2021年高二数学上学期期中考测试卷03（人教B版新教材）.docx

1、 20202020- -20212021 学年高二数学上学期期中考测试卷学年高二数学上学期期中考测试卷 0303（人教（人教 B B 版版 20192019） 一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4 40 0 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. . 1已知直线 1( 3)(3)10l kxk y ：与 22( 3)230lkxy：垂直，则k的值是（ ） A2或3 B3 C2 D2或3 【答案】C 【解析】 由题意得( 3) 2(3)2(3)0,32kkkkk ，

2、选 C. 2若方程 22 1 53 xy mm 表示椭圆，则m的取值范围是（ ） A3,5 B5,3 C 3,1 1,5 D 5,11,3 【答案】C 【解析】若方程 22 1 53 xy mm 表示椭圆， 则 50 30 53 m m mm ，解得31m 或15m. 3圆 2 2 21xy与直线3 420 xy 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D不能确定 【答案】C 【解析】圆 2 2 21xy的圆心为（2,0） ，半径为 1， 圆心到直线3 420 xy 的距离 3 24 028 1 55 d ， 所以直线与圆的位置关系为相离， 4如图，三棱锥 ABCD 中，AB底面 BCD，

3、BCCD，且 AB=BC=1，CD=2，点 E 为 CD 的中点，则 AE 的长为 A 2 B3 C2 D5 【答案】B 【解析】连 AE, CBD是等腰 Rt , BECD 且 BE=1，AB底面 BCD, ABBE，由勾股定理， 222 123AEABBE ， AE 3 . 5向量(2,1, ),(2, , 1)ax by ，若5a ，且ab，则x y 的值为（ ） A1 B1 C4 D4 【答案】C 【解析】解：向量(2,1, )ax，若5a r ， 则 222 215x ，解得0 x； 又向量(2, , 1)by，且ab， 则400a by，解得 4y ； 所以4xy 6已知双曲线 2

4、2 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线经过点 2, 6，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B 2 C3 D 3 【答案】A 【解析】双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线为 b yx a 过第一象限，所以点 2, 6在渐近线 b yx a 上，可得62 b a ，所以3 b a 所以 2 22 2 1132 cabb e aaa 7在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 3AA ，则异面直线 1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 【答案】C 【解析】以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x

5、,y,z 轴建立空间直角坐标系，则 11 (0,0,0), (1,0,0),(1,1, 3),(0,0, 3)DABD,所以 11 ( 1,0, 3),(1,1, 3)ADDB , 因为 11 11 11 1 35 cos, 525 AD DB AD DB AD DB ，所以异面直线 1 AD与 1 DB所成角的余弦值为 5 5 ，选 C. 8已知抛物线 2 2ypx（ 0p ）与双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）有相同的焦点F，点A是两条 曲线的一个交点，且AFx轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ） A0 6 ， B 32 ， C 43 ， D 64

6、 ， 【答案】B 【解析】因为抛物线与双曲线焦点相同，所以2pc，因为AF与 x 轴垂直，所以可求得点 A的坐标为 , 2 p p ，将其代入双曲线方程可得： 22 22 1 4 pp ab ， 因为 222 bca，代入上式可得： 22 222 4 1 cc aca ， 化简得： 4224 60cc aa，两边同时除以 4 a得： 42 610ee ， 解得 2 32 2e 或3 2 2 （舍） ，设渐近线斜率为 k， 由 22 22 22 11 cb ek aa ，解得 2 22 23k ，所以倾斜角应大于60， 所以区间可能是, 3 2 ， 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共

7、4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分. . 9 （多选）设几何体 1111 ABCDABC D是棱长为 a 的正方体， 1 AC与 1 B D相交于点 O，则（ ） A 2 11 AB ACa B 2 1 2AB ACa C 2 1 CD ABa D 1 1 2 AB AOa 【答案】AC 【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则( ,0,0)A a，(

8、 , ,0)B a a，(0, ,0)Ca，(0,0,0)D， 1( ,0, ) A aa， 1( , , ) B a a a， , 2 2 2 a a a O ， 11 (0, ,0)ABa ， (, ,0)ACa a ， (0, ,0)ABa ， 1 (, ,)ACa aa ， (0,0)CDa ， 1 (0, , )ABa a ， 1 , 2 22 a aa AO 2 11 AB ACa ，A对； 2 1 AB ACa ，B错； 1 2 CaABD ， C对； 2 1 1 2 AB AOa ，D 错 10若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C，则下面四个选项中正确的是（ ）

9、 A若13t ，则C为椭圆 B若C为椭圆，且长轴在 y轴上，则1 2t C若C为双曲线，则3t 或1t D若C是双曲线，则其离心率有12e 【答案】CD 【解析】对于选项 A，当2t 时，曲线C化为 22 1xy，此时C为圆，故 A 不正确； 对于选项 B，若C为椭圆，且长轴在y轴上，则130tt ，解得23t ，故 B 不正确； 对于选项 C，若C为双曲线，则310tt，解得3t 或1t ，故 C 正确； 对于选项 D，若C是双曲线，则3t 或1t ， 当3t 时， 2 242 21,2 11 t e tt ，此时离心率1 2e . 当1t 时， 2 422 21,2 33 t e tt ，

10、此时离心率1 2e ;故 D 正确. 故选：CD. 11已知实数x，y满足方程 22 410 xyx ，则下列说法错误的是（ ） Ay x 的最大值为 62 B 22 xy的最大值为74 3 C y x 的最大值为 3 2 Dxy的最大值为2 3 【答案】CD 【解析】对于 A，设z yx ，则y=x+z，z表示直线y= x+z的纵截距， 当直线与圆 22 (2)3xy 有公共点时，|2 | 3 2 z ，解得 6262z ，所以y x 的最大值为 62 ，故 A说法正确； 对于 B， 22 xy的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为 2，则原点到圆 上的最大距离为2

11、 3 ，所以 22 xy的最大值为 2 (23)74 3，故 B说法正确； 对于 C，设 y x k，把y kx 代入圆方程得 22 (1)410kxx ，则 2 164(1)0k ，解得 33k ， y x 最大值为3，故 C 说法错误； 对于 D，设m xy ，则y xm ，m表示直线y xm 的纵截距，当直线与圆 22 (2)3xy 有公共点时， | 2| 3 2 m ，解得 6262m ，所以x y 的最大值为 62 ，故 D 说法错 误. 12 如图， 一个结晶体的形状为平行六面体 1111 ABCDABC D， 其中， 以顶点 A为端点的三条棱长均为 6， 且它们彼此的夹角都是 6

12、0，下列说法中正确的是（ ） A 1 6 6AC B 1 ACDB C向量 1 BC与 1 AA的夹角是 60 D 1 BD与AC所成角的余弦值为 6 3 【答案】AB 【解析】因为以顶点 A 为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60， 所以 11 6 6 cos6018AA ABAA ADAD AB ， 22 2 1111 ()222AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD 3636363 2 18216 ， 则 11 | | 6 6ACAAABAD，所以 A正确； 11 () ()AC DBAAABADABAD 22 1 1 0AAABAA ADABAB ADAD

13、 ABAD，所以 B 正确； 显然 1 AAD为等边三角形，则 1 60AAD . 因为 11 BCAD，且向量 1 AD与 1 AA的夹角是 120，所以 1 BC与 1 AA的夹角是 120，所以 C 不正确； 因为 11 ,BDADAAAB ACABAD， 所以 22 11 |()6 2,|()6 3BDADAAABACABAD ， 11 () ()36BDACADAAABABAD， 所以 1 1 1 366 cos, 6| |6 26 3 BDAC BD AC BDAC ，所以 D 不正确. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共

14、2020 分分 13设平面与向量( 1,2, 4)a 垂直，平面与向量( 2,4, 8)b 垂直，则平面与位置关系是 _ 【答案】平行 【解析】因为 2ab ，所以 /a b rr 因为平面与向量a垂直， 所以平面与向量b也垂直 而平面与向量b垂直，所以可得/ 故答案为：平行. 14已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_ 【答案】3yx 【解析】因为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 2， 所以 222 22 2 cab e aa ，所以 2 2 3 b a ， 所以该双曲线的渐近线方程为3 b yxx a . 1

15、5已知半径为 5的动圆 C的圆心在直线:10 0l xy 上.若动圆 C过点5,0，求圆 C 的方程 _，存在正实数r _，使得动圆 C中满足与圆 222 :O xyr相外切的圆有且仅有 一个. 【答案】 2 2 1025xy或 22 5525xy 5 25 【解析】依题意，可设动圆 C 的方程为： 22 25xayb 其中圆心, a b满足100ab . 又动圆过点5,0， 22 5025ab ， 解方程组 22 100 5025 ab ab ， 可得 10 0 a b 或 5 5 a b ，故所求圆 C的方程为： 2 2 1025xy或 22 5525xy. 由圆 O的圆心0,0到直线 l

16、的距离 10 5 2 1 1 d ， 当满足5rd 时，即 5 25r 时， 动圆 C中有且仅有 1个圆与圆 222 :O xyr相外切. 16在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F 分别为棱 11 ,AA BB的中点，G 为棱 11 AB上的一点， 且 1 (02)AG，则点 G到平面 1 DEF的距离为_ 【答案】 2 5 5 【解析】以 D 为原点， 1 ,DA DC DD所在直线分别为 x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则2, ,2G， 1(0,0,2), (2,0,1), (2,2,1)DEF， 所以 1 (2,0, 1)DE ， 1 (2,2

17、, 1)DF ，0, 1GE， 设平面 1 DEF的法向量为( , , )nx y z，则 20, 220, xz xyz 令1x ，则0,2yz， 所以平面 1 DEF的一个法向量(1,0,2)n 点G到平面 1 DEF的距离为 1 22 5 5|5 GE n n ， 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17若直线l的方程为 220()axyaaR. （1）若直线l与直线:20mxy垂直，求a的值； （2）若直线l在两轴上的截距相等，求该直线的方程. 【解析】

18、 解： （1）直线l与直线:20mxy垂直， 220a，解得1a （2）当0a时，直线l化为：1y 不满足题意 当0a时，可得直线l与坐标轴的交点 2 (0,) 2 a ， 2 ,0 a a 直线l在两轴上的截距相等， 22 2 aa a ，解得：2a 该直线的方程为：0 xy ，20 xy 18已知圆 22 :2410C xyxy ，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点 为M. （1）若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程； （2）求满足条件3PM 的点P的轨迹方程. 【解析】 （1） 2222 :2410(1)(2)4C xyxyxy 切线l斜率不存在时，即1x ，

19、满足圆心到切线距离等于半径， 当切线l斜率存在时，设 2 | (11)23|3 :3(1)2 4 1 k l yk xk k -+ -=-= - + 3 3(1),34150 4 yxxy 综上，切线l的方程为3 4150 xy 或1x ； （2）设( , )P x y，则由3PM 得 2 |413PCPM 22 (1)(2)13xy 22 1213xy 19如图，在以P为顶点，母线长为 2的圆锥中，底面圆O的直径AB长为 2，C是圆O所在平面内一 点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC. （1）求证：平面PAC 平面PBC； （2） 若E是PC的中点， 连接OE，ED，

20、 当二面角BPOD的大小为120时， 求平面PAC与平面DOE 所成锐二面角的余弦值. 【解析】解： （1）AB是圆O的直径，AC与圆O切于点A，ACAB PO底面圆O ， POAC POABO，AC 平面PAB ， ACPB . 又 在PAB中， 2 2 PAPBAB ， PAPB PAACA ， PB 平面PAC，从而平面PAC 平面PBC. （2） OB PO，ODPO ， BOD为二面角BPOD的平面角， 120BOD ， 如图建立空间直角坐标系，易知1OB ， 则0, 1,0A，0,1,0B， 31 ,0 22 D 2 3 , 1,0 3 C ，0,0,1P， 31 1 , 32 2

21、 E ， 由（1）知0, 1,1mBP为平面PAC的一个法向量， 设平面ODE的法向量为, ,nx y z， 31 1 , 32 2 OE ， 31 ,0 22 OD ， n OE ，n OD ， 0n OE ， 0n OD ， 311 0 322 31 0 22 xyz xy ，即 2330 30 xyz xy 故平面ODE的一个法向量为3,3,1n ， 26 cos, 13 m n m n m n . 平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为 26 13 . 20已知直线 1:2 10lxy ， 2: 280laxya ， 12 ll且垂足为A （1）求点A的坐标； （2）若圆C与直线

22、 2 l相切于点A，且圆心C的横坐标为 2，求圆C的标准方程 【解析】解： （1）根据题意，直线 1:2 10lxy ， 2: 280laxya ， 若 12 ll，则有220a，解可得 1a， 则直线 2 l的方程为270 xy ，即270 xy； 联立两直线的方程： 210 270 xy xy ，解可得 1 3 x y ，即A的坐标为1, 3； （2）根据题意，若圆C与直线 2 l相切于点A且 12 ll且垂足为A， 则圆心C在直线 1 l上，设C的坐标为2,b，则有2 2 10b ，解可得5b， 则圆心C的坐标为2, 5， 圆的半径 22 1 23 55rCA ， 则圆C的标准方程为 2

23、2 255xy 21已知 12 ,F F分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，点 3 1, 2 P 在椭圆 E 上，且 12 4PFPF （1）求椭圆 E 的方程； （2）过 1 F的直线 12 ,l l分别交椭圆 E 于,A C和,B D，且 12 ll，问是否存在实数，使得 11 , , |ACBD 成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）由已知 12 4PFPF，得24a，即2a 又点 3 1, 2 P 在椭圆上，所以 2 19 1 44b ，解得 3b ，故椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （2）当ACx轴时， 2 22

24、 3 | 4,|3 2 b BDAC a ，由 117 2 |12BDAC ，由 7 24 当BDx轴时， 2 22 3 |3,| 4 2 b BDAC a ，由 117 2 |12BDAC ，得 7 24 ， 当,AC BD都不与x轴垂直时， 设 1: (1)(0)lyk xk，设 1122 ,A x yC xy， 直线 1 l的方程与椭圆 E的方程联立并消去 y 得： 2222 3484120kxk xk， 则 22 1212 22 8412 , 3434 kk xxx x kk ， 所以 2 22 22222 121212 222 121 84(412) |11()41() 343434

25、 k kk ACkxxkxxx xk kkk ， 从而 2 2 134 |121 k ACk ， 同理可得 2 2 143 |121 k BDk 所以 2 2 71 117 |12121 k ACBDk ，令 7 2 12 ，得 7 24 综上，存在常数 7 24 ，使得 11 , , |ACBD 成等差数列 22已知圆 22 :420C xyxym与直线:3 470lxy 相交于,M N两点，且| 2 3MN . （1）求m的值； （2）过点P作圆C的切线，切点为Q；再过P作圆 22 15 :()(1) 24 Cxy的切线，切点为R，若 | |PQPR ，求| |OP得最小值（其中O为坐标原

26、点）. 【解析】 （1） 22 :(2)(1)50Cxym，圆心到直线距离l的距离 22 |3 24 1 7| 1 34 d ， 22 | 22 512 3MNRdm ， 解得1m . （2）设( , )P x y，由于 22 :(2)(1)4Cxy， 切线 2222 |(2)(1)4PQPCRxy， 同理：切线 2222 15 |()(1) 24 PRPCrxy， 2222 15 (2)(1)4()(1) 24 xyxy， 化简得到：34 10 xy ，|OP最小值即为原点到直线3410 xy 距离 min 22 |3 04 0 1|1 | 5 34 OPd . 故 0 9 0, 222 ppp x .