《信号与系统分析》课件第6章.ppt

1、第第6章离散信号与系统的章离散信号与系统的z域分析域分析 6.1离散信号的z变换6.2z变换的基本性质6.3逆z变换6.4利用MATLAB计算z变换和逆z变换6.5离散系统的z域分析6.1离散信号的离散信号的z变换变换 6.1.1z变换的定义变换的定义 序列f(n)的双边z变换，通常记为(6-1)这样，已知一个序列便可由式(6-1)确定一个z变换函数F(z)。反之，如果给定F(z),则F(z)的逆变换记作,并由以下的围线积分给出(6-2)其中，C是包围F(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线。这样，式(6-1)和式(6-2)便构成了一对z变换对。为简便起见，f(n)与F(z)之间的关系仍简

2、记为 (6-3)与拉氏变换类似，z变换亦有单边与双边之分。序列f(n)的单边z变换定义为(6-4)即求和只对n的非负值进行(不论n0时f(n)是否为零)。而F(z)的逆变换仍由式(6-2)给出，只是将n的范围限定为n0,即(6-5)或写为(6-6)不难看出，式(6-4)等于f(n)U(n)的双边z变换，因而f(n)的单边z变换也可写为(6-7)由以上定义可见，如果f(n)是因果序列，则其单、双边z变换相同，否则二者不等。在拉氏变换中我们主要讨论单边拉氏变换，这是由于在连续系统中，非因果信号的应用较少。对于离散系统，非因果序列也有一定的应用范围，因此，本章以讨论单边z变换为主，适当兼顾双边z变换

3、。讨论中在不致混淆的情况下，将两种变换统称为z变换，f(n)与F(z)的关系统一由式(6-3)表示。由定义可知，序列的z变换是z的幂级数，只有当该级数收敛时，z变换才存在。对任意给定的序列f(n),使z变换定义式幂级数或 收敛的复变量z在z平面上的取值区域，称为z变换F(z)的收敛域，也常用ROC表示。【例6-1】求以下有限长序列的双边z变换：(1)(n),(2)f(n)=1,2,1-1。解(1)由式(6-4)知，单位样值序列的z变换为即 。F(z)是与z无关的常数，因而其ROC是z的全平面。(2)f(n)的双边z变换为由上式可知，除z=0和z=外,对任意z,F(z)有界，因此其ROC为0|z

4、|。【例6-2】求因果序列f1(n)=anU(n)的双边z变换(a为常数)。解设 ,则 利用等比级数求和公式，上式仅当公比az-1满足|az-1|a|时收敛，此时 故其收敛域为|z|a|,这个收敛域在z平面上是半径为|a|的圆外区域，如图6-1所示。显然它也是单边z变换的收敛域。图 6-1【例6-2】的收敛域 6.1.2常用离散信号的单边常用离散信号的单边z变换变换1.单位样值信号单位样值信号(n)由【例6-1】已知(6-8)2.单位阶跃序列单位阶跃序列U(n)将U(n)代入式(6-4),得 若|z-1|1,该级数收敛，此时有故(6-9)3.单边指数序列anU(n)(a为任意常数)在【例6-2

5、】中已求得(6-10)所以 表6-1列出了典型序列的单边z变换，以供查阅。表表6-1典型序列的单边典型序列的单边z变换变换 6.2z变换的基本性质变换的基本性质 6.2.1线性线性设 ，R1|z|R2,R1可为零，R2可以为,下同,即 则 (6-11)其中，a1、a2为任意常数。相加后的收敛域至少是两个函数F1(z)、F2(z)收敛域的重叠部分，有些情况下收敛域可能会扩大。【例6-3】求序列cos(0n)U(n)和sin(0n)U(n)的z变换。解因为 而 由线性性质，即得(6-12)类似地，可得(6-13)6.2.2移位特性移位特性单边变换与双边变换的移位特性差别很大，下面分别进行讨论。1.

6、双边双边z变换变换若，R1|z|R2,则(6-14)式中m为任意整数。2.单边单边z变换变换 若，则(6-15)(6-16)【例6-4】求矩形序列GN(n)的z变换。解因为 Gn(n)=U(n)-U(n-N),1)(zznU由z线性及移位特性，得【例6-5】求序列 的z变换。解因为 ，由移位特性,再由线性性质，得 6.2.3尺度变换特性尺度变换特性若，则(6-17)式中a为任意常数。【例6-6】用尺度变换特性求anU(n)的z变换。解因为 由尺度变换特性6.2.4时间翻转特性时间翻转特性若，则(6-18)6.2.5z域微分域微分(时域线性加权时域线性加权)若，R1|z|R,为保证在z=处收敛，

7、其分母多项式的阶次不低于分子多项式的阶次，即满足NM。只有双边变换才可能出现MN。下面以NM为例说明部分分式展开法，此时为真分式。zzF)(如果只含一阶极点，则可以展开为 zzF)(zzF)(即(6-24)其中Ak可用下式计算(6-25)展开式中的每一项 的逆变换是以下两种情形之一：kkzzzA(6-26)或(6-27)根据F(z)收敛域与各极点位置的关系选择采用式(6-26)还是式(6-27)。如果F(z)的收敛域落在特定极点的外侧，则关于该极点的展开项的逆变换为因果序列，由式(6-26)得到；如果F(z)的收敛域落在特定极点的内侧，则关于该极点的展开项的逆变换是反因果序列，由式(6-27)

8、得到。这样逐个考察各极点，就可得到完整的逆z变换。如果中含有高阶极点，比如F(z)除含有K个一阶极点外，在z=zi处还含有一个r阶极点，此时F(z)应展开为 zzF)(6-28)式中Ak仍按式(6-25)计算，而Bj由下式计算：(6-29)【例6-9】已知，求F(z)可能的收敛域及相应的序列f(n)。解F(z)的两个极点是z1=1和z2=0.5,故其可能的收敛域为|z|0.5,0.5|z|1。先将F(z)展开为 其中所以(1)若收敛域为|z|0.5,则两个极点均在收敛域的外侧，因此这两项的逆变换是反因果序列，由式(6-27)得(2)若收敛域为0.5|z|1,则收敛域在所有极点的外侧，因此各展开

9、项的逆变换均为因果序列，所以f(n)=2U(n)-(0.5)nU(n)=2-(0.5)nU(n)【例6-10】已知，|z|1，求f(n)。解因为由式(6-25)和式(6-26)可得展开式 所以因为|z|1,所以f(n)=6(n)+2(n-1)+8U(n)-13(0.5)nU(n)6.4利用利用MATLAB计算计算z变换和逆变换和逆z变换变换 MATLAB中可以利用函数ztrans和iztrans分别计算符号函数的z变换和逆z变换，所得结果也是符号函数，而非数值结果。其一般调用形式为F=ztrans(f)f=iztrans(F)其中，f和F分别是时间序列和z变换的数学表示式。【例6-11】(1)

10、用MATLAB求函数的z变换；(2)用MATLAB求的z逆变换。解程序代码如下：%program ch6-11clear;format rat;%近似有理数的表示syms a n z pi;%syms定义符号变量f=a.n.*cos(pi*n/3);Fz=ztrans(f,n,z);Fz=simple(Fz),%约分，该命令试图找出符号表达式Fz的代数上的简单形式，F=z./(z+1)/(z+2);fn=iztrans(F),程序运行结果为如果z变换可以用如下的有理分式表示求F(z)的逆变换时，可以将F(z)展开为部分分式之和，然后再取其逆变换。用residuez可以实现部分分式展开。其一般的

11、调用方式为r,p,k=residuez(nam,den)其中，r是各部分分式分子系数向量，p为极点向量，k表示分子多项式除以分母多项式所得的商多项式。若F(z)为z-1的真分式，则k为零。【例6-12】用MATLAB计算的部分分式展开。解程序代码如下：%program ch6-12a=poly(-1-1-2-3);b=2 3;r,p,k=residuez(b,a),程序运行结果为r=6.7500-4.0000-0.2500-0.5000p=-3.0000-2.0000-1.0000-1.0000k=于是F(z)的部分分式展开为【例6-13】用MATLAB实现【例6-3】。解求解代码如下：%pr

12、ogram ch6-13 clear;format rat;%近似有理数的表示 syms w0 n z pi;%syms定义符号变量 f1=cos(w0*n);F1=ztrans(f1,n,z);f2=sin(w0*n);F2=ztrans(f2,n,z);F1=simple(F1);F2=simple(F2);运行结果如下：F1=(z-cos(w0)*z/(1+z2-2*z*cos(w0)F2=z*sin(w0)/(1+z2-2*z*cos(w0)【例6-14】用MATLAB实现【例6-6】。解求解代码如下：%program ch6-14clear;format rat;%近似有理数的表示s

13、yms a n z pi;%syms定义符号变量f=a.n;F=ztrans(f,n,z);Fn=simple(F)运行结果如下：Fn=-z/(-z+a)【例6-15】用MATLAB实现【例6-7】。解求解代码如下：%program ch6-15clear;format rat;%近似有理数的表示syms n z pi;%syms定义符号变量f=n;F=ztrans(f,n,z);Fn=simple(F),运行结果如下：Fn=z/(z-1)2【例6-16】已知，|z|1,求f(n)。解求解代码如下：%program ch6-16clear;a=1-1.5 0.5;b=1 0 0;r,p,k=r

14、esiduez(b,a)%z变换的部分分式展开运行结果如下：r=2 -1 p=1 1/2 k=0由运行结果可知,F(s)的部分分式展开式为。由此可得：。【例6-17】已知，|z|1,求f(n)。解求解代码如下：%program ch6-17clear;syms z;%syms定义符号变量F=(z3+2*z2+1)/z/(z-1)/(z-0.5);fn=iztrans(F)运行结果如下：fn=2*charfcn1(n)+6*charfcn0(n)+8-13*(1/2)n即6.5离散系统的离散系统的z域分析域分析 6.5.1差分方程的变换解差分方程的变换解LTI离散系统是用常子数线性差分方程描述的

15、，如果系统是因果的，并且输入为因果信号，那么可以用单边z变换来求解差分方程。与应用拉氏变换解微分方程相似，此时可以将差分方程变换为z变换函数的代数方程，并且利用单边z变换的移位特性可以将系统的初始条件包含在代数方程中，从而能够方便地求得系统的零输入响应、零状态响应及全响应。6.5.2系统函数系统函数因为yf(n)=f(n)*h(n)其中某离散系统的激励为f(n),单位样值响应为h(n),零状态响应为yf(n)。而根据卷积定理，两边取z变换，有(6-30)因此系统函数H(z)是系统单位样值响应的z变换，即(6-31)或 于是，根据式(6-31),可以利用z变换方法方便地求解系统的单位样值响应。进

16、一步地，求出激励的z变换，然后由式(6-30)求出Yf(z),再对Yf(z)取逆z变换即可得到yf(n)。【例6-18】因果离散系统的差分方程为y(n)-2y(n-1)=f(n),激励f(n)=3nU(n),y(0)=2,求响应y(n)。解方法一差分方程变换解。对微分方程两边取z变换得Y(z)-2z-1Y(z)+y(-1)z1=F(z)(1-2z-1)Y(z)=2y(-1)+F(z)解出 即 将y(0)=2代入差分方程得y(0)-2y(-1)=f(0)而 所以将Yx(z),Yf(z)进行逆z变换就得出yx(n)和yf(n)为 得出y(n)=yx(n)+yf(n)=3(3)n-2nU(n)方法二

17、先求出零输入响应yx(n),再利用系统函数求出yf(n)。(1)求yx(n)。求yx(n)可以用z变换法，也可以用时域法，下面用这两种方法分别求出yx(n)。z变换法。将差分方程写为齐次差分方程，即y(n)-2y(n-1)=0两边取z变换得 Yx(z)-2z-1Yx(z)+yx(-1)z=0整理得 而由前知所以则 时域法。由差分方程知，特征值=2,则yx(n)=C2n,n0将 代入上式得C=1所以yx(n)=2n,n021)1(xy(2)求yf(n)。由差分方程y(n)-2y(n-1)=f(n)可得h(n)-2h(n-1)=(n)两边取z变换得H(z)-2z-1H(z)=1 由式(6-30)得

18、得出yf(n)=-2(2)n+3(3)nU(n)综上可得y(n)=yx(n)+yf(n)=3(3)n-2nU(n)6.5.3离散系统因果性、稳定性与离散系统因果性、稳定性与H(z)的关系的关系在第5章已经知道，一个离散LTI系统是因果系统的充分必要条件是h(n)=0,nR,因此，如果系统函数的收敛域具有|z|R的形式，则该系统是因果的；否则，系统是非因果的。这样系统因果性的充分必要条件可以用H(z)表示，即系统函数H(z)的收敛域为|z|R,R为某非负实数类似地，可以用系统函数来研究稳定性问题。已经知道离散系统为稳定系统的充分必要条件是 上式表明，在单位圆|z|=1上是收敛的，根据收敛域的定义

19、，单位圆在的收敛域内。因此，系统为稳定的充要条件可以表示为：系统函数H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统是因果的，那么稳定性的条件是H(z)的收敛域是包含单位圆在内的某个圆的外部，由于收敛域中不能含有极点，故H(z)的所有极点均应在单位圆内。因此，因果系统稳定的充要条件是：H(z)的所有极点均在单位圆内。6.5.4离散系统离散系统z域分析的域分析的MATLAB实现实现【例6-19】一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=f(n),求激励f(n)=anU(n),y(-1)=0,求响应y(n)。解程序代码如下：%program ch6-19syms n a b zf=an;F=ztrans

20、(f);H=1/(1-b*z(-1);Y=H*F;y1=iztrans(Y);y=simplify(y1);运行结果如下：Y =(a(1+n)-b(1+n)/(a-b)即。【例6-20】条件同【例6-19】，改变初始条件为y(-1)=2,求系统的响应y(n)。解对差分方程两边取单边z变换，得Y(z)-bz-1Y(z)-by(-1)=F(z)代入y(-1)=2得到程序代码如下：%program ch6-20syms n a b zF=z/(z-a);Y=(F+2*b)/(1-b*z(-1);即。y1=iztrans(Y);y=simplify(y1);运行结果如下：y=(a(1+n)-b(1+n

21、)+2*b(1+n)*a-2*b(2+n)/(a-b)6.5.5利用利用MATLAB分析分析H(z)的零极点与系统特性的零极点与系统特性系统函数的零点和极点可以通过MATLAB函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，它们的调用形式为p=roots(s)z,p,k=tf2zp(b,a)其中,s为多项式系统向量，p为极点向量，z为零点向量，k的含义同6.3节。b,a分别为系统函数的分子，分母多项式系数。若要获得系统函数的零极点图，可以利用zplane函数，其调用形式为zplane(b,a)b,a含义同上。【例6-21】已知某因果系统的系统函数为(1)画出系统的零极点图，判断系统是否稳定；(

22、2)求系统的单位样值响应，画出前40个样点；(3)求系统的频率响应，画出02之间的幅度响应和相位响应。解程序代码如下：%program ch6-21clear;b=0 1 0-1;a=1-0.5 0.5 0.2;subplot(2,2,1);zplane(b,a);h=impz(b,a,40);subplot(2,2,2);stem(h);title(Impulse response);xlabel(n);w=0:0.01*pi:2*pi;H=freqz(b,a,w);subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(H);title(Magnitude response);xlabe

23、l(Frequencyomega(unit:pi);subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H);title(Phase response);xlabel(Frequencyomega(unit:pi);程序运行结果如图6-2所示。可见该系统的全部极点都在单位圆内，所以系统是稳定的。图 6-2【例6-21】运行结果【例6-22】某离散因果系统的系统函数为，试用MATLAB命令求该系统的零极点。解程序代码如下：%program ch6-22b=1,0.32;a=1,1,0.16;z,p,k=tf2zp(b,a)运行结果如下：z=-0.3200p=-0.8000-0.2000

24、 k=1即零点为z=-0.32，极点为p1=-0.8和p2=-0.2。【例6-23】某离散因果系统的系统函数为，试用MATLAB命令绘出该系统的零极点图，并判断该系统的稳定性。解程序代码如下：%program ch6-23b=1 0-0.36;a=1-1.52 0.68;zplane(b,a);grid on legend(零点,极点);title(零极点分布图);运行结果如图6-3所示。可见该系统的全部极点都在单位圆内，所以系统是稳定的。图 6-3【例6-23】运行结果6.5.6利用利用MATLAB求解离散系统的频率响应求解离散系统的频率响应MATLAB提供了函数freqz用于计算离散系统的

25、频率响应，其一般调用形式为H=freqz(b,a,w)其中,a,b为差分方程左、右端的系数向量，是欲求解响应的频率抽样点构成的向量。【例6-24】已知离散系统的差分方程为y(n)-0.3y(n-1)-0.54y(n-2)=f(n)+0.7f(n-1)+0.12f(n-2)用MATLAB求解系统的频率响应，画出-22之间的幅度响应和相位响应。解程序代码如下：%program ch6-24clear;b=1 0.7 0.12;a=1-0.3-0.54;fs=0.01*pi;w=-2*pi:fs:2*pi;H=freqz(b,a,w);subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(H);

26、title(Magnitude response);xlabel(omega(unit:pi);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(H);title(Phase response);xlabel(omega(unit:pi);-22之间的幅度响应和相位响应如图6-4所示。图 6-4【例6-24】图【例6-25】已知某LTI因果系统的差分方程为，试用MATLAB求解:(1)系统函数H(z)及频率响应H(ej);(2)单位样值响应h(n)。解求解的MATLAB代码如下：%program ch6-25clear;b=0 1;a=1-1 0.5;w=0:0.01*pi:4*pi;H=freqz(b,a,w);subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(H);title(Magnitude response);xlabel(Frequencyomega(unit:pi);subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(H);title(Phase response);xlabel(Frequencyomega(unit:pi);h=impz(b,a,40);subplot(2,1,2);stem(h);title(Impulse response);xlabel(n);运行结果如图 6-5所示。图 6-5【例6-25】运行结果