2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 综合训练 训练1 折叠综合训练 课件.pptx

1、训练训练1 11.(2023河南黑白卷河南黑白卷)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，B60，BC2，D为为AB上一点，上一点，E为为BD的中点，将的中点，将ACD沿沿CD折叠得到折叠得到FCD，连接连接EF，当，当DEF为直角三角形时，则为直角三角形时，则AD的长为的长为_针对针对15题：与折叠有关的几何图形的计算题：与折叠有关的几何图形的计算第第1题图题图233 或或2.如图，在如图，在RtABC中，中，B90，D是边是边AB上的三等分点，上的三等分点，E是是BC上上一点，连接一点，连接DE，将，将BDE沿沿DE折叠得到折叠得到BDE，连接，连接CB，若，若ABBC6，则，则CB

2、的最小值为的最小值为_第第2题图题图2 1022 134或或3.如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AB5，ABC120，E，F分别是分别是AD，AB上一动点，且上一动点，且AEAF，将，将AEF沿沿EF折叠，点折叠，点A落在点落在点A处处(点点A与点与点A不重合不重合)，当，当ACD是等腰三角形时，是等腰三角形时，AA的长为的长为_第第3题图题图10 35 353 或或4.在在ABC中，中，ABC90，AB8，BC12，E是边是边BC上一点，且上一点，且BE5，F是边是边AB上一动点，连接上一动点，连接EF，将，将BEF沿沿EF折叠，点折叠，点B落在点落在点P处，连接处，连接BP，当点，

3、当点P恰好在恰好在RtABC直角边的垂直平分线上时，直角边的垂直平分线上时，BP的长的长为为_2 52 15或或5.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB2 ，AD2，点，点E为为CD边的中点，动点边的中点，动点F从点从点C出发，沿出发，沿CBA的方向在的方向在CB和和BA上运动，将矩形沿上运动，将矩形沿EF折叠，折叠，点点C的对应点为的对应点为C，当点，当点C恰好落在矩形恰好落在矩形ABCD的对角线上时的对角线上时(不与矩形顶不与矩形顶点重合点重合)，点，点F运动的距离为运动的距离为_第第5题图题图3123 或或36.如图，如图，M，N分别是矩形分别是矩形ABCD的边的边AB，CD上的

4、动点，连接上的动点，连接MN，将，将矩形沿矩形沿MN折叠，点折叠，点B，C的对应点分别为的对应点分别为E，F，若，若AB9，BCCN4，当点，当点D，E，F在同一条直线上时，在同一条直线上时，BM的长为的长为_第第6题图题图81633或或解题关键点需分点需分点D在在EF的延长线上和点的延长线上和点D在线段在线段EF上两上两种情况讨论种情况讨论7.若一个三角形的三边长之比为若一个三角形的三边长之比为3 4 5，则称这个三角形为，则称这个三角形为“勾股三角勾股三角形形”如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AD12，点，点G在边在边DC上，将上，将ADG沿沿AG所在直线折叠，得到所在直线折叠，得

5、到ADG，再将，再将ADG沿过点沿过点A的直线折叠，使的直线折叠，使AD与与AG重合，点重合，点D的对应点为点的对应点为点E，折痕与，折痕与DG 交于点交于点F.若若GEF 是是“勾股勾股三角形三角形”，则，则AF的长为的长为_第第7题图题图4 106 5或或针对针对23题：与折叠有关的探究题：与折叠有关的探究链接：微专题链接：微专题13特殊三角形的分类讨论；微专题特殊三角形的分类讨论；微专题14线段或直线上点线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论；微专题位置不确定产生的分类讨论；微专题15轴对称轴对称(含折叠含折叠)落点位置不确定落点位置不确定产生的分类讨论产生的分类讨论1.综合与实践综合与

6、实践如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，中，E为射线为射线DA上一点，现将正方形上一点，现将正方形ABCD沿沿CE折叠，使点折叠，使点D落在点落在点D处，连接处，连接CD并延长，交并延长，交AB所在直线于点所在直线于点F.第第1题图题图(1)如图如图，当，当DCE30时，则线段时，则线段CF，DE，BF之间之间的数量关系为的数量关系为_；第第1题图题图【解法提示】【解法提示】由折叠的性质可知，由折叠的性质可知，FCEDCE30，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCCD，BCDB90，BCF90303030.在在RtCDE中，中，DECDtan30 CD，在在RtBCF中，中，BFB

7、Ctan30 BC，CF BC，CDBC，CFDEBF.33332 33cos30BC CFDEBF第第1题图题图(2)当点当点F不在线段不在线段AB上时上时如图如图，当点，当点F在在BA的延长线上时，线段的延长线上时，线段CF，DE，BF之间的数量关系为之间的数量关系为_；【解法提示】【解法提示】如图，延长如图，延长FB到点到点G，使得，使得BGDE，G连接连接CG，由折叠的性质可知，由折叠的性质可知，DCEECD，CDCD，DEDE，DCDE90，四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCCD，DABC90，CDBC，CDECBG90.又又BGDEDE，CDECBG，DECG，ECDGC

8、B，ECDDCBBCGDCB，即，即ECBGCD.ADBC，DECECB，DCGDECDECG，CFFGBGBFDEBF.第第1题图题图G(2)CFDEBF；第第1题图题图如图如图，当点，当点F在在AB的延长线上时，猜想的延长线上时，猜想CF，DE，BF之间的数量关之间的数量关系并证明；系并证明；DEBFCF；证明：如图证明：如图，在，在AD上截取上截取DGBF，连接，连接CG,G四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BCCD，DCBF90.又又DGBF，CDGCBF，DCGBCF，CGCF，由折叠的性质可知，由折叠的性质可知，DCEDCE，GCEECB.ADBC，ECBGEC，GECGCE

9、，CGGE，GECF，DEDGGEBFCF；第第1题图题图G(3)在在(2)的条件下，若的条件下，若AB4，AF6，请直接写出，请直接写出DE的长的长【解法提示】【解法提示】AB4，AF6，点点F不在线段不在线段AB上上当点当点F在在AB的延长线上时，则的延长线上时，则BFAFAB2，在在RtBCF中，中，CF 2，DEBFCF22；当点当点F在在BA的延长线上时，则的延长线上时，则BFABAF4610，在在RtBCF中，中，CF 2，DECFBF2 10.综上所述，综上所述，DE的长为的长为22 或或210.22BCBF 5522BCBF 2929529DF(3)22 52 2910.的的长

10、长为为或或第第1题图题图G解题关键点需分点需分点F在在AB的延长线上与点的延长线上与点F在在BA的延长线上两的延长线上两种情况讨论种情况讨论2.综合与实践综合与实践(1)操作判断操作判断如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB2，AD4，E是是AD上一点，将上一点，将ABE沿直沿直线线BE折叠得到折叠得到FBE.根据以上操作，当根据以上操作，当AE时，则时，则CBF_；第第2题图题图2 33【解法提示】【解法提示】四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ABCBAE90，AB2，AE ，tanABE ，ABE30，由折叠的性质得，由折叠的性质得FBEABE30，CBF902ABE30.第第2题

11、图题图2 33AEAB33解：解：(1)30；(2)实践探究实践探究如图如图，连接，连接CE，当点，当点F在在CE上时，上时，BCE的形状为的形状为_；第第2题图题图【解法提示】【解法提示】四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ADBC，AEBCBE，由折叠的性质得由折叠的性质得AEBCEB，CBECEB，CBCE，BCE为等腰三角形为等腰三角形等腰三角形等腰三角形如图如图，G是是CD上一点，将上一点，将DEG沿直线沿直线EG折叠得到折叠得到HEG，连接，连接CH，且且E，F，H三点共线，请判断线段三点共线，请判断线段BE与与EG的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；第第2题图题图BE

12、EG，理由如下：，理由如下：由折叠的性质得，由折叠的性质得，AEBFEB，HEGDEG，AEBFEBHEGDEG180，2(FEBHEG)180，FEBHEG90，即，即BEG90，BEEG；(3)拓展应用拓展应用如图如图，在，在(2)的条件下，当的条件下，当CHG中存在中存在90角时，求角时，求DE的长的长第第2题图题图【解法提示】【解法提示】分三种情况：分三种情况：如解图如解图，当，当CHG90时，时，由由(2)知知E，F，H三点共线，三点共线，EHGD90，EHGCHG180，C、H、F、E四点共线，四点共线，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，CBEAEB，第第2题解图题解图

13、AEBCEB，CBECEB，CECB4，在在RtCDE中，中，CDAB2，DE 2 ；如解图如解图，当，当HCG90时，时，过点过点H作作HPAD于点于点P，第第2题解图题解图HCGDHPD90，四边形四边形HCDP是矩形，是矩形，HPCDAB2，22CECD 3第第2题解图题解图设设AEx，则，则DEEH4x，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC，HBEAEB，AEBHEB，HBEHEB，BHEH4x，HCDP4(4x)x，EP42x，根据勾股定理可得，根据勾股定理可得，(4x)2(42x)222，解得，解得x 或或2(舍去舍去)，AE ，DE4 ；当当CGH90时，时，CGH不存在

14、不存在综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的DE的长为的长为2 或或 .232323103310310(3)3.3或或第第2题解图题解图解题关键点需分三种情况讨论：需分三种情况讨论：CHG90；HCG90；CGH90，利用矩形性质与勾股，利用矩形性质与勾股定理求解定理求解3.综合与实践综合与实践(1)【操作发现】【操作发现】如图如图，诸葛小组将正方形纸片，诸葛小组将正方形纸片ABCD沿过点沿过点A的直线折的直线折叠，使点叠，使点B落在正方形内部的点落在正方形内部的点M处，折痕为处，折痕为AE，再将纸片沿过点，再将纸片沿过点A的直的直线折叠，使线折叠，使AD与与AM重合，折痕为重合，折痕为AF

15、，请写出图中的一个，请写出图中的一个45角；角；第第3题图题图【解法提示】【解法提示】四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，BAD90，由折叠的性质得，由折叠的性质得，BAEMAE，DAFMAF，MAEMAFBAEDAF BAD45，即即EAF45.12解：解：(1)EAF45；(2)【拓展探究】【拓展探究】如图如图，孔明小组继续将正方形纸片沿，孔明小组继续将正方形纸片沿EF继续折叠，点继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕的对应点恰好落在折痕AE上的点上的点N处，连接处，连接NF交交AM于点于点P.AEF_度；度；第第3题图题图【解法提示】【解法提示】由折叠的性质得由折叠的性质得，AEBAEF

16、，CEFNEF，AEFAEBCEF 18060.1360若若AB ，求线段，求线段PM的长；的长；3四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，C90，由折叠的性质得，由折叠的性质得，ANFENFC90，由由(1)得得EAF45，ANF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ANFN，AMFANF90，APNFPM，NAPNFE30，第第3题图题图在在ANP和和FNE中，中，ANPFNE(ASA)，APFE，PNEN，根据折叠的性质，根据折叠的性质，BAEEAP30，BE AB1，AE2BE2，90ANPFNEANFNNAPNFE 33第第3题图题图设设PNENa，ANP90，NAP30，ANPN a

17、，AP2PN2a，ANENAE，aa2，解得，解得，a 1，AP2a2 2，AMAD，PMAMAP(2 2)2；333333333第第3题图题图(3)【迁移应用】【迁移应用】如图如图，在矩形，在矩形ABCD中，点中，点E，F分别在边分别在边BC，CD上，上，将矩形将矩形ABCD沿沿AE，AF折叠，点折叠，点B落在点落在点M处，点处，点D落在点落在点G处，点处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点恰好在同一直线上，若点F为为CD的三等分点，的三等分点，AB3，AD5，请，请直接写出线段直接写出线段BE的长的长第第3题图题图【解法提示】如图，【解法提示】如图，在在AD上取一点上取一点J，使得，使得A

18、JAB，过点过点J作作JTBC于点于点T，交，交AF于点于点K，连接，连接EK.TJK点点F是是CO的三等分点，的三等分点，当当DF2CF时，时，CF1，DF2，JKDF，AJKADF，解得，解得JK ，由由(1)可知可知EKBEJK，设，设BEx，则，则EKx ，在在RtETK中，中，根据勾股定理可得，根据勾股定理可得，(x )2(3x)2(3 )2，解得解得x ；当当CF2DF时，同理可得时，同理可得BE2.综上所述，线段综上所述，线段BE的长为的长为 或或2.AJJKADDF 325JK 65656565979797(3)线段线段BE的长为的长为 或或2.第第3题图题图TJK解题关键点需

19、分两种情况讨论：需分两种情况讨论：DF2CF；CF2DF.4.在进行在进行“图形的变化图形的变化”单元教学时，杨老师尝试把知识进行整合，帮助单元教学时，杨老师尝试把知识进行整合，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯下面是杨老师设计的问题，请你解答惯下面是杨老师设计的问题，请你解答第第4题图题图第第4题图题图(1)观察发现观察发现如图如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是A(1，4)，B(5，1)，C(1,1)将将ABC向右平移向右平移6个单位得个单位得A1B1C1

20、；作；作A1B1C1关于关于x轴对称的图形轴对称的图形A2B2C2；再作；再作A2B2C2关于关于y轴对称的图形轴对称的图形A3B3C3.则则A3B3C3可以可以看作是看作是A1B1C1绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转_得到的；得到的；ABC与与A3B3C3也是中心对称图形，也是中心对称图形，其对称中心是点其对称中心是点(_，_)第第4题图题图1803 0(2)探究迁移探究迁移如图如图，将，将DEF沿沿DE所在的直线所在的直线l向下平移得向下平移得EHG，连接，连接FG，再作，再作DEF与与EHG关于关于l的轴对称的图形的轴对称的图形DEN和和EHM.FG与与DE之间的关系是之间的关系是_；若设

21、若设FDN，DFE，请把，请把FEN用含用含，的式子表示出来，并说明理由的式子表示出来，并说明理由第第4题图题图FGDE且且FGDE第第4题图题图FEN2.理由如下：理由如下：DEF关于关于l的轴对称的图形是的轴对称的图形是DEN，DEFDEN，DFEN.FEH和和NEH分别是分别是DEF和和DEN的外角，的外角，FEHDFEFDE，NEHNNDH，FENFEHNEHDFEFDENNDHFDNDFEN2，即即FEN2；【解法提示】如解图【解法提示】如解图，当，当FHG60时，时，连接连接FN，GM，NM，根据题意可知四边形根据题意可知四边形FGMN为矩形，为矩形，FM，GN为矩形的对角线，为矩

22、形的对角线，FHGHHN，(3)拓展应用拓展应用在在(2)的条件下，的条件下，FG2，连接，连接FM与与GN，当，当FM与与GN所夹的锐角为所夹的锐角为60时，请直接写出此时时，请直接写出此时FN的长的长第第4题图题图3第第4题解图题解图FHG60，FGH为等边三角形，即为等边三角形，即FGFH，GN2FH2FG4，在在RtFGN中，中，FN6；如解图如解图，当，当FHN60时，同理可得时，同理可得GN2FN，在在RtFGN中，中，FN2FG2GN2，即，即FN2(2)2(2FN)2，解得解得FN2(负值已舍去负值已舍去)，综上所述，当综上所述，当FM与与GN所夹的锐角为所夹的锐角为60时，时

23、，FN的长为的长为2或或6.(3)FN的长为的长为2或或6.第第4题解图题解图第第4题解图题解图22GNFG 33解题关键点需分两种情况讨论：需分两种情况讨论：FHG 60；FHN 60.5.(2023河南黑白卷河南黑白卷)综合与实践综合与实践【问题背景】【问题背景】数学活动课上，老师将矩形数学活动课上，老师将矩形ABCD按如图按如图所示方式折叠，所示方式折叠，使点使点A与点与点C重合，点重合，点B的对应点为的对应点为B，折痕为，折痕为EF，若，若CEF为等边三角为等边三角形，试猜想形，试猜想AB与与AD的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明(1)请解答老师提出的问题；请解答老师提出的问

24、题；第第1题图题图解：解：(1)AB与与AD的数量关系为的数量关系为.证明：证明：CEF为等边三角形，为等边三角形，ECF60，DCE30，设设DEx，在，在RtDEC中，中，EC 2x，CD x，矩形矩形ABCD沿沿EF折叠，折叠，AEEC2x，ADAEDE2xx3x，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ABCDx，即即AB与与AD的数量关系为的数量关系为；第第1题图题图33ABAD sinDEDCE 322ECDE 33333ABxADx33ABAD(2)小明受到此问题启发，将小明受到此问题启发，将ABC纸片按如图纸片按如图所示方式折叠，使点所示方式折叠，使点A与点与点C重合，折痕为重合，

25、折痕为EF，若，若A45，AC2，试判断重叠部分试判断重叠部分CEF的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；第第1题图题图(2)CEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；理由如下：理由如下：AEF沿沿EF折叠，点折叠，点A与点与点C重合，重合，EF是是AC的垂直平分线，的垂直平分线，EFC90，由题意知，由题意知，ECFA45，FEC45，CEF为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；若点若点D为为EF的中点，连接的中点，连接CD，求，求CD的长；的长；由由可知，可知，F为为AC的中点，的中点，CEF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AC2，CFEF AC1，点点D是是EF的中点，的中点，DF

26、EF ，在在RtDFC中，中，由勾股定理得，由勾股定理得，CD ；1212122252DFFC 第第1题图题图(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图，在在ABC中，将中，将ABC折叠，使点折叠，使点A与点与点C重合，点重合，点D为折痕所在直线上一为折痕所在直线上一点，若点，若ABAC，BC2，ACD45，请直接写出线段，请直接写出线段BD的长的长第第1题图题图5【解法提示】【解法提示】点点D为折痕所在直线上一点，为折痕所在直线上一点，ACD45，需分为点需分为点D在在ABC内部和外部讨论内部和外部讨论当点当点D

27、在在ABC内部时，如解图内部时，如解图，过点过点A作作AEBC于点于点E，点，点D为折痕上一点，为折痕上一点，过点过点D作作DMAE于点于点M，作，作DNBC于点于点N，连接连接AD，CD，BD，第第5题解图题解图A，C两点关于折痕对称且两点关于折痕对称且ACD45，ACD是等腰直角三角形且是等腰直角三角形且DADC，ABAC，AEBC，点点E为为BC的中点，的中点，BC2，BE1，ABAC，在在RtABE中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，AE 2，AEBC，DMAE，DNBC，四边形四边形DMEN为矩形，为矩形，AMDCND，ADCMDN90，又又ADCADMCDM，MDNCDMCDN，A

28、DMCDN，第第5题解图题解图522ABBE 第第5题解图题解图ADCD，ADMCDN(AAS)，DMDN，四边形四边形DMEN为正方形，为正方形，DNDMNE.设设DNx，则，则NCx1AM，AEAMMEx1x2x1，AE2，2x12，x ，BNBENE ，在在RtDBN中，中，BD；12122222112222BNDN 解题关键点需分两种情况讨论：需分两种情况讨论：点点 D的位置在的位置在ABC 内部；内部；点点 D的位置在的位置在ABC 外部外部6.(2023河南定心卷河南定心卷)综合与实践综合与实践莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片

29、ABC，如图，如图，ABAC5，BC6.为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点点B与点与点C重叠对折，得折痕重叠对折，得折痕AE，展开后，她把点，展开后，她把点B与点与点A重叠对折，得折重叠对折，得折痕痕DF，再展开后连接，再展开后连接CD，交折痕，交折痕AE于点于点O，则点，则点O就是就是ABC的重心的重心第第6题图题图当点当点D在在ABC外部时，如解图外部时，如解图，同理可得同理可得ADMCDN，四边形，四边形DMEN为正方形，为正方形，设设DNx，则，则CNx1AM，AEx1x2，x ，BNBEEN1 ，在在RtBND中

30、，中，BD，综上所述，综上所述，BD的长为的长为 或或 .第第5题解图题解图323252BNDN 2222533422222342(3)BD的长为的长为 或或 .22342(1)连接连接AF，则，则AF与与BF的数量关系是：的数量关系是：_；第第6题图题图(2)请帮助莹莹求出请帮助莹莹求出AOC的面积；的面积；AFBF(2)如图，连接如图，连接BO并延并延长交长交AC于点于点G，ABAC5，BC6，BECE3，AEBC，AE4，SABC64 12，点点D，E，G分别为分别为AB，BC，AC的中点，的中点，ADBD，AGCG，CEBE，SABESACE，SBOESCOE，SAOBSAOC，12G

31、点点D，G分别为分别为AB，AC的中点，的中点，SADOSBDO，SAGOSCGO，SADOSAGO，同理可得同理可得SADOSBDOSBOESCOESCOGSAOG SABC2，SAOCSAOGSCOG224；第第6题图题图G16(3)莹莹通过测量惊奇地发现莹莹通过测量惊奇地发现OA2OE，CO2OD.她的发现正确吗？请她的发现正确吗？请说明理由；说明理由；(3)她的发现正确，理由如下：如图，连接她的发现正确，理由如下：如图，连接DE，第第6题图题图G由题意得，点由题意得，点D为为AB中点，点中点，点E为为BC中点，中点，DE为为ABC的中位线，的中位线，DEAC，且，且DE AC，ODEO

32、CA，DOECOA，DOECOA，OA2OE，CO2OD；1212OEODDEOAOCCA (4)莹莹把莹莹把AFC剪下后得剪下后得AFC，发现可以与，发现可以与ABF拼成四边形，且拼成四边形，且拼的过程中点拼的过程中点A不与点不与点A重合，请直接写出拼成四边形时重合，请直接写出拼成四边形时OA的长的长第第6题图题图【解法提示】如解图，连接【解法提示】如解图，连接OB，ABAC5，BC6，BECE3，AEBC，AE4，由由(3)知，知，OE AE ，在在RtOBE中，中，由勾股定理得，由勾股定理得，OB ，第第6题解图题解图13432222497333BEOE 由折叠的性质得，由折叠的性质得，

33、DFAB，FAFB，ADBD ，BDFBEA90，ABCABC，BDFBEA，即，即 ，BF ，EFBFBE ，AFC与与ABF拼成四边形，且点拼成四边形，且点A不与不与A重合，重合，共有共有2种情况：种情况：第第6题解图题解图525236BF BDBFBEBA 25676当点当点A与点与点B重合，如解图重合，如解图，OAOB ；当点当点A与点与点F重合，如解图重合，如解图，连接连接OF，在在RtOEF中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，OAOF .综上所述，综上所述，OA的长为的长为 或或 .第第6题解图题解图第第6题解图题解图第第6题解图题解图973222247113366OEEF 1136973(4)OA的长为的长为 或或 .9731136解题关键点需分两种情况讨论：需分两种情况讨论：点点A与点与点B重重合；合；点点A与点与点F重合重合请完成精练本习题请完成精练本习题