2025年高考数学一轮知识点复习-空间向量的运算及其应用-专项训练(含答案）.docx

1、空间向量的运算及其应用一、单项选择题1已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则|ab2c|等于()A310 B210 C10 D52(2024安徽滁州模拟)已知向量a(1，1，x)，b(2，2，3)，若(2ab)b1，则x()A3 B3 C1 D63已知向量a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(1，22，m)，若向量a，b，c共面，则实数m等于()A4 B6 C8 D104已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O为坐标原点，OAOB与OB的夹角为120，则的值为()A66 B66 C66 D65已知向量a(1，3，0)，b(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c(

2、)A52，54，54 B53，56，56C54，58，58 D(2，4，4)6在空间四边形ABCD中，ABCD+ACDB+ADBC()A1 B0C1 D不确定7如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，AG2GE，则GF()A13AB23AC+12AA1B13AB+23AC+12AA1C23AB+13AC12AA1D13AB+23AC+12AA18如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C内二、多项选择题9九章算术中，将

3、上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，B1D2DC1，则()AADAA1+23AB+13ACBADAA1+13AB+23ACC向量AD在向量AB上的投影向量为23ABD向量AD在向量AC上的投影向量为23AC10如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB3AD3AA13，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是()A当A1C2A1P时，B1，P，D三点共线B当APA1C时，APD1PC当A1C3A1P时，D1P平面BDC1D当A1C5A1P时，A1C平面D1AP三、填空题11如图是某段新开河渠的示意图在二面角-l-的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二

4、面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB2，AC3，BD4，CD41，则该二面角的大小为_12在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD，设底边和侧棱长均为4，则该正四棱锥的外接球表面积为_；过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G进行切割，得到四棱锥P-AEFG，若PEPB35，PFPC12，则PGPD的值为_四、解答题13已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|3，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标14如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于

5、2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由参考答案1Aa(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，ab2c(1，0，1)(2，1，1)2(3，1，0)(9，3，0)，|ab2c|92+32+02310.故选A.2B向量a(1，1，x)，b(2，2，3)，则2ab(2，2，2x)(2，2，3)(4，0，2x3)，(2ab)b1，则83(2x3)1，解得x3.故选B.3A因为向量a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(1，22，m)，且向量a，b，

6、c共面，所以cxayb，x，yR，即2x+y=1，x4y=22，3x2y=m，解得x2，y5，m4.故选A.4C由于OAOB(1，)，OB(0，1，1)，则cos 120+1+22212，解得66.经检验66不符合题意，舍去，所以66.故选C.5B向量a(1，3，0)，b(2，1，1)，则ab2305，|b|4+1+16，故向量a在向量b上的投影向量cabbbb56b53，56，56.故选B.6B令ABa，ACb，ADc，则ABCD+ACDB+ADBCa(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.故选B.7D因为AG2GE，所以GE13AE，又E是BC的中点，所以AE12(AB+A

7、C)，所以GE13AE1312(AB) +(AC)16(AB+AC)因为EFEC+CF，E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF12(BC+CC1)12(BA+AC+AA1)因此GFGE+EF16(AB+AC)12(BA+AC+AA1)13AB+23AC+12AA1.故选D.8B建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN2a3，则Ma，2a3，a3，N2a3，2a3，a，MNa3，0，2a3.又C1D1平面BB1C1C，所以C1D1(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量因为MNC1D10，所以MNC1D1，又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.9BD因为ADAA1+A1B1

8、+B1DAA1+A1B1+23B1C1AA1+A1B1+23(A1C1A1B1)AA1+13AB+23AC，故A错误，B正确如图所示，过点D作DE垂直于BC，过点E作EF垂直于AB，EG垂直于AC，故向量AD在向量AB上的投影向量为AF，向量AD在向量AC上的投影向量为AG，由题意易得AFAB13，AGAC23，故AF13AB，AG23AC，C不正确，D正确故选BD.10ACD在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系因为AB3AD3AA13，所以ADAA11，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1

9、(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，则A1C(1，3，1)，D1A(1，0，1)当A1C2A1P时，P为线段A1C的中点，则P12，32，12，DP12，32，12，DB1(1，3，1)，则DB12DP，所以B1，D，P三点共线，A正确；设A1PA1C(1，3，1)(，3，)(01)，APAA1+A1P(，3，1)，由APA1C，可得APA1C510，解得15，所以AP15，35，45，D1PD1A+AP(1，0，1)15，35，4545，35，15，所以D1PAP425+325425150，所以AP与D1P不垂直，B

10、错误；当A1C3A1P时，A1P13A1C13，33，13，DC1(0，3，1)，DB(1，3，0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则nDC1=0，nDB=0，即3y+z=0，x+3y=0，令y1，则xz3，n(3，1，3)，又A1D1(1，0，0)，所以D1PA1PA1D123，33，13，所以D1Pn23(3)33113(3)0，所以D1Pn，D1P平面BDC1，所以D1P平面BDC1，C正确；当A1C5A1P时，A1P15A1C15，35，15，所以D1PA1PA1D145，35，15，所以A1CD1P145+3351150，A1CD1A1130(1)20所以A1CD1P，A1

11、CD1A，又D1PD1AD1，D1P平面D1AP，D1A平面D1AP，所以A1C平面D1AP，D正确故选ACD.11120设所求二面角为，由CDCA+AB+BD，得CD2(CA+AB+BD)2CA2AB2BD22CAAB2CABD2ABBD3222420234cos 041，cos 12，0180，120.123234设AC，BD交于点O，连接PO，如图所示，由于P-ABCD为正四棱锥，故PO为四棱锥的高，由底边和侧棱长均为4可得，OAOBOCOD22，POPA2OA24222222，即点O到点P，A，B，C，D的距离相等，故O即为该正四棱锥的外接球球心，则外接球半径为22，故外接球表面积为4

12、(22)232.PAPD+DAPD+CBPD+PBPC ，设PDtPG，则PAtPG+53PE2PF，由于点A，E，F，G四点共面，故t5321，解得t43，故PD43PG，则PGPD34.13解：(1)由题意可得AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，所以cos AB，ACABACABAC2+3+6141471412，所以sin AB，AC32，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S212|AB|AC|sin AB，AC143273.(2)设a(x，y，z)，由题意得x2+y2+z2=3，2xy+3z=0，x3y+2z=0， 解得x=1，y=1，z=1或x=1，y=1，z=1， 所以向量

13、a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)14解：(1)证明：设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，所以A1O2AA12AO22AA1AOcos 603，所以AO2A1O2AA12，所以A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，所以A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3)由于BD(23，0，0)，AA1(0，1，3)，AA1BD0(23)10300，所以BDAA1，即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设CPCC1，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0，1，3)从而有P(0，1，3)，BP(3，1，3)设平面DA1C1的法向量为n(x1，y1，z1)，则nA1C1=0，nDA1=0，又A1C1(0，2，0)，DA1(3，0，3)，则2y1=0， 3x1+3z1=0，取n(1，0，1)，因为BP平面DA1C1，所以nBP，即nBP330，解得1，即点P在C1C的延长线上，且CPCC1