2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与矩形、菱形、正方形问题（课件）.pptx

1、 微专题二次函数与矩形、菱形、正方形问题微专题二次函数与矩形、菱形、正方形问题微技能微技能分类讨论思想确定对应关系分类讨论思想确定对应关系一阶一阶一题多设问一题多设问设问突破设问突破二阶二阶 例例1 如图，抛物线如图，抛物线yx2bxc与与x轴交于轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C.点点P是抛物线上一个动点，过点是抛物线上一个动点，过点P作作x轴的垂线，垂足为点轴的垂线，垂足为点H，交直线，交直线BC于点于点E.例1题图(1)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；例1题图(1)将将A(1，0)，B(5，0)代入代入yx2bxc中，中，得得 解得解得 抛物线

2、解析式为抛物线解析式为yx26x5；10,2550bcbc 6,5bc (2)如图如图，设点，设点M是抛物线对称轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否是平面内一点，是否存在点存在点M，使得以，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，求为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点出点M的坐标；若不存在，请说明理由；的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】要求使得以【思维教练】要求使得以B，C，M，N为顶点的四边形是矩形的点为顶点的四边形是矩形的点M的坐标，已知点的坐标，已知点M是抛物线对称轴上一点，设点是抛物线对称轴上一点，设点M的坐标，分别求出的坐标，分别求出BC，BM，

3、CM的长，然后根据矩形的性质分别讨论的长，然后根据矩形的性质分别讨论CBM，BCM，CMB为直角的情况，利用勾股定理列方程求解为直角的情况，利用勾股定理列方程求解例1题图MN(2)存在存在易得抛物线对称轴为直线易得抛物线对称轴为直线x3，点点M是对称轴上一点，设点是对称轴上一点，设点M的坐标为的坐标为(3，m),易得易得BC2525250，BM2(53)2m24m2，如解图如解图，连接，连接CM，CM232(m5)2m210m34,例1题解图若若CBM90，则则BC2BM2CM2,即即504m2m210m34,解得解得m2,此时点此时点M的坐标为的坐标为(3，2);MN如解图如解图，若若BCM

4、90.则则BC2CM2BM2,即即50m210m344m2,解得解得m8,此时点此时点M的坐标为的坐标为(3，8);MN例1题解图如解图如解图，若，若BMC90.则则BM2CM2BC2,即即4m2m210m3450,解得解得m1或或m6，此时点此时点M的坐标为的坐标为(3，1)或或(3，6).综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点M坐标为坐标为(3，2)或或(3，8)或或(3，1)或或(3，6)；MMNN例1题解图例1题解图(3)如图如图，点，点Q是平面直角坐标系内一点，当以点是平面直角坐标系内一点，当以点P，E，B，Q为顶为顶点的四边形为菱形时，请求出此时点点的四边形为菱形时，请求出此

5、时点Q的坐标的坐标例1题图例1题图【思维教练】设点【思维教练】设点P的坐标为的坐标为(x，x26x5)，则点，则点E的坐标为的坐标为(x，x5)，共分为四种情况讨论：，共分为四种情况讨论：当当PHHE，QHHB时，四边形时，四边形PQEB是菱形；是菱形；当点当点P在在x轴上方，且轴上方，且PEEBBQQP时，四边形时，四边形PEBQ为菱形；为菱形；当点当点P与点与点A重合，且重合，且PBPEEQQB时，四边形时，四边形PEQB是菱形；是菱形；当点当点P在在x轴下方，且轴下方，且PEEBBQQP时，四边形时，四边形PEBQ为菱形为菱形例1题图(3)设点设点P的坐标为的坐标为(x，x26x5)设直

6、线设直线BC的解析式为的解析式为ykxb(k0)；将将B(5，0)，C(0，5)代入得代入得 解得解得直线直线BC的解析式为的解析式为yx5，则点，则点E的坐标为的坐标为(x，x5)，50,5kbb 1,5kb 例1题解图如解图如解图 PEQB，当当PHHE，QHHB时，四边形时，四边形PQEB是菱形是菱形此时此时yPyE，即，即x26x5(x5)，解得解得x12，x25(不合题意，舍去不合题意，舍去)，QHHB3，点点Q的坐标为的坐标为(1，0)；例1题解图如解图如解图，当点，当点P在在x轴上方，轴上方，且且PEEBBQQP时，四边形时，四边形PEBQ为菱形为菱形 PEx26x5(x5)x2

7、5x，BE BH (5x)，x25x (5x)，解得解得x15(不合题意，舍去不合题意，舍去)，x2 .当当x 时，时，BQPE ，点点Q的坐标为的坐标为(5，)；222225 22 5 22 例1题解图如解图如解图，当点，当点P与点与点A重合时，重合时，PBPE.当当PBPEEQQB时，四边形时，四边形PEQB是菱形是菱形易得易得Q的坐标为的坐标为(5，4)；例1题解图如解图如解图，当点，当点P在在x轴下方，轴下方，且且PEEBBQQP时，四边形时，四边形PEBQ为菱形为菱形 PEx5(x26x5)x25x，BE BH (5x)，x25x (5x)，解得解得x15(不合题意，舍去不合题意，舍

8、去)，x2 .当当x 时，时，QBPE ，点点Q的坐标为的坐标为(5，)2222225 2 25 2 综上所述，存在点综上所述，存在点Q，使得以点，使得以点P，E，B，Q为顶点的四边形为菱为顶点的四边形为菱形此时点形此时点Q的坐标为的坐标为(1，0)，(5，)，(5，4)或或(5，)5 22 25 2 (4)如图如图，点，点M是抛物线的顶点，坐标平面内是否存在点是抛物线的顶点，坐标平面内是否存在点P、Q(点点P在点在点Q左侧左侧)，使得以，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理

9、由【思维教练】由【思维教练】由BM为定边，可分以为定边，可分以BM为正方形的边或以为正方形的边或以BM为正方为正方形的对角线来确定点形的对角线来确定点P.例1题图【解法提示】当【解法提示】当MB为正方形的边时，为正方形的边时，当点当点P在点在点M的左侧时，如解图的左侧时，如解图，点点M为抛物线的顶点，为抛物线的顶点，M点坐标为点坐标为(3，4)，B(5，0)，BM ，BMPM ，设设P1(m，n)，过点，过点P1作作P1N1x轴于点轴于点N1，例1题解图225 342 5（）-2 5P1P2P3Q1Q2Q3N2N1BN15m，P1N1n，P1O ，P1B ，P1M ，解得解得m1，n2，P1(

10、1，2)；225mn 2252 10（）mn 22342 5（）（）mn 例1题解图P1P2P3Q1Q2Q3N2N1当点当点P在点在点M右侧时，如解图右侧时，如解图，点点P2与点与点P1关于直线关于直线BM对称，对称，P2(321，422)，即，即P2(7，6)；当当MB为正方形的对角线时，为正方形的对角线时，点点P在点在点Q左侧，左侧，点点P只能在点只能在点M的左侧，如解图的左侧，如解图，BM ，P3BPM ，225342 5（）10例1题解图P1P2P3Q1Q2Q3N2N1设设P3(m，n)，P3B ，P3M ，解得解得m2n，点点P3与点与点Q3关于直线关于直线MB对称，对称，Q3(5n

11、，5m)，3n3，n1，m2n2，P3(2，1)，综上所述，存在点综上所述，存在点P，使得以，使得以B，M，P，Q为顶点的四边形为正方形，为顶点的四边形为正方形，此时点此时点P的坐标为的坐标为(1，2)，(7，6)，(2，1)22510（）mn 223410（）（）mn 542nm 例1题解图P1P2P3Q1Q2Q3N2N1综合训练综合训练三阶三阶第1题图1.(2023抚本铁辽葫定心卷抚本铁辽葫定心卷)如图，抛物线如图，抛物线yax2xc(a0)交交 x轴于轴于点点A(4，0)、B，交，交 y轴于点轴于点C(0，4)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(1)抛物线抛物线yax2xc(a0

12、)经过经过A(4，0)，C(0，4)两点，两点，c 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2x4；1640,4acc 1,24ac 12(2)点点E是是OA的中点，的中点，E(2，0)由题意易知直线由题意易知直线CE的解析式为的解析式为y2x4.直线直线MN到到y轴的距离为轴的距离为 ，点点D的坐标为的坐标为(，0)或或(，0)当当D(，0)时，点时，点M、N的横坐标为的横坐标为 ，将将x 代入代入y2x4中，得中，得y1，323232323232(2)如图如图，点，点E是是OA的中点，点的中点，点D是线段是线段BE上一点上一点(不与点不与点B、E重重合合)，过点，过点D作作x轴的垂

13、线，交直线轴的垂线，交直线CE于点于点M，交抛物线于点，交抛物线于点N，若直，若直线线MN到到y轴的距离为轴的距离为 ，求点，求点M与点与点N之间的距离；之间的距离；32第1题图将将x 代入代入y x2x4中，得中，得y .M(，1)，N()，MN ；当当D(，0)时，点时，点M、N的横坐标为的横坐标为 ，将将x 代入代入y2x4中，得中，得y7，将将x 代入代入y x2x4中，得中，得y .3212358323 35,2 83527188 3232323212118第1题图M(，7)，N(，)，MN7 .点点M与点与点N之间的距离为之间的距离为 或或 ；3211845845827832118

14、第1题图第1题图(3)如图如图，点，点F在抛物线的对称轴上且在在抛物线的对称轴上且在x轴上方，点轴上方，点G在坐标平面内，在坐标平面内，当以点当以点B、C、F、G为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点F的坐的坐标标【解法提示】已知抛物线解析式为【解法提示】已知抛物线解析式为y x2x4，令令y0，即，即 x2x40，解得，解得x12，x24，B(2，0)，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线x1.设点设点F的坐标为的坐标为(1，m)C(0，4)，BC2OB2OC220，BF29m2，CF21(m4)2.1212要使以点要使以点B、C、F、G为顶点的四边形

15、为菱形，分两种情况讨论，为顶点的四边形为菱形，分两种情况讨论，当当BC为菱形的边时，为菱形的边时，当当BCBF时，即时，即209m2，解得解得m1 ，m2 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，点点F的坐标为的坐标为(1，)；当当BCCF时，时，即即201(m4)2，解得解得m34 ，m44 (不符合题意，舍去不符合题意，舍去)，点点F的坐标为的坐标为(1，4 )；111111191919第1题图当当BC为菱形的对角线时，则点为菱形的对角线时，则点F在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上BFCF，即即9m21(m4)2，解得解得m1.点点F的坐标为的坐标为(1，1)，综上所述，点综上所述

16、，点F的坐标为的坐标为(1，)或或(1，4 )或或(1，1)1119(3)点点F的坐标为的坐标为(1，)或或(1，4 )或或(1，1)1119第1题图2.如图，已知抛物线如图，已知抛物线yax22axb与与x轴交于点轴交于点A(2，0)和点和点B，与与y轴交于点轴交于点C(0，4)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第2题图备用图解：解：(1)将点将点A、C的坐标分别代入抛物线的解析式，的坐标分别代入抛物线的解析式，得得 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2x4；044,4aabb 1,24ab 12(2)点点P是第四象限抛物线上一点，连接是第四象限抛物线上一点，连接AC、

17、AP，当，当PAB2ACO时，求点时，求点P的坐标；的坐标；(2)如解图，在如解图，在OB上取一点上取一点R，使，使OROA2，连接，连接CR，则则ACR2ACOPAB，过点过点A作作AKCR于点于点K，设直线，设直线AP交交y轴于点轴于点H，HR第2题图在在y x2x4中，令中，令y0，即即 x2x40，解得解得x12(舍去舍去)，x24，B(4，0)1212KA(2，0)，C(0，4)，AR4，OC4，ACCR SACR AROC CRAK，即即 44 解得解得AK ，CK ，tanACK 22242 5,1212128 55226 55ACAK 8 54536 55AKCK 12 5,2

18、AK HR第2题图KPAB2ACOACK，tanACKtanPAB.在在RtAOH中，中，OHOAtanPAB .H(0，)由点由点A、H的坐标得直线的坐标得直线AP的解析式为的解析式为y .联立联立 解得解得 或或 (舍去舍去)，点点P的坐标为的坐标为()；48233 83 4833x21424833yxxyx 2031049xy 20 xy 20104,39 HR第2题图K(3)点点M是抛物线的对称轴上一动点，在平面内是否存在点是抛物线的对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的

19、坐的坐标；若不存在，请说明理由标；若不存在，请说明理由第2题图【解法提示】【解法提示】y x2x4，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x1.设点设点M的坐标为的坐标为(1，m)，B(4，0)，C(0，4)，BM29m2，CM2m28m17，BC232.12 当以当以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形时，需分以为顶点的四边形是矩形时，需分以BC为边和为边和BC为为对角线两种情况讨论对角线两种情况讨论当当BC为边时，以为边时，以M、B、C为顶点的三角形是以为顶点的三角形是以BC为直角边的直角为直角边的直角三角形，则分以三角形，则分以MC为斜边和以为斜边和以MB为斜边，为斜边，当以当以MC为斜

20、边时，为斜边时，BC2BM2CM2，即，即329m2m28m17，解得解得m3，点点M的坐标为的坐标为(1，3)由由xCxMxBxN，得，得xN3，同理可得，同理可得yN1，点点N的坐标为的坐标为(3，1)；第2题图当以当以MB为斜边时，为斜边时，BC2CM2BM2，即，即32m28m17m29，解得解得m5，M(1，5)由由xBxMxCxN，得，得xN5，同理可得同理可得yN1，点点N的坐标为的坐标为(5，1)；当以当以BC为对角线时，以为对角线时，以M、B、C为顶点的三角形是以为顶点的三角形是以BC为斜边的为斜边的直角三角形，则直角三角形，则BM2CM2BC2，即，即9m2m28m1732

21、，解得解得m12 ，m22 ，点点M的坐标为的坐标为(1，2 )或或(1，2 )，7777第2题图由由xBxCxMxN，得，得xN3，同理可得同理可得yN2 或或2 ，点点N的坐标为的坐标为(3，2 )或或(3，2 )综上所述，存在点综上所述，存在点N使得以使得以M、N、B、C为顶点的四边形是矩形，满足条件的点为顶点的四边形是矩形，满足条件的点N的坐标为的坐标为(3，1)或或(5，1)或或(3，2 )或或(3，2 )777777(3)存在，点存在，点N的坐标为的坐标为(3，1)或或(5，1)或或(3，2 )或或(3，2 )77第2题图3.直线直线yx3与与x轴相交于点轴相交于点A，与，与y轴相

22、交于点轴相交于点B，抛物线，抛物线yax22xc经过点经过点A，B，与，与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；第3题图备用图(1)在在yx3中，令中，令y0，则，则x3，令令x0，则，则y3，A(3，0)，B(0，3)，把把A(3，0)，B(0，3)代入代入yax22xc得，得，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3；960,3acc 1,3ac (2)如图如图，点，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作作DEy轴交轴交AB于点于点E，DFAB于点于点F，FGx轴于点轴于点G，当，当DEFG时，求时，求

23、点点D的坐标；的坐标；第3题图由由(1)可知抛物线的解析式为可知抛物线的解析式为yx22x3，直线直线AB的解析式为的解析式为yx3，设设D(m，m22m3)，DEy轴，轴，E(m，m3)，DEm22m3(m3)m23m，MEm3，(2)如解图，延长如解图，延长DE交交x轴于点轴于点M，则，则DMx轴轴MB(0，3)，A(3，0)OBOA3，OBAOAB45，DMx轴，轴，DFAB，DEFAEM45，DE EF，AF FG，DEFG，AF2EF，AEEF，FGx轴，轴，FGME，FG2ME，DE2ME，m23m2(m3)，m2或或m3(舍去舍去)，D(2，3)；221,2MEAEFGAF 第3

24、题图M(3)如图如图，在，在(2)的条件下，直线的条件下，直线CD与与AB相交于点相交于点M，点，点H在抛物线在抛物线上，过点上，过点H作作HKy轴，交直线轴，交直线CD于点于点K.P是平面内一点，当以点是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标的坐标第3题图【解法提示】在【解法提示】在yx22x3中，令中，令y0，则，则x22x30，解得解得x1或或x3，点点C的坐标为的坐标为(1，0)，设直线设直线CD的解析式为的解析式为ykxb，根据题意得，根据题意得 解得解得 ，直线直线CD的解析式为的解析式为yx1.023k

25、b,kb 11k,b 联立直线联立直线CD与直线与直线AB的解析式得的解析式得 解得解得 点点M的坐标为的坐标为(1，2)当当MK为正方形边时，则为正方形边时，则MHMK时，时，H点在点在AB上，上，K点在点在CD上上H点在抛物线上，点在抛物线上，H(3，0)或或H(0，3)；当当H(3，0)时，时，MH ，KH4，K(3，4)HK的中点为的中点为(3，2)，则，则MP的中点为的中点为(3，2)；P(5，2)；13yx,yx 12x,y 第3题图2 2当当H(0，3)时，时，MH ，KH2，K(0，1)，HK的中点为的中点为(0，2)，则，则M的中点为的中点为(0，2)P(1，2)；当当MK为正方形的对角线时，如解图为正方形的对角线时，如解图，则，则MHHK，PMKH，HKy轴，轴，PMy轴，轴，MHy轴，轴，PMKOBA45，MHx轴，轴，点点H的纵坐标为的纵坐标为2，x22x32，解得解得x1 1，x2 1，即点即点H的横坐标为为的横坐标为为 1或或 1，MH ，222222第3题解图四边形四边形MHKP是正方形，是正方形，PMMH ，又又PMy轴，轴，点点P的坐标为的坐标为(1，2 )或或(1，2 )综上所述，点综上所述，点P的坐标为的坐标为(5，2)或或(1，2)或或(1，2 )或或(1，2 )22222(3)(1，2 )或或(1，2 )22第3题解图