由余弦定理的推论得cos 60AC2+4622AC，整理得AC22AC20，得AC13.因为SABCSABDSACD，所以122AC sin 60122AD sin 3012ACAD sin 30，所以AD23ACAC+2231+33+321021323913 在ABM中，AM2BA2BM22BABM cos 60，(23)222BM222BM12，BM22BM80，解得BM4或2(舍去)点M是BC中点，MC4，BC8，在ABC中，AC22282228cos 6052，A

11、C213.在AMC中，cos MAC232+21324222321323913.11解：(1)因为ab+csinBsinCsinAsinC，由正弦定理得ab+cbcac，整理得a2acb2c2，即a2c2b2ac，又由余弦定理的推论得cos Ba2+c2b22ac12.因为B0，2，所以B3.(2)如图所示，因为SABCSABDSBCD，所以SABC12BDc sin 6+12BDa sin 614(ac)又因为SABC12ac sin 334ac，所以14(ac)34ac.由余弦定理得b2a2c22ac cos 3(ac)23ac6，联立方程组14a+c=34ac，a+c23ac=6，可得3

12、(ac)23ac6，即(ac)2ac20，解得ac2或ac1(舍去)，所以SABC12ac sin B34ac32.12解：(1)2c sin B(2ac)tan C，2sin C sin B(2sin Asin C)sinCcosC，sin C0，则2sin B cos C2sin Asin C2sin (BC)sin C2(sin B cos Ccos B sin C)sin C，整理得2sin C cos Bsin C，又sin C0，cos B12，而B(0，)，B3.(2)c3a，由余弦定理得b2a2c22ac cos Ba29a22a3acos 37a2，b7a，因为D是AC的中点

13、，则ADCD72a，在ABD中，由余弦定理的推论得cos ADB7a24+139a2272a13，在CBD中，由余弦定理的推论得cos CDB7a24+13a2272a13，CDBADB，cos CDBcos ADB0，7a24+139a2272a13+7a24+13a2272a130，解得a2，ABC的周长为abca7a3a827.13解：(1)证明：由已知可得bsinB45sin2A25sinAcosA，由正弦定理asinAbsinB，可得bsinBasinA6sinA，25sinAcosA6sinA.又sin A0，cos A53，sin A1cos2A23.又b1，sinBsinAa123619.ab，cos B1sin2B459，cosCcos (AB)cos A cos Bsin A sin B23，cos Csin Acos A+2.又C(0，)，A22，函数ycos x在(0，)上单调递减，则CA2.(2)由题意得SABC12685385.又SABC12bc sin A13bc，则bc245.由余弦定理得，a2b2c22bc cos A(bc)22bc(cos A1)，得(bc)22bc(1cos A)a24851+5362(645)2，bc645.ABC的周长为124